数形结合思想在高中数学解题中的应用

寇旭艳

[摘   要]数形结合思想在解题中有着非常重要的作用，不管是平时的考试题还是高考题，很多都与数形结合有关 .有些题如果不用数形结合法来求解，运用常规方法来解要么难度很大，要么就解不出来 .如果解题时能巧妙地结合图形利用数形结合法，可以取得很好的效果，非常容易得到答案.

[关键词]数形结合思想;高中数学;解题

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）14-0030-03

数形结合思想是一种重要的数学思想，在解题中有非常重要的作用 .很多试题都与数形结合密切相关;有些题如果不用数形结合法来求解，运用常规方法根本解不出来 .如果在解题时能巧妙地结合数形结合法，可以取得很好的效果，非常容易得到答案 .

“代数”与“图形”的结合可以把抽象的代数问题，通过其图像直观形象地展示出来 .把“数”与“形”结合起来研究，可以将代数问题几何化、直观化和简单化，从而使问题得到解决 .数形结合在高考解题中也有重要的作用 .高考的时间有限，有些题目运用常规方法来求解，往往计算量较大，运算复杂，花费很长时间 .如果在解题时能巧妙地运用数形结合法，可以非常容易得到答案，起到事半功倍的效果 .

运用数形结合法来解题时，要求学生要审好题，要了解清楚题目的条件和要求，并积极挖掘与之有关的条件，联系以前学过的相关知识，寻找所给条件与结论之间的关系，找出所给关系式的几何意义，将代数问题转化为几何问题，将数量关系与几何图形结合起来解决问题 .要将“代数”与“图形”结合起来，关键是学生要会画出常见函数（方程）的图形，并根据所画的图形分析代数式所表示的意义 .教师在教学过程中，遇到相应的考点时，要引导学生从代数与几何的关系方面去分析它们的内在关系，从而寻求解决问题的有效方法 .下面本文通过几个案例的分析来谈谈数形结合思想在高中数学解题中的应用 .

一、利用数形结合解决集合的有关问题

1.利用数轴解决集合的运算问题

在集合运算中，可以利用数轴和韦恩图来进行集合的交、并、补等运算，使问题变得简单明了 .

算非常方便直观 .

2.利用韦恩图解决集合的问题

） .

二、利用数形结合求方程根的个数

很多方程往往以代数的形象呈现在人们面前.如果单单用代数的方法去解决总是不尽如人意，而数形结合的使用往往会收到意想不到的效果 .

利用数形结合求解含有抽象函数、三角函数、指数函数、对数函数和幂函数，可以更加直观形象地求出结果.如果只用代数解可能比较麻烦，或者根本就解不出来 .

三、利用数形结合求不等式的解集

通过上面的两种解法可以看出，解法二利用了数形结合法，既直观又形象地找出了本题的答案，又不容易出错 .

在以上两种不同的解题方法中，分别利用了单位圆中的余弦线和余弦图像解题，根据余弦函数的图像和性质，能够更加直观地得出结果 .以上兩种不同的方法，都是数形结合的解题方法，得出的结果相同，都能够将习题迅速解出 .

四、利用数形结合求参数的取值范围

分析：本题若按照常规方法直接利用求根公式求出方程的两个根，再由“一个根小于0，另一根大于2”建立不等式来求解，就要解两个含有根号的不等式，特别麻烦.如果根据“三个二次的关系”画出图像，结合二次函数的图像特征来求解，问题就变得很简单了 .

五、 利用数形结合求函数的值域

1.利用数形结合求分段函数的值域

分析：首先可以去掉绝对值，把上式变为分段函数，然后画出分段函数的图像（如图10），由图像可以很清楚地看出函数的值域为[-2 ，2] .

2.利用数形结合求分式类型函数的值域

3.利用数形结合求含有根式类型函数的最值

分析：本题若直接用代数法求解根本无从下手.若能联想到两点间距离公式，转化为一个动点到两定点的距离之和来求解，问题马上变得既简单又形象直观 .

此外，数形结合在解析几何、立体几何、统计与概率等都有广泛的应用，数形结合思想在解题中有非常重要的应用.作为一线教师，在平时的教学中不仅要注重钻研教材，把教材的本质充分地发掘出来，更要注重对学生渗透数形结合思想，使学生在平时的学习中逐渐养成利用数形结合思想来思考与解决问题的习惯，从而提高学生的思维能力 .教师还应要求学生在做题时，既要会根据题目的条件画出图形，又要会利用图形来理解题目中代数式的几何意义，从而达到“数”与“形”相统一 .

（责任编辑 黄桂坚）