小学数学典型错例分析及矫正策略

数与代数

【错例】

【诊断】

1.分数意义建构不到位。

教师在“分数的意义”的教学过程中，没有引导学生主动进行分数意义的建构，导致学生没能真正理解具体数量和份数之间的区别与联系。

2.数量分率理解不清晰。

学生在认识分数意义的过程中，没有真正认清什么样的数表示具体的数量，什么样的数表示分率，学习的过程没有结合具体情境来分辨两者的区别。

3.知识之间衔接有欠缺。

分数的意义教学间隔的时间较长，在学生心中没有形成一个真正的知识体系，造成了知识间衔接不紧凑，遗忘也是导致学生没有真正能够理解分数意义的重要原因。

【对策】

1.注重知识之间的建构。

教学分数的意义的时候，可以结合生活实际来区分分率和数量之间的不同，还应该结合画图的策略帮助学生建立起分率和数量之间的对应关系。

2.强化知识之间的衔接。

在教学分数认识的各个阶段，要合理强化前后知识的串联，使得学生真正理解分数的意义，内化为自己的知识，并能用较准确的语言表达自己对分数的理解。

【练习】

(1)把2米长的绳子平均分成5段，每段长度相当于1米的（ ）；2段这样的绳子长（ ）米。

A.第一根长 B.第二根长

C.两根一样长 D.无法比较

【错例】

（1）A和B都是自然数（0除外），且A÷B=4。那么，A和B的最大公因数是（ 4）。

（2）A和B是相邻自然数（0除外）。那么，A和B的最大公因数是（ A）；A和B的最小公倍数是（ B）。

【诊断】

1.知识本质理解不清晰。

题目中只给了两个抽象的字母，学生不能实现从抽象到具体的转换，例如第（1）题学生没有弄清A÷B=4表示两个数是倍数关系，即A是B的倍数（B是A的因数）。

2.思维定势的影响。

学生在解决此类问题时，受第（1）题的影响，错误地以为第（2）题答案不是A就是B，没有思考当A和B是相邻自然数时，两个字母所表示数的关系并非倍数关系，而是互质关系。

【对策】

1.深化知识本质，辨析数学概念。

在教学“数的整除”这部分知识时，除了借助列举的方法找出两个数的最大公因数和最小公倍数，还应该帮助学生厘清两个数之间的关系，概括出两个数的最大公因数和最小公倍数与这两个数关系之间的规律。

2.鼓励大胆设疑，完善思维过程。

教师在解决此类问题之后，引导学生通过举例验证，深化理解，活用知识。让学生自己举出相关例子，来验证所填写的最大公因数和最小公倍数是不是符合这样的特点。

【练习】

（1）A和B都是自然数（0除外），且A=3B。那么A和B的最大公因数是（ ），A和B的最小公倍数是（ ）。

（2）所有偶数（0除外）的最大公因数是（ ）。

【错例】

一个三位小数，保留两位小数约是3.00。这个三位小数最大是3.001，最小是2.999。

【诊断】

1.考虑问题不够全面。

学生在解决此类问题时，虽然注意到了保留两位小数后约是3.00，但忽略了“最大”和“最小”这两个关键词，没有真正地利用“四舍五入”的方法来解决问题，没有把所有符合的情况一一列举出来，进而选出符合要求“最大”和“最小”的这两个数。

2.学生数感比较薄弱。

学生生活中虽然接触小数，但是运用小数的改写和省略的机会不多，掌握起来相对比较困难，只是凭自己的直观感觉得到这两个数。凭感觉得出的结果往往是不全面的，甚至是错误的。

3.逆向思维训练不够。

在我们平时教学中，往往只是强调“把一个数保留几位小数”“把一个小数精确到百分位”等这样的正向思维训练，缺少逆向思维的训练，比如：一个两位小数保留一位小数后是10.0，这个两位小数可能是多少。从而导致学生在解决此类问题的时候，经常是胡乱地填写一个结果。

【对策】

1.优化学习方式，激发学生思维。

在教学中，教师要尽量避免让学生死记硬背的学习方式，要想方设法激发学习的兴趣，穿插顺向思维和逆向思维练习的训练，把问题抛给学生，增加探究的成分。

2.注重思维严密性的训练。

在课堂上，如果学生给出了不尽合理或不够完善的答案，作为教师，此时我们不应该立即给出判断，可以用这样的语言去启发学生：“你再想一想，是不是还有其他的可能性？”“其他同学可以再思考一下，他的结果是不是完全符合题目的要求呢？”长期坚持这样的训练，学生的思维会变得更开阔、更严密。

【练习】

（1）一个整数四舍五入到万位大约是4万，这个整数最大是（ ），最小是（ ）。

（2）一个一位小数精确到个位大约是4，符合这样的要求的数一共有（ ）个。

【错例】

（1）5.4+6=6

（2）0.3×0.2=0.6

【诊断】

1.算理掌握不牢。

学生对小数计算的算理理解不到位，没有真正掌握算法。第（1）题是小数的数位概念还没有真正建立，小数加减法的计算法则掌握不牢，受整数加减法算法的影响，误以为小数加减法计算方法也是末位对齐。第（2）题中，学生受小数加减法的影响，误认为是小数点对齐。

2.学习体验肤浅。

学生不能从小数的计算活动中获得相关的数学体验，只是根据自己的判断，随便地确定小数点的位置，计算时比较盲目、随意，导致简单的计算错误率较高。

【对策】

1.自主探究，经历过程体验。

在教学过程中，教师要主动放手，让学生自主探究小数的计算法则，引导学生借助小组合作的形式来探究计算法则的过程，在“合作交流”的过程中，交流分享知识形成的过程，从而让学生真正理解小数计算的法则。

2.注重对比，强化反思习惯。

在学生基本掌握算法能够独立完成小数的四则计算后，教师可以安排题组对比练习，如：“5.4+6=”和“5.4+0.6=”,“0.3×0.2=”和“0.3×2=”。让学生先计算，再比较算法和算理以及计算的结果上有什么区别和联系，激发学生的反思意识、主动验算的意识，形成良好的学习习惯。

【练习】

（1）8+3.2=

（2）0.4×0.3的积是（ ）位小数。

【错例】

4.7÷0.8的商是（ 5），余数是（ 7）。

【诊断】

1.忽视算理的理解。

教学过程中，教师只是重视了计算的过程和结果，但是忽视了相关算理的理解，教学时只是重点强调了“把除数转化成整数，按整数除法的计算法则进行计算”这一计算操作方法，却忽视了余数所表示的实际意义，计算过程的探究缺少算理的支撑。

2.轻视结果的验证。

在小数除法计算的时候，结果的验证往往是比较困难的，学生只是凭自己的直观感觉得出余数是多少。其实这道题的被除数只有4.7，除数是0.8，余数不可能比除数大，学生只是根据转化之后的除法竖式，看到余数是“7”，而实际上，这里的“7”所在数位是十分位，不是个位。

【对策】

1.自主探究算理，强化计算技能。

在教学中，教师在放手让学生自主探究“除数是小数的除法”的计算法则时，引导学生交流、分享在计算过程中遇到的困惑，特别是商所在的位置以及每一步的余数所表示的意义，教师适时引导学生说说每一步的余数所表示的意义。

2.注重方法引导，重视结果验证。

除数是小数的除法计算，学生往往不去深究每一步算的是什么，这时就需要教师引导学生在计算的过程中仔细观察余数与被除数的关系。特别是转化之后的算式，结果大约是多少，学生要做到心里有数。同时，要提醒学生计算完之后，进行必要的验算。这样的过程看似多余，却必不可少。

【练习】

下面的4道算式中，与“3.48÷12”结果相等的是（ ）。

A.348÷12 B.34.8÷120

C.348÷1.2 D.0.348÷0.12

【错例】

在括号里填上合适的计量单位。

（1）一瓶眼药水的容积大约是0.01（毫升）。

（2）我们学校的占地面积大约是4.5（平方千米）。

【诊断】

1.缺乏生活体验。

对于常用的计量单位的填写，学生不容易出错，那是因为学生在平时生活中经常接触到这些计量单位。而对于一些不常接触的计量单位，如：公顷、平方千米等，学生填写就觉得比较困难。

2.缺少思维方法。

对于一些距离学生生活实际比较远的计量单位，学生只是凭自己直观的感觉去想象，比如第（1）题，学生通常想到的是眼药水瓶容积很小，应该以毫升为单位，却忽视了“0.01”这个数，没有深入思考“0.01毫升”究竟是多少。要引导学生先回忆1毫升有多少，再思考：一瓶眼药水的容积是0.01毫升，合适吗？

【对策】

1.结合生活实际，强化认识。

教学中，教师要着重引导学生结合生活实际，多举一些生活中的实例。对于一些不常见的计量单位，在课堂上，教师可以结合周边的事物去比较，如：1毫升（即1立方厘米）有自己的大拇指指尖那么大，1升（即1立方分米）有两个粉笔盒那么大，1立方米比自己家的餐桌所占的空间大一些等，1公顷有我们学校操场面积那么大，1平方千米有100个操场那么大。帮助学生形成直观的体验，真正做到合理使用这些计量单位。

2.注重知识对比，形成直观体验。

单元知识学习结束后，要对所学的计量单位进行纵向对比，建立几种计量单位之间的知识体系，明白这些计量单位应用在哪里更加合理，同时还要注意把“数”和“量”综合考量，准确界定其大小。另外，长度单位和面积单位及体积（容积）单位也要进行比较，让学生明白它们之间的联系与区别。借助比较，让学生对这些计量单位有更深刻的认知。

【练习】

（1）我们教室地面一块地砖的面积大约是2500（ ）。

A.平方厘米 B.平方分米

C.平方米 D.公顷

（2）河北省的占地面积大约是18.88万（ ）。

A.千米 B.公顷

C.平方米 D.平方千米

【错例】

（1）1.2×0.8÷1.2×0.8

=0.96÷0.96

=1

（2）2.4+3.6÷0.72-0.22

=6÷0.5

=12

【诊断】

1.错误的“强”信息的干扰。

在学习了运算律和性质以后，“能简便计算的要简便计算”在学生的大脑中留下了深刻的印象。当遇到与“强”信息相类似的外来信息时，原有的强信息将会被进一步激活，从而淡化原有的信息。特别是当算式中出现了能“凑整”的情况下，如第（2）题中学生看到“2.4+3.6=6”“0.72-0.22=0.5”，就误以为可以把“凑整”的数直接进行计算，却不顾及正确的运算顺序，导致计算错误。

2.正确的“弱”信息的消退。

教师在教学过程中，过分强调了运算律和性质的使用，从而淡化了四则混合运算的基本法则。其实计算法则才是混合运算的真正核心所在，学生在没有真正掌握计算法则的基础上就进行简便计算，当然会出现被貌似“凑整”的式子所“忽悠”的现象了。

【对策】

1.突出算理，形成知识技能。

在平时教学中，无论是口算、估算、笔算，还是混合运算（简便计算），教师都应帮助学生树立以“理”解题的观念。口算笔算要有算理，混合运算要以法则、规律或性质为支撑。脱离了算理来进行简便计算，那只是学生的一厢情愿。另外在进行简便计算教学时，最好把不能进行简便计算和能进行简便计算的习题同时呈现，让学生在对比中形成正确使用运算律的技能。

2.转变思想，培养学习习惯。

通过简便计算的学习，不仅仅让学生体验到数学的简洁便利，还能够感受到数学思维的灵活性，但是千万不能让学生步入“简便计算就是‘凑整’”的误区。针对这一现象，一方面，教师一定要加强学生对计算法则和运算律的认识和理解，另一方面，还需引导学生养成验算的习惯。

【练习】

下列各题能简便计算的就简便计算。

（1）16.8-4.8÷4×2.5

（2）3.8×4.99-49.9×0.18

【错例】

（1）正方形的面积和边长成正比例。（√）

（2）在同一时间同一地点，物体的高度和影子的长度成正比例。（×）

【诊断】

1.概念不清，公式不牢。

正反比例知识是初中数学一元一次函数的“雏形”，对于这部分知识的学习，有助于帮助学生丰富对函数的感受，更有助于理解常用的数量关系。在教学过程中往往对一些概念性的知识交待不到位，如“定量”“变量”“一定”等数学名词学生感到抽象陌生，学生解决问题时当然是困难重重。另外，学生对以往学过的数量关系式和数学公式记忆不牢，公式之间的转换混淆不清。

2.核心问题没有抓住。

无论是成正比例还是成反比例的两种量，在教学过程中，教师一定要引导学生抓住两个“变量”和一个“定量”，成正比例的两种量的比值是一定的，成反比例的两种量的乘积一定。比如第（1）题中正方形的边长一定，那么另外一条边长也是一定的，那么它的面积必然也是一定的，不可能成比例关系。第（2）题，如果在教学过程中，学生有过类似的操作体验，就能知晓物体的高度和影子的长度的比值是一定的。

【对策】

1.教学环节要细化。

教学中，教师有必要把学生陌生的数学名词交待清楚，通过结合实例和数量关系式来介绍。如：一辆汽车在高速公路上，保持相同的速度，汽车行驶的时间和所行的路程成什么比例。这里的汽车速度就是定量，时间和路程就是变量；再如：正方形的周长等于边长乘4，这里的“4”就是定量，周长和边长就是变量。这样的细节性的介绍和讲解是必不可少的。

2.数量关系要强化。

现在的教材中，对于一些数量关系有时避而不谈，甚至淡化，这就造成了部分学生的数量关系的模糊。比如：工作总量、工作时间和工作效率之间的关系。另外，教学中教师要引导学生对一些常见的数量关系和公式进行自如地转换，如：时间、速度和路程以及单价、数量和总价等，这样学生直接借助数量关系式就能进行判断。

3.特殊情况要固化。

对于一些不经常接触的数量关系要帮学生形成一个固定化的建构。成正比例关系的如：第（2）题中在同一时间同一地点，物体的高度和影子的长度，以及钢材的质量和体积。另外，还要注意不成比例的两个量的情况，如：（1）平方关系；正方形的面积和边长。（2）加减关系；被减数、减数和差。（3）不关联；身高和体重。

【练习】

（1）互为倒数的两个数成（ ）比例。

（2）圆周长=（ ）×（ ）。（ ）一定，（ ）和（ ）成（ ）比例。

【错例】

(1)一个两位数，个位上的数是b，十位上的数是a。用含有字母的式子表示这个两位数是（ab）。

（2）2a与a2一定相等。 （ √ ）

【诊断】

1.已有认知的不恰当迁移。

学生在学习的过程中很容易受前面知识的影响，比如第（1）题，如果给出一个两位数，个位上的数是4，十位上的数是7，学生会很迅速地写出这个两位数是74。学生一直都认为个位上的数就应该写在个位上，十位上的数就应该写在十位上，但并没有真正意义上明白个位上是几表示几个“一”，十位上是几表示几个“十”，这样就造成错误了。第（2）题也是如此，“2a”表示2个a相加，“a2”表示2个a相乘。学生都误以为是2个a，从而导致错误。

2.教学环节不够细化。

在教学过程中，学生在学习用字母表示数的乘法算式改写时，教师只是对省略写法进行了简略的介绍，甚至是让学生通过自学完成，并没有进行深化、对比，学生对省略乘号的前因后果并不清楚，导致应用时出现错误。

【对策】

1.教学过程细化，防止思维定势。

教学时教师要及时引导学生注意审题，每一个环节都要细化，有的内容该强调还是要强调到位。字母表示数虽然方便简洁，但其实也是一个抽象的过程，字母是不能完全代替数字的，特别是在书写的过程中，该简写的才能简写，而且必须遵照简写的要求来简写。

2.加强知识对比，理清知识联系。

教学时，教师要及时引导学生借助举例、对比等方式，强化知识间的区别和联系。教学时要着重引导学生理解“a+b”和“a×b”、“ 2a”和“a2”之间的区别；第（2）题其实还可以借助举例来验证。如：假设a等于1时，2a与a2的结果就不相等了，当然教学时应该引导学生多举几个例子，才能得出合理的猜想。

【练习】

（1）一个长方形的长是a米，宽是5米。这个长方形的周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。

（2）师徒二人各加工一批相同数量的零件，师傅每小时加工48个，徒弟每小时加工38个，t小时后，师傅完成了任务。

①用含有字母的式子表示，当师傅完成任务时，两人一共加工了（ ）个零件。

②当t=2.5时，徒弟还有多少个零件没有完成？

（薛 刚）

图形与几何

【错例】

每天下午3时30分是某校低年级的放学时间，此时分针与时针的夹角是（ ）。

A.锐角

B.直角 C.钝角

错解：B

【诊断】

1.感性经验积累不足。

表面看来，学生学习角时经历了从身边事物上发现角、抽象角、画角、分类角等一系列数学活动，积累了大量的感性经验，但是在判断一个角是什么角时，学生往往凭经验，感觉看着像直角，认为就是直角。这道题仅仅对角有感性经验是不够的，还需要对时针分针的联动特征有足够的认知：分针在走时针也在走，分针从12走到6，时针呢？

2.知识认知不够系统。

教学钟表时先安排认识了整时：分针指着12，时针指着几就是几时。这个时候留给学生的印象是深刻的，他们认为时针或者分针总是要指着某个数字的。虽然接着又学习了大约几时、几时几分，但是先入为主，他们的心里已经有了强烈的指向性，就是默认为让时针走到表示整时的位置，却忽略了分针的转动对时针的影响。例如，3时30分，分针指着6，学生却误以为时针还指着3。

【对策】

1.感性经验和数学方法并重。

在判断一个角是什么角时，不能只凭感觉，用数学的方法才是准确的判断，要多强调用三角尺的直角去比对：一样大的是直角，比直角小的是锐角，比直角大（且小于180度）的是钝角。也可利用身边的直角工具，如书本的角、卡纸的角等，将数学与生活联系起来。3时30分时，用直角去比对一下时针分针所组成的角，让学生想一想：“一条直角边跟分针重合，另一条直角边跟时针重合吗？”从而激活学生的潜在认知，主动意识到另一条直角边跟时针不重合，时针已经走过了3，在3和4之间。

2.静态认识和动态认识并行。

认识钟表时教师往往会让学生观察静态的图片，来发现钟面上大格、小格、时针、分针、秒针的特点，以及一个具体时刻时针分针所在的位置，即使给学生看了动画，但时间有限，学生难以在规定时间内很好地感受时间是动态的，影响了表像的建立。这里教师要舍得给学生大量的时间去“玩”钟表，可以是模型，也可以是真的小闹钟，在“手感”的比较中感受时针分针的联动，感受时针对分针的追击。从而明白分针从12走到6，时针从3追到了3和4之间，时针分针的夹角是一个锐角。

【练习】

1.给下面的钟面画上时针和分针。

2.钟面上，（ ）时整和（ ）时整的时候，时针分针的夹角是直角。7时整的时候，时针与分针的夹角是（ ）角。

3.钟面上，9时30分的时候，时针分针的夹角是（ ）角；12时45分的时候，时针分针的夹角是（ ）角。

【错例】

一个平行四边形相邻两条边的长度分别是6厘米和10厘米，一条高是8厘米，这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米。

错解：10×8=80（平方厘米）

【诊断】

1.缺少理解，思维定势。

平行四边形的面积计算公式学生记得牢牢的：平行四边形的面积=底×高，但用哪一条底乘哪一条高，学生是模糊的，他们以为底就应该是最下面的一条边，高自然就是这最下面一条边上的高，面积也就错误地计算成10×8=80（平方厘米）。这是因为学生平时见到的平行四边形大都是标准型，很少出现以斜边为底的情况，学生形成了思维定势，他们对面积计算公式的记忆其实已经扭曲为：平行四边形的面积=底边×高。

2.基础不牢，缺乏联系。

解题时，有的学生在所给平行四边形中画出了10cm这条底上的高，却没有发现矛盾：如果10cm这条底上的高真的是8cm，那它所在的直角三角形中，斜边岂不要小于直角边？在认识直角三角形时，学生知道了直角边、斜边，却没有对“直角三角形中，斜边一定大于直角边”留下深刻的印象。

【对策】

1.增加变式，打破定势。

在认识平行四边形时，一定不能单一地出示标准型，要出示各种变式，扁的、高的、正的、斜的等，在给平行四边形画高时，也要注意变式，以底边为底画高，以斜边为底画高等。引导学生从知识的本质出发思考问题，帮助学生对平行四边形的底和高形成正确而深刻的认识。

2.巩固基础，沟通联系。

帮助学生回忆直角三角形中“斜边一定大于直角边”的知识，明确平行四边形有两组底、两组高（如图），在求平行四边形面积的时候，要找准对应的底和高。是哪一条高呢？把问题抛给学生，让学生想明白8厘米只能是以6厘米为底的这条边上的高，那么此平行四边形的面积就是6×8=48（平方厘米），成功解决问题。

【练习】

1.画出下列平行四边形指定底边上的高。

2.选择条件，用两种方法算出平行四边形的面积，看看是否相等。（单位：米）

3.一个平行四边形相邻的两条边分别是6厘米、4厘米，量得一条边上的高是5厘米，这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米。

【错例】

最少要用（ ）个同样的小正方体才能拼成一个大正方体。

错解：4。

【诊断】

1.直观和概念分离。

认识长方体、正方体时，有一种长方体比较特殊：六个面中有一组相对面是正方形。这样的是正方体还是长方体？部分学生在判断时仅仅凭感觉、凭经验，认为是正方体，对于长方体、正方体的概念模糊不清。用4个同样的小正方体拼成的是上下相对面为正方形的长方体，而不是上面、前面、侧面均为正方形的正方体。学生的空间想象可能还停留在二维空间的正方形，缺乏二维空间平面图形向三维空间立体图形的转化。

2.操作与思维脱节。

在解决这类问题时，教师普遍重视借助直观教具学具进行拼搭，学生一眼就能瞅出小正方体的个数。但由于学生没有在头脑中想象、感悟小正方体个数的经验，从而导致对于直观教具学具的过度依赖，离开直观教具学具就不能正确解答。学生的空间想象力没有得到有效锻炼，空间观念没有得到有效建立。

【对策】

1.直观和概念并重。

教学认识长方体、正方体时，要引导学生充分观察实物，从而为理解抽象直观图奠定基础。在直观认识的基础上再进一步通过观察、操作、比较等学习活动来发现长方体、正方体的特征，教师和学生共同概括得出“长方体有 6个面，每个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面形状大小完全相同；正方体也有6个面，每个面都是正方形”。再辅以灵活有层次的练习，深化长方体、正方体概念的形成。

2.操作与思维并行。

在学生借助小正方体学具进行动手操作的基础上，教师要努力引导学生在头脑中进行想象，通过比较、推理，寻找确定小正方体个数的方法，积累解决此类问题的经验。

首先，根据正方体的概念：上面、前面、侧面都是正方形，可以知道，从上面、前面、侧面看到的都是4个小正方形。

然后，根据从前面看到的图形知道有两层，根据从上面看到的图形知道每层有4个，从而正确得出一共是2×4=8（个）。

【练习】

1.至少要用（ ）个同样的小正方体才能拼成一个稍大的正方体，还可以用（ ）个、（ ）个……也能拼成更大的正方体。

2.如图，看得见的小正方体有（ ）个，看不见的小正方体有（ ）个，一共有（ ）个小正方体。再添上（ ）个小正方体可以拼成一个大正方体。

3.用一些小正方体搭成了一个立体图形，从三个不同方向看到的形状如下：

至少用了（ ）个同样的小正方体。

【错例】

将下图中的梯形绕点O顺时针旋转90度。

错解：

【诊断】

1.缺乏空间想象力。

要画出旋转90度以后的图形，学生想象不出，无从下手。学生脑海里想象出的是小长方形无序的转动，而不能让它绕O点顺时针旋转90度。部分学生认为绕O点顺时针旋转90度后的图形就是和旋转前的图形在O点处垂直，于是直接把图中的小长方形想象成了一条线段，然后画出它的“垂线”——另一个长方形（见错解）。

2.没有掌握旋转本质。

学生动手用纸剪出了和图中差不多大小的长方形，准备亲手转一转：摁着点O，把小长方形顺时针旋转。可他们不知道旋转到哪个位置为止，虽然对旋转的三要素（中心点、方向、角度）有所领悟，但还停留在将单条线段绕点旋转，不会从平面图形中抽象出关键线段逐条旋转，没有掌握将平面图形绕固定点旋转的本质。

【对策】

1.逐步建构，训练空间想象。

教学平面图形的旋转时，教师应按照线段旋转——单个的简单图形旋转——组合图形的旋转这样的线索来组织教学活动。围绕旋转的特征和性质进行合理想象，如：①想象一下，分针从3绕点O顺时针旋转90度后指向几？②想象一下，直角三角形旋转后，每条边都转到什么位置了，你准备怎么画？③图形绕点0逆时针旋转180度后，每个三角形都转到了什么位置？为学生提供想象的时间，帮助学生建立几何表象，发展空间观念。

2.充足训练，凸显旋转本质。

《图形的旋转》是在继平移、轴对称之后的又一种图形的全等变换，隐含着重要的变换思想，要让学生了解图形的旋转需具备什么条件，即基本图形、旋转的中心点、旋转的方向、旋转的角度；让学生了解什么叫顺时针和逆时针，规范数学上习惯用语及用手势比画顺时针和逆时针；让学生学会看图判断旋转的角度等。对于平面图形的旋转，要引导学生先找出关键线段，然后将关键线段逐条旋转，最后得到旋转后的图形。

【练习】

1.如图，指针从A开始，顺时针旋转90°到（ ）点，逆时针旋转90°到（ ）点；

2.画出三角形AOB围绕点O顺时针旋转90度后的图形。

3.等边三角形ABC绕点C至少旋转（ ）度才能与自身重合。

【错例】

一个盛水的长方体容器，长10厘米、宽8厘米、高9厘米，里面水深2厘米，现将一个棱长4厘米的正方体铁块垂直放入容器底部，求长方体容器中现在水深多少厘米。

错解：4×4×4=64（立方厘米）

10×8=80（平方厘米）

64÷80=0.8（厘米）

2+0.8=2.8（厘米）

【诊断】

1.审题能力欠缺。

学生没有从中提取到关键信息，水深2厘米，铁块却高4厘米，题目当中没有提铁块有没有被淹没，那铁块到底有没有被淹没？这完全要靠学生自己推理得出。假如解题时默认为淹没，算出现在的水高2.8厘米，在检验时就会发现铁块高4厘米，而水深2.8厘米，显然没有被淹没，自相矛盾。学生没有经历这样的审题过程，仅凭经验作答，导致错解。

2.经验不恰当迁移。

之前遇到的类似题型一般都是浸没，所以学生脑中已经思维定势，再加上放入水中的是铁块、石子等物，学生认为肯定会沉下去，而没有想到这次的铁块居然高于水面，造成错误解答。

【对策】

1.建立审题常规，培养审题能力。

在日常教学中，教师要建立一定的审题常规，可以参照以下三个步骤：①细读，了解题意；②推敲，推敲信息之间的数量关系，形成解题思路。③检验，将算出答案当成条件代入原题，看是否符合。这题当中包含多个条件，学生容易摸不着头脑，教师可以引导学生逆向思考，从问题出发寻找需要的条件。因为水的体积是不变的，而铁块垂直放入容器底部以后，水与容器底面接触的面积发生了变化，比原来减少了16平方厘米（也就是铁块底面所占的面积），最后根据“体积÷底面积”求出水现在的高度。

水的体积：10×8×2=160（立方厘米）

水与容器底面接触的面积：10×8-4×4=64（平方厘米）

水现在的高度：160÷64=2.5（厘米）

2.加强对比辨析，促经验正迁移。

教师可以将这题的错解和正解放在一起，让学生自己比较发现，辨析出错误原因，明晰解题思路。也可以设计一组此类题型，比较当中的条件或解题过程，引导学生小结出什么情况下浸没，什么情况下不浸没。以后再遇到将物体放水里的题目，学生必然会主动去题目中寻找相关信息，判断物体有没有沉没。在教学中教师要合理运用比较的方法，引导学生辨析出相关原因，加深对“错点”的理解，突出“自我纠错”的亮点。

【练习】

1.一个存水500毫升的容器内浸没了两个同样大小的铁球，把它们取出后，水位下降到400毫升，每个小铁球的体积是多少立方厘米？

2.一个长方体水箱，长7分米、宽5分米、水深3分米。把一个铁球完全浸没在水中，水面上升到5分米。这个铁球的体积是多少立方分米？

3.一个长方体容器，长和宽分别是60厘米、50厘米，容器里装有一部分水，且紧贴底面直立着一个高1米、底面是边长为20厘米正方形的长方体铁棒，这时水深50厘米。容器里水的体积有多少升？

（吴兴坤）

统计与概率

【错例】

从下面（ ）中任意选两个数相加，和是偶数的可能性大。

A.2，3，5 B.1，3，5 C.2，5，6

错解：C

【诊断】

1.原理理解不透彻。

虽然“可能性”是生活中的常见现象，但将其从生活中抽象出来，学生仍然会感到有些陌生。因为C选项中有两个偶数，学生就误以为从中任意选两个数，这两个数的和是偶数的可能性大，实际上本题关注的是任意两个数的和。

2.解题策略不恰当。

本题需要对每一组中两个数的和一一列举，然后根据和的奇偶情况进行判断。也可以根据和的奇偶性的规律进行推理，如“奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数”。

【对策】

1.组织探究活动。

在“可能性”教学中，要注意选取学生熟悉的生活情境及感兴趣的游戏活动作为教学素材，让学生经历“提出猜测—收集和整理数据—分析试验结果”的过程，这样可以丰富学生对事物发生可能性大小的直观体验。

2.重视解题策略训练。

引导学生在观察、猜测、实验与交流过程中，体验可能性的大小，发展统计观念。上例C选项中，虽然偶数个数较多，但是如果运用列举策略就可以直观形象地表示出所有出现的结果，借助列举来澄清学生经验上的不足和认识上的误区。

【练习】

1.用1、2、3这三张卡片可组成（ ）个三位数，其中组成奇数的可能性是（ ），组成偶数的可能性是（ ）。

2.5张卡片上分别写着3、4、5、6、7。任意抽出2张，积是双数算小丽赢，积是单数算小刚赢。

（1）两张卡片上数字相乘的积一共有多少种情况？

（2）这个游戏公平吗？为什么？

【错例】

六年级一班参加数学实践能力竞赛活动，获奖学生人数如下图。

回答问题：这个班至少有多少人？哪一个项目获奖的人数最多？

错解：

23+23=46（人）

答：这个班至少有46人。

【诊断】

1.过程经历不充分。

第二个问题，只要进行简单计算和比较就能得出结论。但是，第一个问题需要对各项目数据进行意义界定，在此基础上进行综合分析。学生如果没有经历收集、整理、描述和分析数据的活动过程，对数据特征就缺乏了解。上题中，从各个项目获奖人数看，这个班男生至少有25人（在“魔方”项目中），女生至少有23人（在“算24”项目中），所以，全班人数至少有25+23=48（人）。

2.教学重点被忽略。

数据的收集和整理，重点在于对调查所得的数据进行分析，让学生感受数据中蕴含的信息，发现和提出问题，进而解决问题。上例中学生不仅要统计出各项目获奖的人数，还应该从数据中准确地提取信息，根据数据进行正确的判断和简单的推理。

【对策】

1.在活动中体验。

增加实践活动，培养学生主动应用数学的意识。设计一些与学生生活联系比较紧密又蕴含着数学问题的活动，通过问题使学生在活动中感受、体验、理解数学知识。

2.培养分析观念。

统计图表是一种直观的数据信息获取方式。让学生对收集到的数学信息进行归类整理，制作成统计图表，并通过查看图表，对比分析图表中的数据，从中发现数量关系和变化规律，促进数据分析观念的培养。

【练习】

1.丽丽整理了四年级一班的身高数据，结果如下表。

身 高（厘米）人 数120～129 7 130～139 16 140～149 12 150及以上8

问题：

1.四年级一班身高（ ）厘米的学生最多。

2.丽丽身高是138厘米，按由高到矮的顺序，大约排第（ ）名。

A.16 B.20 C.22

2.下面是某班男生的身高记录。（单位：厘米）

编号1 2 3 4 5 6身高132 128 127 130 133 136编号7 8 9 1 0 11 12身高139 124 144 132 138 126编号13 14 15 16 17 18身高132 133 142 132 133 138编号19 20 21 22 23 24身高134 135 126 134 135 123编号25 26 27 28 29 30身高138 125 142 130 132 133

（1）把上面的数据按要求填写统计表。

身高（厘米）人 数合计 120～129 130～139 140～149

（2）根据统计表完成填空。

这个班的男生身高在( ～ )厘米的人数最多；

俊俊身高按从高到矮的顺序排第10名，他的身高大约是（ ）厘米。

【错例】

四个人踢毽子，丽丽踢了39个，明明踢了28个，华华踢了10个，红红踢的个数比明明少、比华华多。他们四个人踢毽子的平均数（ ）。A．大于10，小于28 B．28 C．大于28，小于39

错解：B或C

【诊断】

1.平均数的意义理解不透。

“平均数”是一个统计量，它的统计学意义是它能刻画、代表一组数据的整体水平。很多学生只会机械计算几个数的平均数，没有真正理解“移多补少”的意义。上例中，前三个人踢毽子的平均数小于28，第四个人的个数也小于28个，所以四个人踢毽子的平均数一定小于28个。

2.处理数据的能力不强。

要准确判断平均数的取值范围，不仅需要明确平均数一定在最小数据和最大数据之间，还应该结合题目中所有数据的特点综合考虑。例如，上例中的10是一个极端数据，整体上拉低了平均数的值。

【对策】

1.有效理解平均数意义。

教学中我们不能单纯地进行求平均数的练习，而应该将学习平均数放在完整的统计活动中。在描述数据、进行整体水平对比的过程中，深化“平均数是一种统计量”的本质，从统计学的角度学习平均数。

2.自主探索平均数算法。

引导学生自己探索求平均数的方法：先合再分或移多补少。然后引导学生感受到这两种方法的本质都是让原来不相同的数变得相同。同时可以适时渗透平均数处于一组数据的最大值和最小值之间，能反映整体水平，但不能代表每个个体的情况，帮助学生对平均数这一概念获得更为深刻和全面的认识。

【练习】

1.小明三次跳绳练习的平均成绩是70下，他第一次跳了64下，第二次跳了68下，第三次跳了（ ）下。

2.甲筐有梨32千克，乙筐有梨38千克，丙、丁两筐共有梨50千克，平均每筐梨有（ ）千克。

3.选一选。

在a、b、c、d四个数中，最大的数是39，最小的数是11，那么这四个数的平均数有可能是（ ）。

①40 ②11 ③22

4.在一次登山比赛中，小刚上山时每分钟走40米，18分钟达到山顶，然后按原路下山，每分钟走60米，小刚往返的平均速度是每分（ ）米。

5.8名学生在某次考试中，最高得分是95分，最低得分是65分，他们8人的平均成绩是87.5分。去掉最高分与最低分后，其余6名学生的平均成绩是（ ）分。

【错例】

有一道选择题，共有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确。明明和红红把六年级二班对这道选择题的答题情况制成了条形统计图和扇形统计图。

1.将条形统计图补充完整。

2.根据以上统计图，下列判断中错误的是（ ）。

A.选A的有16人 B.选B的有4人

C.选C的有28人 D.该班共有50人参加考试

错解：1.无法求得选择A、B的人数，条形统计图未补充完整。

2.选B或C

【诊断】

1.信息加工能力薄弱。

扇形统计图是通过各部分扇形面积占整个圆面积的百分数来表示的，学生缺少对扇形的充分认知，不能把握扇形统计图部分与整体的关系，也不能把条形统计图中的信息与扇形统计图进行整合，对两幅统计图所呈现信息没有建立联系。在上题中，由D选项10人占全班人数的20%，可知全班总人数为10÷20%=50（人），进而可以求出其他选项的学生人数。

2.知识体系构建不牢。

学生之所以认为选项A是正确的，是基于这样的思考：1-56%-8%-20%=16%，就想当然地以为“选A的有16人”，混淆了具体数量与抽象分率的本质区别。另外，这道题表面上是根据扇形统计图进行简单的计算，实际上涉及不同类型的百分数应用题的计算，应按照百分数应用题的解题思路和解题方法进行计算。

【对策】

1.系统建构认知。

扇形统计图以圆和扇形的知识为支撑，但教材中关于扇形的知识相对简略，所以，教学时要充分考虑学生的知识现状，适当增加扇形知识的教学，由浅入深地认识扇形统计图的特征和用途。同时联系百分数的意义，对扇形统计图提供的信息进行简单分析，进行与百分数相关的应用训练。

2.提升信息获取能力。

引导学生既要从整体上观察统计图中的项目信息，看出各部分占总数的百分数，又要寻找对应关系，解决实际问题。在平时的数学学习中，除了加强计算、逻辑能力的培养之外，还应该有意识地培养文本、图表信息的获取与加工能力。

【练习】

1.如图，观察这个扇形统计图，并填写。

（1）如果用这个圆代表总体，那么扇形（ ）表示总体的45%。

（2）如果用整个圆代表你所在班级人数，那么扇形B大约代表（ ）人。

（3）如果用整个圆代表9公顷的稻田，那么扇形A大约代表（ ）公顷。

（4）如果用整个圆代表某校学生的总人数，已知扇形B比扇形A多5%，且多60人，全校有（ ）名学生。

2.下表给出了第24～29届奥林匹克运动会中国和美国的金牌情况。请你根据表格解答。

images/BZ_46_322_467_588_694.png24 25 26 27 28 29中国美国5 36 16 37 16 44 39 32 35 51 36

（1）第27届奥运会中国获得的金牌是第26届的175%，第27届奥运会中国获得几枚金牌？

（2）第29届奥运会中国获得的金牌数比第28届获得的金牌数多百分之几？（百分号前保留一位小数）

3.在为地震灾区捐款活动中，五年级四班每名学生拿出自己的零花钱，踊跃捐款，捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况。根据统计数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图。

（1）该班共有（ ）名学生。

（2）请你将图2的统计图补充完整。

（3）计算该班平均每人捐款多少元？

图1

图2

【错例】

如图是某市用水收费标准，请看图回答：

明明家四月份用水10立方米，应付水费多少元？

错解：10×（2÷1）=20（立方米）

【诊断】

1.获取信息能力欠缺。

图中反映水费总价与用水量变化是折线而非直线，由此可知，水费总价与用水量的比值不是固定不变的。

2.数量关系分析不当。

用水量在5立方米以内（含5立方米），每立方米付水费2元；用水量超过5立方米，每立方米应付水费4元。

【对策】

1.加强识图训练。

教师要引导学生观察图表现象，通过整理分析，进行相应的推断。尤其要结合，设计可以用统计的方法处理的实际问题，让学生自己处理和描述数据，最终解决问题。

2.注重数据分析。

折线统计图选用的数据应该是连续性的数据，教学中尽可能为这些数据赋予实际背景，让他们实际应用中增进对折线统计图特征和适用价值的了解。

【练习】

下面是李欢和王强400米赛跑情况的复式折线统计图。

（1）前200米（ ）跑得快些，后100米（ ）跑得快些。

（2）跑完400米，李欢用的时间比王强多（ ）%。