基于问题驱动的数学化教学的实践与思考

[摘 要]问题驱动以提好问题为前提，方式有以大带小、以点带面、以实带虚等。基于问题驱动的数学化教学，是从“准点的时刻表”过渡到“外出的指南针”，是从“一成不变的传递”转变成“个性表达与共性建构的相映生辉”，是从“深入剖析的巩固新知”渐进为“自我反思的感悟提升”。教学应以凝练和实施教学设计为抓手，做到问题情境注重数学含量，过程经历指向模型建构，思维训练遵循发展规律，最终，理论与实践辩证统一，共同作用促使教学相长。

[关键词]问题驱动;数学化;教学实践;教学设计

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）14-0001-03

课改，就是改课，而要想改变课堂中教与学的行走方式，首先就要改变我们教师的思想。邂逅“数学化”思想，源于《作为教育任务的数学》这本书，这一思想是荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔首次提出的。简单来说，数学化就是“数学地组织现实世界的过程”。随着研究的不断深入，“数学化”教学的实施前提应时而变，即从“生态课堂”到“有效经历”，再到现在的“问题驱动”，越来越聚焦教学本质，接地气且方便操作。“思变则通，通则生智。”在“基于问题驱动的数学化教学”的主张下，教学行为悄然改变，教学效果明显改善。

一、问题驱动：以“提好问题”为前提

要想教得好，需要问得巧。这里的“巧”至少包含两个层面：首先是弄清楚教学内容，把准知识性的核心问题，梳理思维性的基本问题，即确认“教什么”;其次是对教学内容的再加工，使问题产生最大效益，即确认“如何教”。也就是说，“问得巧”既要能“提出好的数学问题”，还要能用这些“启发性的、本原性的、触及数学本质的、在教学中起统领作用的问题”驱动数学教学。

1.整合情境，以大带小

例题承载着碎片化的知识，“一步一景”催生“一题一得”。 “顺利地教”并不一定能实现“有效地学”。教师的“关怀备至”，往往是“牵引”过度，学生的“即时回答”，很多时候只是“思考简单”，这些直接导致学生失去自主探究和自由发展的可能。这种境界较低、格局较小的教学，我们称之为“小问题”教学。“大问题”的“大”主要涉及这四个方面：学科本身的大问题;教学方式的大问题;教学行为背后的教育大问题;学科发展性倾向的大问题。这四个方面只有和谐统一，才能共同服务于学生思维的发展。

以“认识负数” 的教学为例，可设计“大问题”：“用合适的方式把你知道的负数表示出来。”“负数的意义是什么？”“怎样在数轴上表示负数？”……以驱动数学化教学。首先，引导学生调用已有的经验理解问题，并掌握正负数的读法和写法;接着，梳理创造负数的途径，即“人为创造”和“生活约定”，并在不同中找相同，发现“相反意义”的数量可以用负数表示，触摸负数的本质;最后，在将负数与正整数的对比中，确认负数在数轴上的位置，丰富数的认知。显然，整合情境后的“以大带小”，能够助推学生建构知识和拔节生长。

2.统摄全局，以点带面

有些数学知识板块特征明显，学生思考和解决问题的过程“异构同质”。对于这种属性的知识，教师可以从“点”入手，深入挖掘，并以此统摄全局，过渡到“面”。因为课堂教学时间有限，教师很难做到“面面俱到”，而通过聚焦典型例子，能够将抽象的思考模型顺利迁移到不同的情境中，以实现学生“一通百通”。

以“解决问题的策略——转化”的教学为例，可紧扣“不变量思想和等量代换”的转化本质，设计完整的“智慧链”来统摄教学全局：“是怎样转化的 ？（外观其形） ”“为什么可以这样转化？ （内辨其理） ”“一定是这样转化吗 ？（内外平衡拓其思） ”在具体实施时，引导学生聚焦“曹冲称象”，提炼等量转化，感知转化的思考路径;聚焦“面积比较”，提炼等面积转化，掌握转化的方向和方法;聚焦“整理回顾”，提炼“等周长”转化、“等计算结果”转化等，内化转化生智的模型和价值。显然，问题情境在变化，但是驱动教学的“动点”没有改变，因为这个“动点”能反映典型问题，能直达转化本质，还能演绎智慧路径。

3.贯通前后，以实带虚

教师既要“务实地教”，还要引导学生“务虚地学”。这里的“务虚”是指“从具体实际出发，又要离开感性的具体，舍棄具体事物的特殊性，抽象出事物的普遍本质和一般规律”。显然，只有“务实”地引导学生经历数学学习的“关键步子”，才能引发学生“务虚”地体验和感悟，形成必要的、能带走的“关键能力”。

以“认识面积”的教学为例，教师通过“定标准、去测量、得结果”三个板块，驱动学生主动建构面积的概念。首先，用操作活动引发认知冲突，让学生感知表征的丰富性和结果的不确定性，产生统一标准的需求;接着，引导学生尝试使用“标准”初步测量面积，体会“面积”其本质上是“面”的积累，从而感知面的大小与数出的结果之间的对应关系;最后，锁定“标准大小”和“数量多少”这两个关键因素，解决相关的实际问题。教学中还要引导学生将面积与长度、时间和质量等计量单位放在一起观察、对比和感悟，明确凡是计量多少的需要，都要经历“三个阶段”和锁定“两个关键”。显然，这样的问题架构，有助于实现“虚实相生”，并且“生生不息”。

二、数学化：以“和谐共生”为核心

弗赖登塔尔认为，数学化有两种，一类是横向数学化，即把生活世界引向符号世界;另一类是纵向数学化，即在符号世界里，符号生成、重塑和被使用。换句话说，前者将生活引向数学，“生活味”浓一些，后者是数学内部的发展，“数学味”浓一些。相对而言，小学阶段的学习，两种味道应兼而有之，并且能因需侧重、和谐共生。

1.起点和谐：生活问题或数学问题

数学化注重“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，即要想成功实施数学化，只有考虑了学生的基础，后续的组织、抽象和建模才具有针对性和实效性。这里的学生基础有“数学基础”和“生活基础”之分。“数学基础”与学生受教育的程度有关，主要是通过学习已经获得的知识技能、思考方法和数学思想等。“生活基础”与学生生活的环境质量有关，主要是指学生在生活世界里沉淀的经验、技能和价值观等，尽管这些经验不深刻，技能不精湛，价值观也不稳定，但作为“等待发掘的矿藏”，不可小觑，更不能忽视。因此，数学化的起点既可以是生活问题，也可以是数学问题，还可以是两者的优化组合。进一步说，只要贴近学生生活实际，能够引发学生认知冲突、激发学生积极参与、有利于学生发展的问题，都可以作为数学化的起点。

2.过程和谐：观察比较或需求创造

弗赖登塔尔提倡“再创造”，希望学生能像数学家一样思考，能将知识“从无到有”地创造出来，实现有效的数学化。因为知识的属性不同，所以“再创造”的路径也就有了差异。比如“长方体的体积”，这个知识点反映的是体积大小与长方体内部元素（长、宽和高的长度）之间相互依赖与制约的关系，其基本属性是对客观规律的描述，知识是“确定的”。认识这种知识的基本方法是“发现”，也就是通过观察并比较诸多不同对象，从中发现共性，这样的共性就成为具有一定普遍意义的规律。又如“认识分数”，就是源于语言表达、量的测量和数的运算三方面的需要而被发明出来的，什么样子都有可能，知识是“不确定的”。像这一类知识，其本质属性是人的“发明”，通常是因人的主观“需求”而出现的。显然，发现的过程核心环节是“观察与比较”，发明的过程重在“需求与创造”。因此，在践行“再创造”的理念时，不能空喊口号，不能以偏概全，而要实事求是地研究知识属性、选择合适路径。毕竟只有合适的，才是最好的。

3.终点和谐：引向生活或引向数学

终点只是为了休整，目的是更好地再次出发。但有一点可以肯定：“学以致用”不能止步于练习题，这样的“终点”行为只是迁移模仿、机械复制，而且没完没了，极易“终结”学生对数学学习的兴趣。从联系的角度看，起点和终点本身就是认知回路的重要节点，看似外在分离，其实内在统一，因此，数学化终点也可以引向生活或引向数学。比如“解决问题的策略——转化”，最后将转化策略引向生活，创造出“司马光砸缸”（人离开水→水离开人）、埃舍尔镶嵌图形 （简单图形→艺术作品，引导学生感知转化的魅力和价值，培养学生自觉地把数学应用于日常生活的态度）、哥尼斯堡七桥问题 （生活问题→数学模型）……又如“平行四边形的面积”，设置“通过转化成规则的长方形，顺利解决了平行四边形的面积计算，那么要计算三角形的面积又该如何转化呢？两者面积计算之间有什么相同点和不同点呢？”问题，激发学生探究的欲望和興趣，引导学生感受知识的关联性和差异性。当然，引向哪里并不绝对，主要考量是否能够助推学生有所思、有所悟和有所得，这才是和谐共生的关键。

显然，现实的教学需要两种数学化动态平衡和辩证统一。尤其是“当学生的基础知识储备不足时，‘生活味是学生理解和掌握知识的‘调味剂;当学生已经储备了足够的基础知识，能够用数学的思维来理解和掌握数学知识时，‘生活味就要淡一点”。 换句话说，只有两种数学化结伴而行、共同作用，才能帮助学生有效“经历”。但是，我们也要清醒地认识到，随着年级的增长，“数学味”会逐渐浓于“生活味”，这是数学学科的特质所决定的，也是对生活数学化的回归和超越。

三、教学实践：以“教学设计”为抓手

好的问题，能为思维搭建“脚手架”，为教学制订“路线图”。这要求教师能够把握教材、整合情境和提炼知识，属于“静态规划”。但是，教学还要以“好问题”为引领，实施有效的数学化，属于“动态经历”。而教学实践则需要动静结合，并最终凝练成教学设计，观照教育教学的现场。

1.问题情境注重数学含量

无论是生活的问题情境，还是数学的问题情境，它们的作用主要是激发兴趣、引发困惑和触发思考，它们恰似肥沃的土壤，为数学问题的生长提供了良好的环境。对于一节课而言，问题的情境可以不一样，但是从情境中提炼出来的“数学”是一样的，情境创设服务于问题生成，这个功能和作用不能本末倒置。如教学“可能性”时，可设计“摸球”和“摸扑克牌”的问题情境，游戏中摸什么不是重点，重点是引导学生感知“确定事件”和“不确定事件”，会用“可能”“一定”和“不可能”来描述概率事件，并且基于问题情境中数量的多少，把握可能性大小的本质。

2.过程经历指向模型建构

过程经历的丰富性是为了建构模型的深刻性。精密的传授，往往导致学生“努力说服自己从教学中获得特定的知识与技能，尽量控制大脑（个性的）去适应教师‘精心准备的问题情境，去寻求与教师一致的理解”，看起来快捷和高效，其实被动和无趣。比如“认识分数的初步”，首先创设问题情境，激发学生创造分数的内需，然后引导学生经历生态的表征问题的过程，通过对比、归纳，抽象出分数的模型。虽然学生的“再创造”相对粗糙，但这是最真实的存在。教学要做的是捕捉学生表达中蕴含的关键信息，逐步将“个性表达”提炼成“共性建构”。显然，这样的学习立足学生实际，过程有温度又不失深度。当然，在这个过程中，教师要精准指导、合理调控和有序推进，可以放手，但绝不能放任。

3.思维训练遵循发展阶段性

顾泠沅教授认为，实现数学化一般要经历三个阶段，即实物操作、表象操作和符号操作。表象操作作为中间环节，助推实物操作顺势过渡到符号操作，以突破形式化的难关。与此对应，三种阶段还匹配三种数学思维，即直觉思维、表象思维、逻辑思维，以适应各个阶段的需要。比如“9加几的进位加”，可创设数苹果的情境，先让学生用自己的方式，一个一个地数，或者从9往后数，这属于直觉的思考;接着，引导学生观察盒子的特点（每盒放10个），催生学生拆分和合并的需求，得到9+1=10和10+3=13，并通过对比发现“凑整十”的优势;然后，脱离具体实物，通过圈画图形，迁移知识，进入对表象的思考;最后，脱离图形，顺利运用“凑十法”计算，实现“9加几的进位加”的形式化。当然，在有序推进的过程中，如果后一阶段难以突破，仍旧可以回头，从较低思维层次入手，以帮助学生理解和建构。

综上所述，相比传统教学，基于问题驱动的数学化教学，是从“准点的时刻表”过渡到“外出的指南针”，是从“一成不变的传递”转变成“个性表达与共性建构的相映生辉”，是从“深入剖析的巩固新知”渐进为“自我反思的感悟提升”。也就是说，教学不再是简单地解决问题，而是借助问题解决驱动“再创造”过程，以体验的丰富助推建构的深刻，使学习变得有生长、有意思和有道理，最终实现教学相长。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 黄爱华，张文质. 大问题“教学的形与神” [M].南京：江苏教育出版社，2013.

[2] 丁洪，洪荟春.紧扣问题本质，驱动自主建构：“解决问题的策略 （转化） ”磨课实践与思考[J].小学教学参考，2018（20）：13-15.

[3] 弗赖登塔尔. 作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.

[4] 郜舒竹.小学数学这样教[M].上海：华东师范大学出版社，2015.

[本文系南通市“十三五”教育科学规划2016年度青年专项课题“基于问题驱动的数学化过程的研究”阶段性成果（课题编号：QN2016012）。]

（责编 童 夏）