分层远程量子态制备*

彭家寅

内江师范学院 数学与信息科学学院，四川 内江 641199

1 引言

最近二十年，量子力学在计算机科学和信息论领域的应用得到迅速发展，已经成为包括量子计算和量子通信在内的一门新兴学科[1-2]。1993年Bennett等人[3]率先提出的量子隐形传态是量子通信的一个应用，它借助于贝尔测量和两比特经典通信，且以EPR（Einstein-Podolsky-Rosen）对为量子信道，就能传输未知量子态。不久，相关工作被报道，并在理论[4-14]和实验[15-16]方面取得了很大进展。作为隐形传态协议的扩展，一个是远程态制备（remote state preparation，RSP）协议[17-18]，其发送者知道要被制备态的信息；另一个是联合远程态制备（joint remote state preparation，JRSP）协议[19]，其发送者多于一个，并且每个发送者只知道要制备的态的部分信息，从而确保目标态的保密性。自Pati[17]于2001年提出第一个以Bell态为信道的RSP方案以来，用不同量子态作为量子信道的许多RSP和JRSP协议被报道，如Brown态[20]、EPR 对[21]、GHZ（Greenberger-Horne-Zeilinger）态 和GHZ 类型态[22-24]、W态[25]、八粒子团簇态[26]、高维量子态[27]等。

到目前为止，几乎所有的多方RSP和JRSP协议的研究都局限于对称的RSP和JRSP协议上，在这些对称协议中所有接收者都以相同能力去重构发送者发送的未知量子态。2013年，Shukla等[28]讨论了分层量子通信问题，并提出了分层的联合远程态制备协议，其中空间分离的多个代理按其重构未知量子态的能力被分层，高层能力的代理不需要其他所有代理商的帮助就能恢复发送者发送的量子态，而低层能力的代理当且仅当在所有其他代理的合作下才能重构秘密态。直到最近，除文献[28]外，很少看到关于分层远程态制备(hierarchical remote state preparation，HRSP)和分层联合远程态制备(hierarchical joint remote state preparation，HJRSP)的报道。

为拓展Shukla等[28]的思想，本文给出分别以任意的(n+1)-粒子和(n+2)-粒子纠缠态为信道来研究HRSP和HJRSP的两个通用程序，并用几个实例来说明本文方法的可行性。考虑到在现实世界中制备和保存最大纠缠的技术挑战，提出了一种概率版本的HJRSP的一般协议，并证明了当以非最大纠缠的5粒子团簇态作为量子信道时，这样的概率HJRSP方案确实存在。

2 一般确定的HRSP协议

2.1 HRSP协议基本框架

假定发送者Alice打算帮助接收者制备如下一个任意单粒子态：

为此，考虑如下的一般(n+1)-粒子态：

从式（4）可知，Alice的投影测量将粒子A′和代理商们的粒子的联合态等可能的变成下列态之一：

Alice通过经典信道将测量结果告知代理商们，并根据相应的测量对粒子A′施行酉操作I（恒等算子）或σx（Pauli-X算子）后，上述塌陷态变为：

对辅助粒子A′进行投影测量（PMA′），从而代理商们的粒子态坍塌为下列态之一：

具体地，记Alice对粒子A′施行的酉操作为UA′,最后的塌陷态记为μ±或ν±，则上述Alice操作及其结果可以总结于表1中。

Table 1 Relations between measurement and unitary operation ofAlice and result表1 Alice的测量、酉操作与测量结果的关系

例如Alice对粒子A进行投影测量PMA，获得测量结果后，先对粒子A′施行酉操作σx，再投影测量PMA′，塌陷态为

上述表1实质上提供了研究以不同量子态为信道的HRSP协议的成为可能一个基本的框架。余下的任务就是据Alice关于测量信息适当地分解代理商们的联合态，使得他们中的任何人都能重构式（1）所示的原始态，并找出相应的酉变换。

2.2 HRSP协议验证实例

下面，考虑一种特殊情况，并以此说明上述框架可以用来设计以4粒子[15]为量子信道的HRSP协议。

如果代理商们决定由Diana来重构Alice发送的量子态，则可以分解为：

从上述两组表达式可以看出，仅仅需要Bob和Charlie中的任何一人对其粒子进行计算基测量，并公布其测量结果，Diana就能选择适当的酉变换恢复量子态例如，Alice的测量结果为Bob的测量结果为，则Diana的态塌陷为，故Diana仅需施行Pauli-Z算子σz就能获得

从上述两组式子可知，当且仅当Charlie和Diana对粒子C和D做联合Bell态测量JMCD时，Bob才能恢复态。现将Alice测量、Charlie和Diana联合测量JMCD、Bob的塌陷态和其恢复算子RB总结于表2。

Table 2 Relations amongPMAPMA′,JMCD,andRB表2 PMAPMA′、JMCD 、及RB关系

Table 2 Relations amongPMAPMA′,JMCD,andRB表2 PMAPMA′、JMCD 、及RB关系

PMAPMA′JMCD TB s0ε0ϕ+x0-yeiθ1 RB σz s0ε0ϕ-x0+yeiθ1I s0ε0ψ+x1+yeiθ0σx s0ε0ψ-x1-yeiθ0 s0ε1ϕ+x0+yeiθ1 s0ε1ϕ-x0-yeiθ1 s0ε1ψ+x1-yeiθ0 iσy I σz iσy s0ε1ψ-x1+yeiθ0σx s1ε0ϕ+x1+yeiθ0σx s1ε0ϕ-x1-yeiθ0iσy s1ε0ψ+x0-yeiθ1σz s1ε0ψ-x0+yeiθ1I s1ε1ϕ+x1-yeiθ0iσy s1s1ϕ-x1+yeiθ0σx s1s1ψ+x0+yeiθ1I s1s1ψ-x0-yeiθ1σz

从表2可以看出，对于Alice的任意一测量，Bob都需要知道Charlie和Diana的联合测量结果，才能重构态，并且成功的概率为1。这就意味着Bob同时需要Charlie和Diana才能恢复原始秘密。因此，Bob比Diana需要更多的帮助才能重构原始秘密态，即Diana比Bob有更强的能力去完成量子任务。

注1因为4-粒子团簇态也是一种重要的量子资源，所以一个自然的问题是，用4-粒子团簇态去替代作为量子信道，又会有什么结果？为了回答这个问题，假定Alice、Bob、Charlie和Diana事先依次分享态第1、第2、第3和第4个粒子，在这种情况下：

这表明Alice测量后，代理商们的联合态（Q=C4）等价于先前的情况(Q=Ω)，唯一不同的是，Diana和Bob的角色现在颠倒过来了。因此，也能获得在Q=C4情形下的HRSP协议，并且Bob处于比Diana和Charlie能力更高的层面上。

3 一般确定的HJRSP协议

本章给出HRSP的一个扩展版，即HJRSP协议。

3.1 HJRSP协议框架

假定有两个发送者Alice1和Alice2，Alice1知道式（1）的振幅的信息，而Alice2掌握了式（1）的相位的信息。这意味着两个发送者联合地掌握了要被远程制备的态的信息。假定接收者不知道的任何信息，并要求设计一个分层的联合远程态制备协议。为此，考虑一个一般的(n+2)-粒子态：

为了完成任务，Alice1利用基对粒子A进行投影测量PMA，并将测量结果通知给其他参与者。余下粒子的塌陷态为下列态之一：

收到Alice1传来的信息后，Alice2如上一章Alice那样对粒子A′执行适当的酉变换UA′，再用基对粒子A′进行投影测量PMA′，并公布测量结果。这样，代理商们的粒子态变成下列形式之一：

PMA、UA′、PMA′及代理商们的塌陷态之间的关系也如表1所示。

显然，表1也提供了用不同量子态作为量子信道去研究HJRSP协议的一个一般框架。余下的工作和上一章完全类似。

注2本节的上述工作刚好是将上一章中Alice的操作PMA由 Alice1来执行，而操作UA′和PMA′由Alice2来完成而已。即在第2章里，用量子信道去替换式（3）中的，然后将Alice的操作PMA、UA′和PMA′拆分为两部分，一部分由Alice1来执行，另一部分由Alice2来实施，这样就把HRSP协议演绎成了HJRSP协议。

3.2 HJRSP协议验证

下面给出一个实例来说明上述框架是可行的HJRSP协议架构。为此，选择如下5-粒子团簇态作为量子信道：

其中，粒子A和A′分别属于Alice1、Alice2，而粒子B、C和D分别属于Bob、Charlie和Diana，并且：

在 Alice1的测量PMA以及 Alice2的操作UA′和PMA′后，Bob、Charlie和Diana的粒子态变成如表1所述情况。如果Alice1和Alice2的测量结果分别为和，那么塌陷态为：

如果Alice1和Alice2的测量结果分别为，那么塌陷态为：

若代理商们决定由Charlie来重构ξ，则和可以分解为：

现将 Alice1和 Alice2的测量PMAPMA′、Bob（或Diana）的测量PM、Charlie的塌陷态CS及其恢复算子R之间的关系总结于表3中。

例如Alice1和Alice2的测量分别为Bob的测量为，则Charlie的塌陷态为，Charlie执行iσy便获得秘密态。

Table 3 Relations amongPMAPMA′,PM ，CSandR表3 PMAPMA′、PM 、CS及R关系

从表3可知，Bob和Diana中的任何一人的协助就足以使Charlie获得原始秘密态ξ，而不需Bob和Diana都给出帮助，就能达成目标，因此协议成功的概率为1。

现将Alice1和Alice2的测量PMAPMA′、Charlie的测量PMC、Diana的测量PMD、Bob的塌陷态BS及其恢复算子R之间的关系总结于表4中，其理解类似于表1～表3。

从表4可知，Bob必须要收到Charlie和Diana两人的测量结果，才能重构原始秘密态，且成功的概率为1。

由粒子B与D在中的对称性可知，Bob和Diana有相同的能力恢复

Table 4 Relations amongPMAPMA′,PMC,PMD,BSandR表4 PMAPMA′、PMC、PMD、BS和 R的关系

4 一般概率的HJRSP协议

在前两章中，雇佣了最大纠缠态作为量子信道。由于噪声等环境的影响，量子态通常以非最大纠缠态形式存在。本章考虑以非最大纠缠态作为量子信道的HJRSP协议。

4.1 概率的HJRSP协议框架

假设Alice1和Alice2和她们的代理商们事先分享如下的一个非最大纠缠态：

其中，Alice1和Alice2及其代理商依次拥有粒子A，A′,…；实数a和b满足a2+b2=1。不失一般性，假定a≥b。

现在，Alice1利用基对粒子A执行投影测量PMA后，公布其测量结果；Alice2根据Alice1的信息进行UA′操作，再用基对粒子A′进行投影测量PMA′，并公布她的测量结果。在以上操作后，代理商们的粒子态坍塌为如下形式之一：

具体地，Alice1的测量PMA、Alice2的UA′运算和PMA′，以及代理商们的坍塌态AS之间的关系归纳到表5中，其理解类似前面的表。

Table 5 Relations amongPMA,PMA′,UA′andAS表5 PMA、PMA′、UA′及 AS 间的关系

表5实质上也提供了一个研究以不同非最大纠缠态为量子的HJRSP协议成为可能的一般框架。

4.2 概率的HJRSP协议验证

当Alice1和Alice2测量后，按表5可知，代理商的粒子态坍塌为下列态之一：

从上述两组式子知，当且仅当Bob和Diana中任何一人将测量结果公布时，Charlie才可能恢复因此Bob和Diana位于低能力层。

为了完成量子任务，Charlie根据所收到信息，需要引进处于初始态的辅助粒子C′，然后对粒子C和C′施行适当的酉变换Uj(j=1,2)，这里Uj是2-量子比特矩阵，即为4阶方阵，具体形式如下：

例如Alice1和Alice2的测量结果分别为和，而Bob和Diana之一的测量为，则Charlie根据得到的信息，应用U2作用于粒子C和C′有：

接着，Charlie用计算基测量粒子C′。如果测量结果为，则他将对粒子C执行iσy操作就能以b2(a2x2+b2y2)-1的概率获得测量信息，并恢复。如果测量结果为，则重构失败。

现在来计算方案的概率，获得Alice1、Alice2、Bob或Diana的测量结果的概率为1 2，Charlie获得对C′的测量结果的概率为b2(a2x2+b2y2)-1。在这种情况下，Charlie重构的概率为：

对于Alice1、Alice2、Bob或Diana的测量结果的其他7种情形，可以类似地讨论。将Alice1的测量结果PMA、Alice2的测量结果PMA′、Bob和Diana之一的测量结果PM、Charlie的Uj操作和恢复算子R及概率p总结于表6中。

Table 6 Relations amongPMA,PMA′,PM,Uj,Randp表6 PMA、PMA′、PM 、Uj、R和 p的关系

于是，方案总的成功概率为：

从上述两组式子知，当且仅当Charlie和Diana都必须将测量结果告知Bob时，Bob才可能恢复，因此Bob处于低能力层。

在Alice1和Alice2进行投影测量后，Charlie利用计算基对粒子C进行投影测量PMC，同时Diana利用基对粒子D进行投影测量PMD，并公布其测量结果。从而Bob的粒子态变成下列形式之一：

类似于前面Charlie的操作，Bob在收到测量结果的信息后，首先引入处于态的辅助粒子B′，接着对粒子B和B′施行适当的Uj变换，然后利用计算基对粒子B′测量，最后执行适当恢复算子R操作便能以一定概率重构态。将Alice1和Alice2的投影测量PMA和PMA′、Charlie的测量PMC、Diana的测量PMD、Bob的Uj操作及恢复操作R，及其相应的概率pj的关系总结于表7，这里p1=b2/16(a2x2+b2y2)，p2=b2/16(b2x2+a2y2)。

Table 7 Relations amongPMA,PMA′,PMC,PMD,Uj,Randpj表7 PMA、PMA′、PMC、PMD、Uj、R 和 pj的关系

注意到Bob和Diana的粒子B与粒子C在量子信道是对称的，故Bob与Diana处在同一层中。

注3（1）关于表6、表7的含义与前面类似。

5 结论

纠缠是量子世界中的一个重要资源，纠缠的一个惊人应用是远程态制备[17-18]，其中要制备的量子态由一个人（称之为发送者）拥有。在许多实际情况下，初始态是由两个发送者共同拥有的，因此降低了与单个决策者相关的风险。通过下面的具体例子来阐述这个特性。

现在考虑：在一家大型制药公司，有一个开启某特效中药秘方的代码。因这个秘方是最高机密，所以这个秘方不能交给一个授权的人。这样，该秘方的信息必须分布在至少两个授权人之间，以便授权的人都不能滥用该秘方。假定居住在成都的萧华和王娜（两名授权人）分别是这家制药公司的董事长和总经理，而Bob、Charlie和Diana是他们在纽约的代理人。当且仅当董事长和总经理都希望在适当的时候允许使用秘方，那么他们联合在三个代理商之间分发该代码的信息来制备这种中药。然而，其中一个代理人可能是不诚实的，董事长和总经理也不知道谁是不诚实的。但Charlie是公司的高级雇员，他在这家公司工作了很长一段时间，而Bob和Diana最近才加入了公司。这致使萧华和王娜更信任Charlie一些，因此，在代理之间有一个联合的层次结构。在此情境中，萧华和王娜可以联合使用第3章中描述的以5-粒子团簇态为量子信道的HJRSP方案，并发送到三个片段信息，使得Bob、Charlie和Diana中的任何一个在没有其他人的帮助下都不能获得萧华和王娜的完整信息，三人协助才能帮助其中一人解密代码，达到制备特效中药的目的。当然，Charlie比Bob和Diana需要的帮助更少一些，但他没有足够的力量去开启秘方。同时，董事长和总经理中的任何一人也没有足够的力量传递一个单独的信息，让接收者开启秘方。这种相互牵制的联合职责是必不可少的，并且通常在群团中行使。

本文从不同的角度扩展了Shukla等人的非对称联合远程态制备的思想。首先，提供了一个研究分层远程态制备的通用框架，并分别以4-粒子态和4-粒子团簇态为信道来说明框架是可行的。它是远程态制备的拓展，扩展性这一工作是有意义的，因为存在不对称的远程态制备相关的实际情况，且早期没有研究HRSP的可能性。其次，所提出的框架已经被修改为一个新的框架，使得发送者从一个增加到了两个，成了研究分层联合远程态制备的框架，提高量子通信的安全性，并以5-粒子团簇态为信道验证了HJRSP的可能性。因量子态不可避免地受到环境的影响，最大纠缠态很容易演化成部分纠缠态，为此通过非最大纠缠信道将HJRSP推广到概率的情形，并以非最大纠缠5-粒子团簇态为信道说明概率HJRSP的可能性。