抽样分布的若干反例

张帼奋

【摘要】数理统计中有三大分布，χ2分布，t分布和F分布，这三个分布的定义中要求随机变量之间相互独立，一旦相互独立的条件不满足，那么得到的随机变量函数就不再服从原来的分布;又比如，在正态总体下，样本均值与样本方差是相互独立的，如果没有正态总体这个条件，样本均值与样本方差就不一定独立.本文针对这些问题，列举若干反例加以说明.

【关键词】χ2分布;t分布;F分布;正态总体;独立性

【基金项目】在线开放课程开发（2016），高等教育出版社.

一、引 言

在《概率论与数理统计》[1]教材或课程中都会提到数理统计的三大分布：χ2分布、t分布和F分布.它们是数理统计的基础，在刚开始学习的时候，有不少同学并不太注意定義中独立的条件.那么，如果把独立的条件去掉，会出现什么情况呢？这就是本文想要说明的，通过若干具体的例子，提醒我们定义中独立的条件是不可缺少的.另外，在学习抽样分布时，我们知道，如果是正态总体，那么样本均值与样本方差是相互独立的.但这个定理的证明相对来说比较复杂，所以多数学生只知道样本均值与样本方差独立，而没有注意前提是正态总体，一旦失去这个前提，样本均值与样本方差就不一定独立了.下面我们就针对以上问题一一给出反例加以说明.