高等数学在高考数学压轴题中的应用研究

李树逵

【摘要】近年来，随着课程的不断改革，高考数学压轴题的难度也越来越大，尤其是压轴题的题目也变得非常的复杂，使学生在练习的过程中无法直观地理解出题者的意图.本文通过参考相关文献对高等数学在高考中数学压轴题中的应用进行了分析研究，希望可以对提高高中生的数学成绩有所帮助.

【关键词】高考数学;压轴题;应用策略

高等数学就是高中生在高考复习阶段学习的基础，但是，在高中数学课堂教学中，很多数学教师还没有意识到高等数学在高考数学压轴题中应用的重要性，这也是导致高中生数学成绩无法提高的重压原因之一.如何提高高中数学课堂的教学质量？本文通过对一系列题型的分析，对高等数学在高考数学压轴题中的应用进行了详细的研究.

一、導数在高考数学压轴题中的应用

在高考压轴题中，导数与数列作为压轴题在高考试卷中出现的频率最高.其考查的重点就是看学生是否掌握了函数以及递推数列相关的重点知识以及解题的步骤等.出题者在出题的过程中经常会将函数、方程式、不等式以及几何解析、向量等高等数学知识融合起来，不仅使压轴题目更具有新意，同时也加大了解题的难度.学生在解题过程中，一定要掌握好相关压轴题的重点知识，其次是可以对重点知识进行灵活应用，最重要的还是对数学审题的理解，如果在解题前不能理解出题者的意图，就会导致在做题当中出现错误，使解题方法偏离题意.

首先我们先了解一下什么是导数？导数就是微积分中的基础概念.也就是说当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f′（x0）或df（x0）dx.在高等数学中，如果数学教师可以通过将变量分离的方法帮助学生确定好解题思路，可以减轻学生的解题压力.分离变量的方法有很多种，其中就包括了“多项式函数或分式函数”和“三角函数”.

1.分离变量中的三角函数：（本文中的试题例子均是参照各类相关文献中的例子）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]，设f（x）≤sinx，求a的取值范围.这种题型给定的自变量范围内的函数一般都是没有最小值的，所以在解题过程中，教师可以引导学生通过确定函数的“单调性”来求a的取值范围，比如，当x=0时，x≠0时，变量有没有最大值和最小值，或者也通过递增函数和递减函数来推理a的取值范围，但是在解题过程中也一定要考虑到三角函数的周期性，以避免解题思路出现错误.

2.分离变量后的函数为多项式函数或分式函数：设函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=β2（cx=d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）通过点P（0，2），且在点P处有相同的切线，y=4x+2.（1）若x≥-2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围.这类题型，我们可以从三个方面进行分析：当x=-1时，当-2≤x<-1时，当x>-1时，进行分量会得出什么样的结论，在通过对这三种情况的交集的分析，求解出k的取值范围.所以，对这类题型，教师也可以通过问题中给定的自变量的范围，即可以通过自变量的最大值和最小值，求解k的取值范围，即可以通过求“最值”求解[1].

二、数列在高考压轴题中的应用

首先我们可以了解一下什么是数列？数列就是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数，数列中的每一个数都叫作数列的项.排在第一位的数称之为这个数列的第一项（通常也叫作首项），排列在第二位的数称之为这个数列的第二项，以此类推，排在第n位的数为这个数列的第n项，通常会用an表示（此段参考于百度文库数列的定义）.这里以一道数学题举例说明一下：【本题材出自2012年高考上海卷·文（23）】对于项数为m的有穷数集{an}，记bk=max{a1，a2，…，ak}（k=1，2，…，m），即bk为a1，a2，…，ak中的最大值，并称数列{bn}是{an}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.（1）若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为2，3，4，5，5，请写出所有的{an};（2）设{bn}是{an}的控制数列，满足ak+bm-k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m）.求证bk=ak（k=1，2，…，m）.出题者设计本题的目的就是为了考查学生在做题过程中对问题进行思考和判断的能力，同时也是为了考查学生对所学数学理论知识的分析和解决能力.比如，在第一问中，就是为了考查学生的应变能力，同时也是为了加深学生对控制数列概念的理解.但是，在第二个问题中，其实就是在强化学生对“控制数列”的概念的理解，比如，因为bk=max{a1，a2，…，ak}，bk+1=max{a1，a2，…，ak，ak+1}，所以也就能得出ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，即ak+1≥ak，所以bk=ak.这种提问题方式，也体现了出题者的数学逻辑思维，其意图很了然，就是为了加强学生对“控制数列”概念的理解.学生通过审题，能确定控制数列{an}的单调性，从而找到解题的方向.学生在做题的过程中，只要将数学的抽象信息变得具体化一些，再通过认真分析，便能归纳出数列的规律，从而学会控制数列的解题方法[1].

三、结 语

总而言之，高等数学在高考压轴题中的应用方式有很多种，其中最常见的就是导数在高考数学压轴题中的应用以及数列在高考压轴题中的应用.所以高考压轴题中的导数和数列是高考复习中的知识重点，我们通过这些解题方法，不仅可以学习高中数学的解题方法，同时通过借鉴高等数学中的知识，也可以帮助学生改变其应变思维，以提高高中生的数学成绩.

【参考文献】

[1]李红光.例谈洛必达法则在高考数学压轴题的应用[J].数学教学通讯，2017（9）：71-73.

[2]张润平.高等数学背景下一类压轴题的简解[J].中学数学（高中版），2011（2）：32-33.