福比尼原理在解题中的应用

雷亚庆

(江苏省南京市大厂高级中学 210044)

福比尼原理就是大家熟悉的算两次思想，也就是将一个量“算两次”，从而建立相等关系.它的本质实际就是从研究对象的不同表征去探索和发现，利用向量数量积推导两角差的余弦公式就是算两次思想的经典应用.算两次思想在数学解题有着非常重要的作用，下举几例加以说明

分析从装有n+k个小球(其中有k个红球)的口袋中取出m个球，按照两种方法算两次

…

例2 (2018江苏高考第13题)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为____.

分析这是双变量最值问题，解决问题的关键是从已知条件中探寻a,b的等量关系，这时候面积算两次就要大显身手了.

所以4a+c的最小值为9

例3(2010江苏高考改编)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.求点A到平面PBC的距离.

解析连结AC.设点A到平面PBC的距离为h.因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°.

从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1.

因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC.

例4 (2018全国二卷11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B．0 C．2 D．50

分析用函数性质算两次得到该函数为周期函数问题得解.

解析一方面：由已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数可得f(1-x)=-f(x-1).

另一方面：f(1-x)=f(1+x)．

综合起来可得f(x+1)=-f(x-1),

亦即f(x)=-f(x-2).

进一步得f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),

所以函数f(x)是以4为周期的函数.

又因为f(0)=0，f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+2=2.

例5在ABCD中，点E,F分别在上，AE∶EB=1∶2,AF∶DF=2∶3,又交于P点，若求x+y的值.

分析点P位置算两次，利用两次向量共线的线性表示构建方程组求出x,y.

另一方面：点P又在直线CF上，

分析利用点P的双重身份建立解题思路

由余弦定理可得

由②③可得PF1·PF2=4(c2-m2)

综合起来可得

所以两边同除以c2得

“算两次”作为一种重要的数学解题方法,蕴涵着换一个角度看问题的转换思想.其实质是将同一个量从两个不同的角度计算两次,利用“殊途同归”获得的等量关系达到“出奇制胜”的目的.单墫教授编著的《算两次》中，将算两次原理形象地比喻成“三步舞曲”，即从2个方面考虑一个适当量，“一方面……，另一方面……，综合起来可得……”，如果一个数学研究对象具有“双重身份”或“两面性”，也就是说既满足条件A又满足条件B，就可以考虑使用这种方法.