新课标理念下的高中数学概念教学

王秀英

【摘 要】本文论述高中数学概念教学的策略，认为应讲清概念产生的背景、概念的形成过程及其本质属性，重视新旧概念的联系与概念的应用，在应用中理解概念。

【关键词】高中数学 概念教学 概念实质 形成过程 本质属性

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）01B-0040-03

数学概念教学是数学知识教学中的首要环节，是基础知识和基本技能教学的核心，也是帮助学生构建数学知识结构，提高认知水平，培养思维能力等的重要基础。高中数学概念是高中数学基础知识的核心，是学生运用数学知识解决问题的重要理论依据。因此，讲清概念，让学生正确理解概念，应该成为高中数学教学的重要关注点和提高数学教学质量的重要依托。但在实际的教学中，由于受各种因素的影响，很多教师忽视概念教学而重视解题教学的现象普遍存在，造成了学生对概念理解不清，应用不灵活，严重影响了学生的解题质量和学习效果。

《普通高中数学课程标准（试验）》（以下简称新课标）指出，数学教学的最终目的是培养学生的数学能力，数学教学应当使学生理性认识数学概念的本质。同时指出，数学教学中应加强对基本概念的理解和掌握，对一些核心概念要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。因此，教师应该更新教学理念，重视数学概念的教学。那么，该如何有效地进行数学概念教学呢？

一、概念教学应重视讲清概念产生的背景

新课标要求在数学教学中，注意引导学生初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，了解社会发展对数学发展的促进作用。要求使学生在获得基本知识和基本能力的同时，也要了解概念、结论等产生的背景。许多数学概念都是在一些特定的历史条件或社会背景下产生的，在教学中教师应注意以新概念的产生背景为基础，重视新旧知识的自然衔接，在学生现有的认知水平与新概念之间创设一种合适的教学情境，水到渠成地引入新的概念。这样不仅有利于学生对新概念的理解与掌握，而且也在无形中渗透了数学文化，使得数学课堂变得更有趣。

例如，在进行复数教学时，学生对复数这个概念的理解是较困难的。因此，教师在讲授这个概念时，可以先抛出一个问题：“一元二次方程 x2+x+1=0 的解是什么？”学生会立刻回答：“该方程无解。”“错！”老师立即纠正道。（学生肯定会很惊奇，眼睛充满疑惑，盯着老师）这时老师接着说：“不能说它无解，只能说它在实数集内无解，因为它在复数集内是有解的。”此时学生一定很好奇，老师趁机从数的发展史讲起。几千年前，在生产和生活中，人们为了记数的需要而产生了自然数的概念;为了分配一个整体的量的需要，又引入了分数的概念;后来人们为了表示相反意义的量又引进了负数概念，从而将数集扩充到了有理数集;再后来人们为了表示诸如 2 的平方根的数，又引入了无理数的概念，从而将数的范围扩充到了实数集……到了 16 世纪人们遇到了形如 x2+x+1=0 这样的方程，由于它在实数集内是无解的，但人们又需要知道这样的方程的解，于是便引入了单位复数 i，规定 i2=-1，这样“-1”就可以开方了，它的平方根为 ±i，这样，前面的方程也就迎刃而解了。如此，老师顺理成章地引出了复数的概念。

在这个案例中，学生通过对复数产生背景的了解，不仅了解了数集的每一次扩充都解决了原有数集不能解决的一些问题，还明确了为什么要学习这个概念，同时对所学过的数集的包含关系也有了更清楚的认识。

再如，对“异面直线”概念的教学，可以先在长方体模型中，引导学生观察，发现里面有既不相交又不平行的两条直线。老师问：这样的两条直线既不平行又不相交，那它们是什么关系呢？由于不是以前学过的平行直线和相交直线了，当然就有必要对这样的直线给以新的定义，这样“异面直线”概念的产生就自然而然了。此时，老师趁机给出简明、准确、严谨的定义。接着让学生在各种模型中找出、找准所有的異面直线，以体验概念的发生、发展过程。通过这样的教学处理，学生不仅明白了为什么要学习这个概念，而且也理解了这个概念与平行直线和相交直线的区别，从而能很好地掌握这个概念。

二、概念教学要讲清概念的形成过程并揭示其本质属性

新课标指出，学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论的接受和记忆。高中数学课程应倡导自主探索、动手实践等学习方式，要充分调动学生学习的主动性，让学生在老师的引导下，经历从具体实例中抽象出数学概念的过程。同时，还要求高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。由于数学概念具有高度抽象的特点，因此概念教学要引导学生关注概念的形成过程—— 从具体实例到抽象出概念，让学生明白基本概念的来龙去脉，努力揭示、理解概念的本质属性。在概念教学时，教师要注意创设合适的教学情境，充分揭示数学概念的形成过程，让学生置身其中，真正体悟概念的形成过程。同时，还要注意引导学生，努力揭示概念的本质属性。

例如，在教授椭圆的概念时，很多老师通过多媒体，展示柠檬、橄榄球、油罐车的横断面的外轮廓图片等，指出柠檬、橄榄球是椭圆体，油罐车的横断面的外轮廓是椭圆，这些实例能让学生直观地感受到椭圆的形状。但从数学的角度看，到底什么样的图形是椭圆，通过这些实例是不能得出的。因为从这些图片中我们无法得出椭圆的本质属性（概念的本质属性是指一个特定数学对象，在一定范围内保持不变的性质）。因此，笔者从知识发生的过程及学生知识的最近发展区出发，做了如下的教学尝试。

椭圆的教学是在学生学习了圆的基础上进行的。在本课教学中，笔者首先让学生回顾圆的定义，接下来将一根绳子的两端合在一起，固定在黑板的一颗图订上，另一端套上粉笔并拉紧绳子，移动粉笔（整个过程始终保持绳子处于拉紧状态），粉笔头在黑板上运动的轨迹就是圆。接下来，将绳子两端分开，并分别固定在事先准备好的两颗图钉上（两图钉间的距离小于绳子的长度），套上粉笔并拉紧，在移动粉笔前，先让学生猜猜会得到什么图形，还会是圆吗？学生凭直觉，应该不会是圆，但对将会得到什么图形充满好奇和期待。接下来，笔者慢慢移动粉笔，同时要求学生仔细观察图形的形状和图形形成的过程。移动一圈后，学生很快发现得到的图形不是圆，但和圆又有些相似。笔者告诉学生这样的图形就是椭圆。然后要求学生结合刚才的作图过程，联想在粉笔移动的过程中始终满足了什么条件，归纳总结出椭圆的定义。

由于试验过程实际上已经揭示了椭圆上的点的本质属性—— 椭圆上的点（粉笔）到两个定点（两图钉）的距离之和为定值（即绳长），所以学生很自然地就能从中概括出椭圆的概念。这样的教授过程，不仅让学生理解了椭圆的概念，而且还明确了椭圆上点的特征，揭示了椭圆概念的本质。同时，这样一个动态的过程，也会给学生留下深刻记忆，为学生利用定义解题奠定了良好的基础。

三、概念教学要重视新旧概念的联系，注重对概念实质的辨析

数学中许多概念之间都有着密切的联系，为使学生准确地掌握这些概念，教师在教学中必须引导学生弄清他们的联系与区别，如映射与函数、函数与方程和不等式、平行线与平行向量、互斥事件与对立事件、等差数列与等比数列、椭圆与双曲线等。在教学中，教师应善于通过比较、辨析，帮助学生理清其联系与区别，掌握概念的本质。

例如，函数的概念，学生初中已学过，为什么高中还要再学呢？学生很迷惑。所以教学中教师就有必要剖析二者的联系与区别。事实上，两者的本质属性是一样的。初中的定义，强调的是在一个运动变化的过程中，两个变量 x，y 之间的一种依赖关系;而高中的定义是从集合的观点出发，只强调两个集合之间的一种对应关系。对比两个定义，我们可以理解为：将初中定义中变量 x，y 的所有取值分别放入 A 和 B 两个集合中，这样，集合 A 和 B 不就建立了这样一种关系—— 集合 A 中的任何一个实数在集合 B 中都有唯一的一个实数与之对应吗？这不就是高中的定义吗？这样看来，两个定义的实质不就是一样吗？那为什么高中还要对函数重新定义呢？因为高中的定义更具有一般性，它抓住了函数的本质属性。经过这样辨析，学生不仅明确了高中为何还要学习函数概念，而且也不会将初高中的函数概念割裂开来，更有利于学生对函数概念的理解与掌握。

再比如，在教授集合的交集、并集和补集时，很多老师只是照着教材把这些概念解释一遍，再举一些例题训练就完事了。这样教学处理的结果就是，在学生心里，这是三个独立的概念，他们之间没有关系。事实上，集合的交集、并集和补集，是集合作为一个新的数学对象，和我们以前学过的数、代数式、方程、向量等一样，需要建立他们各自的运算。而集合的交集、并集和补集就是几种集合的运算，运算法则就是其各自的定义。通过这样类比、辨析，学生就明白了，集合的交集、并集和补集并不是三个独立的概念，而同属于集合的运算。这样一来，掌握这几个概念也就显得容易多了。因此，我们在教授一些新概念时，要适时地引导学生和已学过的知识进行类比、联想，以帮助学生对新概念的理解与掌握。

四、概念教学应重视对概念的应用，强化在应用中理解概念

掌握数学的基础知识首先需要正确理解数学概念。数学的学习常常需要运用数学概念解决相关数学问题，因此正确理解数学概念是准确运用概念解决数学问题的前提。运用概念解决数学问题的过程又能推进对概念本质的理解，这是一个应用与理解同步的过程。因此教师在教学中，应重视对概念的应用，在应用中帮助学生加深对概念的理解与掌握。

例如，在讲授函数的奇偶性这一内容时，很多学生在初学时往往只记住了判断函数的奇偶性时要判断函数是否满足 f（-x）=f（x）或 f（-x）=- f（x），却往往忽视了定义域的对称性以及对函数表达式的恒等变形处理。为纠正学生的这个认识误区，在学生明确奇函数和偶函数的概念后，可以设计如下题目。

判断下列函数的奇偶性：

设计①的目的是让学生理解奇偶函数对定义域对称的要求，而②③是让学生明确对函数解析式恒等变形的必要性。学生在解答时，往往会得出①②都是偶函数，③是非奇非偶函数的错误结论。①错误的原因是忽略了定义域的对称性。老师在分析错误原因时，要引导学生回忆定义，知道定义中强调对定义域中的每一个 x 都满足 f（-x）=f（x）或 f（-x）=- f（x）。但本例中，对定义域中的 1，不满足 f（-1）= f（1），也不满足 f（-1）=- f（1）。因为定义域中没有 -1，对该函数来说，f（-1）没有意义，所以该函数是非奇非偶函数。而②满足定义域关于原点对称的特点，但在定义域的条件下，函数表达式可等价变形为 f（x）=0，所以该函数既是奇函数又是偶函数。③的错误则是没注意到在定义域的条件下，函数表达式中绝对值符号可以去掉，函数表达式可等价变形为 ，从而可知该函数为奇函数。通过这样的应用，学生对奇偶函数的定义就有了更深入的理解。它不仅要求表達式要满足 f（-x）=f（x）或 f（-x）=- f（x），而且定义域也必须关于原点对称。同时还掌握了在解题过程中，有时还需要对函数表达式进行恒等变形后再判断。

总之，数学概念教学和数学解题教学一样，都是培养学生数学能力的重要途径，教师在思想和行动上必须重视概念教学。在日常的教学过程中，针对不同的概念，教师应该相应地采取合适的、适应学生心理水平和认知水平的教学方法，进而帮助学生在探索、辨析、感悟和应用中理解概念、掌握概念，以达到最终培养学生数学能力和提高学生数学素养的目的。

【参考文献】

[1]彭红亮.MPCK视角下的数学概念教学[J].数学通讯，2014（8）

[2]王 仙.对高中数学概念教学的一点想法[J].中学课程辅导·教学研究，2009（10）

[3]张艳红.浅论高中数学教学中的概念教学[J].中学生数理化·学研版，2015（1）

（责编 卢建龙）