几何画板与高中数学整合的实践与体会

刘建康

[摘  要] 几何画板属于诸多优秀教学软件的一类，常应用于数学教学，用户利用几何画板提供的功能，并在其中融入自己的教学思想，便能设计出优秀的教学课件. 利用几何画板制作的教学课件，并不代表用户操作计算机的能力，而是体现了用户的教学理念与教学能力. 几何画板的出现，彻底改变了传统的数学教学模式，使原本呆板的数学教学变得生动有趣，体现了创新教育的发展方向. 在实际操作中，我们应合理、恰当地将几何画板应用于高中数学教学.

[关键词] 几何画板;高中数学;实践与体会

[?]几何画板在高中代数课程中的应用

利用几何画板进行绘图时，它的优点主要表现为速度快、精确度高. 我国著名数学家华罗庚曾提出了学习数学时要采用数形结合的思想. 在高中数学中，函数是应用数形结合思想最多的一个知识点. 众所周知，函数属于中学数学的基础知识，也是数学知识中非常重要的概念之一，在高中数学的许多知识中，都涉及了函数的思维方法及概念. 而采用绘制函数图像的方法就是研究函数性质的最好方法. 在几何画板出现以前，数学教师在讲解函数知识内容时，通常只能凭借粉笔和尺子，采用手工方式绘制函数图像，这种采用手工描点的方式，不仅速度慢，而且描绘的点有可能还会出现误差，当教师绘制完图像时，可能就没有多余的时间去讲解函数的性质了. 但利用几何画板，教师只需要在软件中键入函数解析式，软件就会立即生成对应的函数图像，而且精确度非常高，总计用时不超过两分钟，这不仅将教师从烦琐的绘图工作中解脱出来，而且还提高了教学质量. 比如：在讲解同类函数的性质时，教师通常采用的教学方法为：首先利用函数解析式绘制一个或n个函数图像，然后在同一平面直角坐标系中对比函数图像，以方便学生掌握函数的性质. 在传统数学教学模式中，就只能利用粉笔和黑板绘制图像，采用手工方式绘制的图像不仅不够清楚，并且容易出现关键点重叠的现象，导致学生不能正确进行辨认. 但是几何画板出现之后，教师就可利用几何画板清晰呈现图像以及存储大量数据的特点，将其应用于同一坐标系中对比同类函数图像，利用几何画板绘制的图像，具有直观、清晰、快速呈现相应内容的特点，因此，它大大提升了教学质量，起到了事半功倍的教学效果.

在讲解函数与其反函数图像之间的关系时（指数函数与对数函数图像之间的关系），传统的教学方法为：首先分别在黑板上绘制出指数函数与对数函数的图像，然后再进行对比讲解，当讲到两个图像与直线对称的关系时就会存在一定的难度. 而利用几何画板进行讲解，可先在同一个平面直角坐标系中分别绘制出指数函数与对数函数的图像，然后在指数函数上任意选取一点作为该点关于直线的对称点，利用该点的运动轨迹就能发现该点总会落在对数函数的图像上. 这样学生便能很快掌握这两个函数之间的关系了.

传统数学教学模式在归纳函数知识时，通常采取的方法为：绘制出几个不同取值的函数图像，然后在此基础上进行抽象的总结，这种归纳方式得出的结果并不完全正确. 而采用几何画板绘制图像，可首先在平面直角坐标系中绘制出函数图像，然后设定3个参数线段，函数图像会随着参数线段长度的变化而变化，教师一边讲解，一边拖动线段的一个端点，并让学生通过观察图像的变化情况总结函数知识. 这不仅提升了学生观察事物、总结知识的能力，同时，也让整个教学过程变得更加灵活，教学氛围更加轻松愉悦.

几何画板在高中代数中的应用，除了函数相关知识外，还包括求解方程和不等式、研究由离散点组成的函数图形（数列的函數意义）等等.

[?]几何画板在高中空间几何课程中的应用

空间几何研究的内容为：结合公理内容及图形点、线、面三者之间的关系，阐述三维空间图形性质. 数学教师在讲解这部分内容时，通常采用的方法为：在平面中绘制一个三维空间图形进行讲解. 由于日常生活中，学生经常看到的图形为二维平面图形，因此对三维空间图形缺乏想象力. 学生大多数时候也只能将这两者等同起来，这就严重影响了学生学习这部分知识的效果. 为解决这一问题，在传统的教学模式中，数学教师会制作一些立体图形带到课堂上进行辅助教学，帮助学生理解三维空间图形的概念，并在此基础上逐步培养学生的三维空间想象力，这种教学方式的教学速度非常慢，并且不一定能起到预期教学效果. 但是在讲解这部分知识时，如果能利用几何画板的动态演示功能，采用拖动某些点的方式，就能让平面中的三维空间图形运动起来，从而把三维空间图形的各个元素之间的位置及度量关系形象地呈现给学生，学生也就能直观了解到三维空间的性质，并将其与自己的抽象认知进行联系，学生的空间想象力也就得到了提升，更容易理解平面中的三维空间图形的相关知识. 学生在今后解答相关题目时，也会更加得心应手. 比如：教师向学生讲解绘制正方体的步骤时，就可利用几何画板的动态演示功能，让学生仔细观察正方体的旋转、翻转过程，以及面与面的视觉图形特点，这将帮助学生更加准确地在平面中绘制出正方体. 另外，数学老师在讲解计算三棱锥体积的方法时，通常会让学生采用分割三棱柱的方式进行求解，而利用几何画板就能快速实现分割三棱柱，具体方法为：在几何画板中将三棱柱的每个割面标记上不同的颜色，然后拖动分割出来的三棱锥，最后结合祖暅原理相关内容对三棱锥的体积进行求解，几何画板在这里起到的作用就是直观形象地呈现了原本非常抽象的分割三棱柱的过程，学生在观察了分割三棱柱的过程之后，就更加容易理解空间几何的相关内容了，学生的空间想象力也会更加丰富. 在这个过程中，学生还学会了利用分割几何体的方法来计算其他几何体体积的方法.

[?]几何画板在高中平面解析几何课程中的应用

平面解析几何这门课程的实质其实就是将平面几何问题转换为求解代数的问题. 在这门课程中，最基础的知识为求点的轨迹. 该知识点的主要思路及解题步骤为：第一，结合题目列出的条件构建平面直角坐标系;第二，在轨迹上任取一点，并在坐标上找到该点的位置;第三，给出并简化相关恒等式;第四，获得该点的轨迹方程;第五，利用点的轨迹方程达到利用代数问题求解平面曲线问题的目的. 在传统教学模式中，学生不太容易理解曲线与方程之间的对应关系. 但是，利用几何画板提供的相关功能，教师可向学生生动形象地呈现点的运动过程，学生在观察点的运动轨迹时，更容易掌握构建平面直角坐标系的方法. 比如，教师在讲授抛物线的标准方程这个知识时，传统的教学方法为：教师首先在黑板上绘制一条定直线和一个定点，然后再绘制出n个到定直线距离相等的点，以及n个到定点距离相等的点，这个过程非常烦琐，并且操作起来也存在很大的难度. 但是，利用几何画板提供的功能，首先绘制出对应的一个动点，通过拖动点的方式，并跟踪点的运行过程就能获得该点的运行轨迹，即抛物线，然后结合抛物线顶点的特殊位置，就能构建平面直角坐标系，其对称轴为坐标轴，最后结合抛物线概念就能获得抛物线的标准方程. 另外，教师在讲解求解直线与半圆的交点个数时，可首先在几何画板软件提供的平面直角坐标系中绘制出半圆，直线为一组平行直线，这组平行直线的取值有所不同，然后在坐标轴上任取一点，通过该点绘制出对应斜率的直线，最后采用拖动该点的方式就可获得一组动态的直线，学生通过观察就能得到直线与半圆的交点变化情况，从而得出正确答案. 几何画板在平面解析几何中的应用，能使学生养成利用数形结合的思想处理几何问题的习惯.

虽然几何画板具有制图速度快、提高图像精确度等优点，但学生却无法完整地观察到图像的生成过程，它呈现给学生的还是以结果为主. 久而久之，将影响学生的动手操作能力. 所以，在数学教学中，教师可利用它的优点进行辅助教学，但不能将其作为教学的主要手段，不能整堂课完全采用几何画板进行教学. 有些传统的教学方法如“五点作图法”仍然非常重要. 因此，在本文看来，数学教师在利用几何画板进行教学时，不能忽略传统教学方法，应当将两者进行有机结合，才能最大限度地提高教学质量. 另外，几何画板生成图像的原理还有待验证，这就容易误导学生只知其一，不知其二. 特别是对于一些关于参数的函数图像，几何画板虽然能直观地将图像呈现给学生，但学生却不了解图像生成及发生变化的原理，这就限制了学生思维的发展. 所以，本文认为，教师在讲解数学知识时，首先应采用传统教学方法让学生理解知识要点，然后利用几何画板验证知识点是否正确，这不仅有利于学生深入理解知识，同时也提升了学生的思维能力.

[?]结语

几何画板提供的动态演示功能，使原本枯燥乏味的数学知识变得更加形象直观、生动有趣，使学生更易理解与掌握数学知识，在一定程度上提升了学生观察图形、分析问题、处理问题的能力，培养与提升了学生的形象思维能力. 但是，学生将知识进行内化的过程是一个长期的过程，这中间需要学生对知识进行理解、实践、再理解、再实践……，所以，高中数学教师在利用几何画板进行教学时，不能完全依赖于它，教师应当将其与传统教学方法结合在一起使用，让学生主动参与到学习中来. 这样才能最大限度地提升学生学习热情，提高数学课堂教学质量.