让数概念教学推动三个表征过程

姚兰

[摘 要]在小学数学中，数概念是一个非常重要且非常复杂的概念，也是学生学习的基础。在教学实践中，教师应带领学生推动三个表征过程，从具象向抽象逐渐演化，通过对数的表征转化，帮助学生建构数概念。

[关键词]数概念;数学思维;表征;内外表征转换

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）14-0048-02

在小学阶段，数概念是一个非常重要且非常复杂的概念，它不仅是学生认识世界的基本元素，也是认识和理解数学的开端。学生对数概念的学习将会贯穿数学学习的整个过程，具有十分重要的奠基作用。对数概念教学来说，要让学生理解数概念，需经历对数概念的表征过程，其中包括概念的外在表征、内在表征以及内外表征的转换。所谓表征，就是用某种形式将事物或某种想法表现出来，以实现交流的目的。当学生掌握表征的意义之后，就能够进一步提升思维，建构数概念。对数的表征是学生向更高一级数学能力发展的基础，也是学生理解数概念的根本所在。因此，在教学中，教师要引导学生经历数的表征过程，实现从直观到抽象的突破，有效建构数概念。现笔者根据自己的教学实践，从以下三个方面谈谈体会。

一、以模型对应推动表征过程，感悟数的意义

对于小学生来说，概念形成的核心是理解，而理解就是对概念基于某种内在表征进行有效的交流。因此，在小学阶段的数概念教学中，教师可以借助学生的已有经验，以模型取代实物，并保留原物的操作性，使抽象的数和模型一一对应，建立数量联系，再借用计算器、数轴、方格图等形式化表征，让学生通过观察操作，经历直观可视的外在表征过程，掌握抽象的数概念内容，理解和感悟数的意义。

比如，在教学“11～20的数的认识”这一内容时，笔者设计了以模型为表征形式的教学过程，为学生建立计数单位为十的数概念提供直观支持。笔者先让学生想一想，怎么做能够让人一眼就能看出有几个草莓（如图1所示）。学生提出可以将每五个圈一圈，也可以每十个圈一圈。具体怎么操作呢？笔者给学生准备了一些小棒，还有两个盒子，并让学生做好记录。学生将十根小棒捆成一捆，放在左边的盒子里，然后画1颗珠子代表1捆（即10根小棒）;剩下三根小棒放在右边的盒子里，然后画3颗珠子（代表3根小棒）。通过操作活动，学生在头脑中形成直观印象，将放一捆小棒的盒子当作十位盒子，放一捆就可以记作1，代表10;将放单根小棒的盒子当作个位盒子，放1根就记作1，放5根就记作5，为接下来建构数概念奠定了基础。

显然，要让学生认识11～20各数，首要的任务就是让学生理解计数单位十和数位概念，这既是难点，又是要点所在。笔者通过引导，先让学生建立10个一堆、10个一捆的概念，然后再通过画珠子的方式将图和数结合起来，让学生通过直观的表征过程，以可视的方式，将一捆小棒过渡到计数器上的十位上的一顆珠子，让学生从单个的一个个数扩展到以十为单位的一群群数，体会到一个算珠在不同位置上的不同意义，完成了从“以一当一”到“以一当十”的抽象过渡。

以上环节，教师为了让学生领悟数的意义，以模型对应推动进程，带领学生经历数的表征过程，先从圈十个草莓表征数10开始，再将一捆小棒作为表征的材料，让学生将其抽象为十位数上的一颗珠子，最后有了十位和个位的数位建构，将放一捆小棒的盒子定位为十位，放单根小棒的盒子定位为个位，有了这两个“盒子”的直观表征，学生直观地认识到可以将1当作1，也可以将1当作10，有效实现了对数的抽象意义的领悟。

二、以形式转译推动表征过程，理解数的本质

在小学数概念教学中，面对同一个数概念，往往可以采用不同的表征形式转译，进行补充和完善，从而丰富数概念的内涵和外延。因此，教师要引导学生经历多种表征形式的转译过程，在各种表征形式之间转译越顺畅，学生就越能够获得丰富多元的概念理解，从而有效感悟数概念的本质。

比如，在教学“1000以内数的组成”这一内容时，笔者给学生提供了一袋小方块，让学生数一数，并用自己的方式记录，看看怎么才能让人一目了然。学生先用数数的方式，发现一个一个表征太烦琐了，然后又用圈100的方式进行表征，接下来笔者引导学生尝试用小棒来进行表征。用小棒表征能够直观呈现出数的完整结构。如235，学生先摆出一百根小棒为一捆的大捆，共有2捆;十根小棒为一捆的小捆，共有3捆;还剩下5根小棒。最后笔者引导学生借助计数器进行数的表征，这种表征的转译，让学生对数概念有了本质的把握和理解。

在以上环节中，教师引导学生通过实践，经历多种表征形式的转译过程，让学生完整建构多种表征形式的一一对应，理顺数之间的关系，直观地认识数的内部结构。借助不同形式的数的表征过程，学生逐渐从直观过渡到抽象，经过推理就能很快认识到200可以用计数器百位上的两颗珠子来代替。这说明学生已经有效地理解了数概念的本质。

三、以有序循环推动表征过程，内化数的运用

在小学阶段的数概念教学中，学生对数的认知具有有序循环性，大多数都是先从直观入手，借助形象来感受，然后再进行抽象，但是经过抽象之后，又需要通过直观的表征来进行解释和理解。因此在教学时，教师要根据需要适时调整，结合学生的已有经验，引导学生经历表征的有序循环，带领学生从感性到抽象，再从抽象到感性，逐步深入，步步进阶，使数概念得到内化并走向运用。

比如，在教学“除数是一位数除法的口算和笔算”这一内容时，对于练习题“三个班的手工课一共用去120张彩色手工纸，平均每班用了多少张？”，为了让学生理解其中的算理，笔者设计了实物、图形表征和模型表征的方式，引导学生进行操作，经历表征方式的有序循环过程：大家可以分一分小棒，或者用画图的方式，看看怎么分、怎么画才能让12÷3一目了然。学生借助操作和画出的图像，理解了12个一平均分成3份，每份就是4个一，紧接着笔者再让学生去理解120÷3，学生认识到可以将120看作是12个十，平均分成三份，每份就是4个十（如图2所示）。

以上环节，教师根据学生的已有经验进行引导，层层递进，带领学生经历从直观到抽象，再从抽象到直观的表征过程，循环往复，有序转换，使学生将数概念内化于心，顺利完成了从直观感受到抽象推理的跨越，从而积累了对数概念的应用经验。

总之，在小学数概念教学中，教师的教学应建立在学生的认识水平和已有经验之上，通过引领学生推动数的三个表征过程，帮助学生对外部信息进行选择加工，从而领悟数的意义，建构数概念的本质，内化数的应用。

（责编 罗 艳）