基于文化的小学数学教学思考

摘  要：实现基于文化的数学教学变革，能改善学生的数学学习境遇，提升数学课程的育人质量。本文阐述了数学文化的内涵，同时从追问数学问题的源头、剖析数学家的品格、诠释数学思想的内涵、丰富数学原理的变式等维度提出了一些参考策略。

关键词：数学教育  数学文化  实施策略

一

遠在古希腊时代，著名的毕达哥拉斯学派的信条就是“万物皆数”（这里的数指的是整数），他们是通过数来理解整个世界的。在古希腊，一个不懂的数学的人算不上一个有文化、上档次的人，是被人轻视，难以进入大雅之堂的。柏拉图在雅典学院的门口大书“不懂几何学的人不得入内”，就充分体现了这一点。在当时，懂不懂数学是身份、品味和文明的象征。应该说，数学作为一种文化、作为一种文明的象征受到尊重，有着悠久历史。

同时，数学在人类文明的进程中一直起着积极的推动作用，是人类文明的一个重要支柱。就从最简单的数数开始，原始人大约只能区分1和多，碰到3就觉得多了，三人为“众”大概就是这样来的。后来有十进制，用1、2、3、4、5、6、7、8、9和0这十个数字，再加上“满十进一”，就可以表示很多数了。现在看来这些都很平常，然而，这是数学带给人类文明的一个巨大贡献。如果没有了它，稍微大一点的数字就会使人晕头转向。现在金融业或者科学实验中的种种复杂或高精度的数学运算根本不可能进行，我们就不可能有如此高度的社会文明。

所以，数学文化深刻影响着我们的社会和生活。数学是人类文化的重要组成部分，数学教育离不开文化的熏染。数学教育应当充分揭示数学的文化意义——揭示作为知识体系的数学的文化意义、揭示作为科学的数学的精神意义、揭示作为文化系统的子系统的数学文化与其余文化之间的互动关系的意义。

二

数学文化有三种形态：学术形态、课程形态和教育形态。学术形态的数学文化来自数学家群体，是一种处于萌芽状态的数学教育文化;课程形态的数学文化来自数学教育研究者群体，是一种教育价值实现视角的数学教育文化;教育形态的数学文化来自教师和学生群体，是一种强调数学教育文化动态传播过程的数学教育文化。数学文化，归根到底是数学的，在数学学习的过程中要引领儿童经历数学史上那些关键的步子。在这个过程中积累经验、体悟思想、接受熏陶。如何将数学文化融入数学教学，以下方法可供大家参考。

1.追问数学问题的源头

数学知识的产生一方面源自人类生活的外在需要，另一方面则源自数学自身发展的内在需要。在教学中我们能够引领儿童自觉地从这个角度去追问，那么学生对这些问题的认识就一定会更深刻。就以大家都熟悉的“一笔画”问题为例：“一笔画”问题就来自欧拉对一个生活中问题的抽象。在哥尼斯堡小城，有一条河，河中有两座小岛，岛与两岸间、岛与岛之间共有七座桥相连。一天，有人想出一种游戏，他提议不重复地走过这七座桥，看看谁能够找到一条路线。这一问题引不少人的兴趣，但是经过多次尝试失败后，有人写信求教于当时的大数学家欧拉。欧拉思考后，首先把岛和岸都抽象为点，把桥抽象为线，然后欧拉把哥尼斯堡“七桥问题”抽象成“一笔画”问题：笔尖不离开纸面，一笔画出给定的图形，不允许重复任何一条线，这简称“一笔画”。需要解决的问题就变成了一个高度抽象的、数学化的“一笔画”问题。在研究“一笔画”的时候，倘若加上这样的背景陈述，或许数学文化的味道就油然而生了，就可以帮助学生理解数学抽象的意义，感受到数学抽象的强大威力。很多数学问题的产生本身就是由生活问题抽象而成的，这也许就是大家常说的数学化。所以在引入这些数学问题的时候，应尽可能从问题的源头入手来切入，而不能仅仅满足于就事论事的描述。因为数学的抽象大大高于其他的学科，在数学中不仅概念是抽象的，而且方法、手段、结论也是抽象的。

2.剖析数学家的品格

数学教育应关注学生的探究欲望、理性精神、坚韧品格，涵养学生的健全人格。数学故事，尤其是很多数学家的故事，能给学生很多的启迪与教育。所以，我们在教学中要有意识地引领学生关注这些数学家的故事，看看数学家是如何读书、如何学习、如何研究、如何思考的。数学家的故事蕴含着丰富的数学文化意蕴，就以大家都非常熟悉的高斯求和的故事为例，大数学家高斯在少年时老师给大家出了一道数学题：1+2+3+4+5+6+7+……+97+98+99+100=？当大家都在伏案计算的时候，小高斯迅速计算出结果是5050。为什么高斯能计算得如此迅速？因为依次加下去太烦琐了。所以，高斯没有急于计算，而是首先分析算式的特征，然后巧妙地将数字两两配对得到50个101，这样100个数连加就转化成两个数相乘101×50=5050。这个故事很简单，但高斯创造的热情、灵巧的思维、良好的习惯，却能够给学生带来很好的启发。数学史上还有很多数学家，他们的趣闻轶事都常常能够带给学生启迪与教育，教学中要充分发掘和使用这些素材，甚至可以尝试开发一门课程就是《数学家的故事》。数学家本身就是数学文化的化身，什么是数学学科的核心素养？笔者以为就是能够像数学家那样去思考问题的能力和品格，这就是数学文化的精髓。

3.诠释数学思想的内涵

南开大学顾沛教授说：一个人的学历教育中，一般要上13年的数学课程，只有语文课能与之相比。但许多人并未因为学时长就掌握了数学的精髓。很多人参加工作后，可能一个定理也用不到，数学白学了？不是，因为数学素养才是让人终身受益的精华，基本的数学思想无疑是核心素养中最核心的部分。以化归的思想为例，它不仅仅是解决数学问题的基本路径，也是解决其他问题的基本路径。说起化归的思想，就不得不提起那则“烧开水”的案例：给你一个煤气灶、一个水龙头、一盒火柴、一个空水壶，让你烧一壶水，你应该怎么做？答案是显然的：把空水壶放到水龙头下，打开水龙头，灌满一壶水，再把水壶放到煤气灶上，点燃煤气灶，把水烧开。现在再给你一个问题：给你一个煤气灶、一个水龙头、一盒火柴、一个已装了半壶水的水壶，让你烧一满壶的水，你应该怎么办？物理学家会回答：把装了半壶水的水壶放到水龙头下，打开水龙头，灌成一满壶水，再把水壶放到煤气灶上，点燃煤气灶，把水烧开。但数学家的回答却是：把半壶水倒空，就化归为刚才已经解决过的问题了。在数学问题中实施等价转换的时候，我们应该遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理;或者将较为烦琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，以便准确把握问题的求解过程，按照这样的原则进行转化，省时省力。经常渗透等价转化的思想，可以提高解决问题的能力和水平。上面烧开水的例子既加深了对转化思想的内涵理解，同时也拓宽了转化思想的外延和边界。不仅解决数学问题是如此，其实解决生活中的其他问题道理也是一样的。

4.丰富数学原理的变式

数学是模式的科学，数学的本质特征是数学的抽象的，是形式建构的性质。数学上证明一个事物的存在可以有两种途径：一是构造性证明，即用某种方式把该事物构造出来;另一种是纯存在性证明，即用逻辑推理的方式证明该事物一定存在。人们很容易接受构造性证明，但不太容易接受纯存在性证明，小学儿童尤其如此，但这恰恰是数学的神奇之处。以抽屉原理为例，把4个苹果放到3个抽屉里，至少会有一个抽屉里有两个或者两个以上的苹果。在这个基本问题中，其结果是可以构造出来的。学生可以通过操作、演示看到实实在在的存在，抽屉中的苹果有两个或者两个以上。但真正理解这个问题就不能停留在构造性证明的阶段。换一个命题：南京市的常住人口中里至少有40个人的头发根数是一样多的。假如掌握了抽屉原理的数学本质，就可以通过严密的逻辑推理得出结论。因为一个人的头发根数不会超过20万根，而最新数据显示南京市的常住人口有810多万，运用抽屉原理可得，因为810÷20=40……10，所以南京市至少有40个人的头发根数一样多。这就是纯存在性证明，它证明了命题的正确性，但并未指出哪40个人的头发一样多。这比通过数头发的根数去找出头发根数相同的两个人的构造性证明要深刻得多，因为头发的根数很容易数错，更不用说由于时间过长，在数的过程中还可能掉头发等其他因素的干扰。通过这个例子，一方面可以让学生知道纯存在性证明是怎么回事，另一方面也让学生感觉到数学逻辑推理的强大威力，感受数学自身的文化魅力。

三

以上梳理了几条在数学教学中融入数学文化的策略，并以熟悉的案例做了简要的阐述。最后，笔者还想就此话题做三点说明。

第一，关注数学文化在数学教学中的融入，关键是教师要树立正确的数学价值观和数学课程观。从教学的角度来分析，教师的数学价值观和数学课程观会深刻影响教师的教学，影响着数学文化的浸润。数学教师的价值观可分三种形态：工具取向的价值观、能力取向的价值观、文化取向的价值观，显然持有文化取向价值观的教师在教学中更能够自觉关注数学文化的浸润。教师自身所持的课程观大体可分为整体主义课程观和结构主义课程观。整体主义课程观是把课程置身于历史长河之中动态生成来看的，考虑学生整体发展;结构主义课程观则更多从静态的结果来看，着重关注学生对知识的建构。显然，持整体主义课程观的教师更能够关注数学文化的融入。

第二，只要教师的课程观与教学观真正发生了改变，对于數学文化的渗透就有可能体现在课程实施的每一处细节当中，并不拘泥于上文所列举的几条典型路径。例如，对于“无限”的教学。无限是一个普通的数学名词，小学数学教学中常常会讲：自然数是无限的，同一平面内的两条线段无限延长不相交称为相互平行，无限不循环小数等。常常直接使用无限的这一用语，但并没有特别的定义。教学中，如果我们能够引入“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来”“夕阳无限好，只是近黄昏”等词句，用文学的意向来帮助学生实现对数学无限的理解，那么在自然语言与数学语言的交互作用中，就可能让这段学习历程产生一种特有的文化意蕴。

第三，数学文化的至高境界应该人们对于数学美的追求。数学美是事物可被人们的直觉所认识的感性形式的一种性质，这种性质表现出了人的意志、智慧、才能和创造的力量，表现出了对未来的渴望和理想，因而使人们感到喜悦。对此，古今中外的哲学家、数学家们都有论述。罗素就曾说过：数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。数学的美既具有抽象性、逻辑性、有序性等基本特征，又具有简单性、对称性、统一性等个性标志。数学教学中美的渗透，可以举出很多案例。譬如，教学“比”这一概念，讲到黄金分割点，自然就会想到美。当然，这还只是外显的形式美。更重要的是，数学内在的美，阿达玛的著作《数学领域里的发明心理学》中有一个重要的观点：发明就是选择，选择就是被科学的美感所控制的。数学发明经历了准备、酝酿、顿悟、整理阶段，最关键的顿悟阶段与数学美直接相连。

数学教育作为一项具有建构生命意义的活动，理应使用学生享受学习生活的乐趣，关注个体素质的提高，关注人的社会发展、社会生存、人格发展以及社会责任等。数学不仅仅是一种重要的工具或方法，更是一种思维模式，即数学方式的理性思维;数学不仅是一门科学，更是一种文化，即数学文化;数学不仅是一些知识，更是一种素养，即数学素养。数学素养主要体现在以下四个方面：看问题的数学角度、有条理的理性思维、逻辑推理的能力和习惯、合理化地量化和简化的素质。充满文化意趣的数学教学活动，就是通过教师为学生提供富有挑战性的问题，并科学而艺术地进行组织和调控，使学生经历一个圆满的数学学习过程，最终让数学成为一种文化流淌并内化于学生的心灵深处。

【参考文献】

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[2]鲍红梅，徐新理.数学文化研究与大学数学教学[M].苏州：苏州大学出版社，2015.

[3]李铁安.如何理解“数学文化课”的内涵与价值[J].小学教学，2018（1）.

【作者简介】 储冬生，南京市游府西街小学副校长，江苏省特级教师，中学高级教师，全国优课评比一等奖获得者，江苏省“333高层次人才培养工程”中青年科学技术带头人，《小学教学》《小学数学教师》《小学教师培训》等刊物封面人物。积极倡导“问题驱动式数学教学”，潜心打造“生动且深刻”的活力课堂，2017年获江苏省基础教育教学成果奖。

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