渗透数学思维培养的课堂教学研究

王红根

摘要 数学教学是思维活动的教学，而不只是数学知识的教学。学生的思维发展是数学课堂教学的关键。基于此，以“等腰三角形分割”一课为例，从思维的广博性、延续性、严密性和批判性出发，阐述如何在数学课堂教学中有机渗透学生数学思维的培养。

关键词 数学思维 课堂教学 等腰三角形 分割

一、问题提出

通常我们都认为思维是智力的核心，那思维的培养无疑是教育的本质目的之一。著名教育家赞可夫指出：“在各科教学中要始终注意发展学生的逻辑思维，培养学生思维的灵活性和创造性。”而思维活动的教学恰好体现在数学课堂中，学生思维的发展是教师数学教学的核心目的。可以说，没有数学思维，就没有真正意义上的数学学习。因此培养学生的数学思维是很有必要的。

基于培养思维的必要性和重要性，要求数学教师在课堂教学中注重对学生数学思维的培养。下面以初中数学“等腰三角形分割”一课为例，阐述在课堂教学中渗透对学生数学思维的广博性、延续性、严密性和批判性的培养。

二、数学思维的具体培养

1.思维的广博性。

思维的广博性是指对一个问题从多方面考虑，不要只做表面的观察，而应由此及彼、由表及里地进行分析，不断扩大观察和思索的范围。具体表现为对一个命题给出多方面的解释，对一个对象用多种方式表达，对一个问题思考各种不同的解法。在数学教学中，教师要注重多方位、多角度的思考方式，拓广解题思路，培养学生思维的广博性。

问题1：任何三角形都能够被分成两个等腰三角形吗？

生1：对于我们学过的等腰直角三角形，作斜边上的高可以把它分成两个等腰三角形。

生2：正三角形应该也可以（如图1）。

稍息片刻后全班愕然：正三角形这么特殊，居然不能被分成两个等腰三角形？

师：是不是只有特殊三角形才能被分成两个等腰三角形呢？老师给大家举个例子。如图2，

∠A=100°，∠B=20°，∠C=60°。你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？

生3：动手尝试，比较容易从60°角中“拆出”20°角和40°角，从而得到两个小的等腰三角形，其实就是利用画BC边的中垂线可以得到分割线CD。

上面两个例子说明，并不是特殊的三角形就能被分割成两个等腰三角形，而图2看似普通的三角形却能被分割成两个等腰三角形。

问题2：那么怎样的三角形能够被分割成两个等腰三角形呢？即三角形能够被分割成两个等腰三角形要具备什么条件？

教师通过举例，并由学生动口回答、动手操作，发现不只等腰三角形能分割成两個小等腰三角形，继续引导学生探究“怎样的三角形能够被分割成两个等腰三角形”，注重引导学生发散性思维的培养。通过上面例子的提升，学生自然想到正三角形，这是定势思维的体现，课堂上遇到该情况，教师可以及时给出提前准备好的例子，发散学生的思维以提升思维的广博性。在课堂上的指导应该切合课题，不可脱离课堂进行发散思维。

2.思维的延续性。

思维的延续性表现在数学课堂教学过程中，教师通过“润物细无声”的引导，尊重学生的思维过程，在学生已有的知识和学习经验的基础上，保持学生思维顺畅，循序渐进地进行教学，而不是“拔苗助长”，脱离实际教学。这也符合倡导多年的以学生为主体的新课程理念。

如图3，设∠BAC=α，∠B=β，∠C=γ。线段AD将△ABC分成等腰三角形ABD和等腰三角形ACD。

几何条件代数化。

师：请问，图3中其他的角是否也可以表示出来呢？

生4：∠BAD=β（理由：AD=BD）。

生5：∠ADC=2β（理由：外角等于不相邻内角之和）。

生6：∠DAC=α-β。

师：△ACD为等腰三角形有怎样的情况呢？

生7：（情况1）有可能∠ADC=∠C，如图4，即2β=γ①。

生8：（情况2）也有可能∠DAC=∠C，即α-β=γ②。

生9：还有可能∠ADC=∠DAC，即2β=α-β③。

师：请大家来解释一下①②③各表示什么意思？

生10：①“2β=γ”表示原三角形有一个角是另一个角的2倍（Ⅰ）。

师：对于②“α-β=γ”说明了什么？

师：我们添加一个固有的条件：∠A+∠B+∠C=α+β+γ=180°④，可以发现什么呢？

生11：由②④可得2α=180°，即α=90°⑤，即原三角形是一个直角三角形（Ⅱ）。

生12：我知道③就是“α=3β”，表示原三角形有一个角是另一个角的3倍（Ⅲ）。

在上述教学片段中，用代数手段来解决几何问题是数学的基本方法，它体现了数学的工具作用，体现了转换、转化的思想。这里学生可能不敢尝试用三个字母来研究问题，此时教师要大胆鼓励这样的“建模”，这也为学生接下来的高中学习做好铺垫。在初中数学学习中应该有许多的机会让学生见识“建模”，运用“建模”，进而理解数学科学的作用。我们根据建立的模型发现了这里有三种可能的情况。这也是数学分类讨论思想的体现。对于前面的三种情况，分别由学生得到3句概括的语句，从而提炼和初步抽象出能分割成两个小等腰三角形的三角形该具备怎样的3种不同条件。但是这只是猜想，具备这样条件的三角形一定能分割成两个小等腰三角形吗？怎么分割呢？所以这里又提出了新的问题。这就是思维的延续性的体现。在课堂设问中，问题必须循序渐进，层层递进，设置梯度，有效推进，“浅入深出”，正如教学片段中所呈现的设问方式，能够提升学生思维的延续性，基本概括出本课题的模型，提升课堂深度和广度。

3.思维的严密性。

思维的严密性是指学生考虑问题时，需要通过训练达到严密、有据的地步。要提高学生思维的严密性，首先要求学生要思路清晰，就是要按照一定的逻辑顺序思考问题。特别在学习新的知识与方法时，应从基本步骤开始，一步一步深入，不可用跳跃式思维。其次要求学生要全面、周密地思考问题，做到推理论证要有充分的理由作根据，这充分体现在几何论证中。具体的体现是学生需要运用直观的角度，但不停留在直观的认识上;运用类比，但不轻信类比的结果;审题时不仅注意明显的条件，而且留意发现那些隐蔽的条件;应用结论时注意结论成立的条件;仔细区分概念间的差别，弄清概念的内涵和外延，正确地使用概念;给出问题的全部解答，不使之遗漏。

（1）符合（Ⅰ）的三角形一定能够被分割成两个等腰三角形。

已知：在图4中，∠ACB=2∠B=2β。

师：画AD（也可以画AB的中垂线与BC相交于D），使∠BAD=∠B=β。请问同学们，发现什么了吗？

生13：∠ADC=2β，进一步有∠ADC=∠C，那么，△ABD和△ADC都是等腰三角形。

（2）符合（Ⅱ）的三角形一定能够被分割成两个等腰三角形。

已知：在图5中，∠C=90°。

师：画CD，使∠BCD=∠B=β能做到吗？

生14：只要画BC的中垂线就行了。

师：请同学们继续想下去。

生15：这时∠ADC=2β。

生16：利用∠ACD与∠BCD互余，而且∠DAC与∠B互余，所以∠ACD=∠DAC，即△BCD和△ADC都是等腰三角形。

师：（Ⅲ）的证明与（Ⅰ）的证明是类似的。

在教学中要鼓励学生做到大胆猜测，小心求证，而求证的过程正好是思维严密性的最好体现。该片段中，教师采用（Ⅰ）的证明过程作为范例，在讨论过程中注重几何问题代数化，证明一般情况下的结论，使得结论具有普遍性，便于推广，充分反映了思维的严密性。严谨地推理是数学的一大优势，是数学成为科学工具的重要特征。证明对于初三学生并不陌生，他们大多数能够理解。模仿证明困难应该不会太大。学生对探索过程和提炼结论都是比较关注和感兴趣的，但得到结论后，他们往往容易忽略对探索、猜想结论的证明，这点要引起教师注意。同时对自我探索结论的证明不仅能考查学生的数学分析、证明能力，还能较好地培养学生思维的严密性和深刻性。

4.思维的批判性。

数学知识具有严密的逻辑系统。在初中数学学习中，某些旧知识是新知识的基础，新知识又是旧知识的引申和发展，学生的认识活动也总是以已有的旧知识和经验为前提，在原有的基础上进行推广的。因此，教师在教学每一个新知识点时，都要尽可能整合有关的旧知识，利用已有的知识来搭桥铺路，引导学生运用知识迁移规律，在获取新知识的过程中发展思维。批判性思维意味着独立思考，敢于质疑，不盲从权威，不唯上不唯書;意味着基于证据和数据得出结论、做出决策，实事求是，不随意不主观;意味着思维过程严谨缜密，推理合乎逻辑，不武断不独断。

以下教学案例是在教学过程中，喜爱数学、爱动脑筋的初三学生提出的质疑。

生：如图6，设∠BAC=36°，∠ABC=96°，∠C=48°。这时该怎么画呢？

师：原来D点在外面！这种现象叫“外分”。应该说还有意外发生，它发生在遇到“钝角”的时候。这个其实很像我们在学三角形内切圆时，其实还有“旁切圆”的道理。

这是课堂中的一个意外发现，真是一个亮点啊。喜爱数学、积极开动脑筋的初三学生其实已经具备一定的科学研究和探索的能力了。我们发现数学上的很多问题，并不存在什么最终的结果。所以要培养学生思维的批判性和创新精神，其实就是要对这样看似完美的结论进行“较真”。教师也要大大鼓励这样的“较真”，要敢于对看似完美的结论挑战，促进自我不断完善，这就是思维的批判性的体现。同时思维批判性对教师有着更高的要求，必须不断提升专业知识，备课时模拟学生思维进行大胆探究，才能应对课堂中提出的各类问题。

三、几点思考

1.教材的深层把握是基础。

具有思维的课堂应该是所有教师不懈追求的目标与方向，但是课堂不可脱离实际。初中生面对升学的压力，使得课堂必须在把握教材的基础上进行拓广，一定要从教材全局观和实质内涵来切入，不可脱离实际进行漫无目的的发散思维，违反了思维的严密性。同时要增加课堂的思维，必须充分挖掘、深层次挖掘题目背后的教材原型，这也契合当前中考题的思路。

2.学生的学习方式的转变是关键。

课堂的主体一定是学生，教师是课堂的主导。在课堂中，如果学生没有转变学习方式，没有参与到课堂的探究和学习中去，没有体验学习过程，则无法提升思维。学生的学习方式的转变需要依靠教师从初一开始强调，在课堂中设计巧妙适合的学习活动，让学生参与进来。学生学习方式转变了，愿意跟随教师的思路参与到课堂中间，教师的思维训练才会起到关键性效果。

3.教师课堂指导艺术是保证。

转变学生的学习方式以及对于教材的深层把握都需要教师具有扎实的专业知识和专业技能。其中非常重要的是对于课堂节奏的把握，在备课的过程中需要熟悉学生的知识水平和生活经验，上课的过程中根据学生思维对课堂进度进行及时的调整和反馈，注重设问技巧以及与学生的交流，促进学生思维的发展。

（作者单位：浙江省杭州市建兰中学）

【参考文献】

[1]周红斌.从特殊到一般 由结果探条件——也谈一个三角形分割成两个等腰三角形的条件[J].初中数学教与学， 2015（3）：30-32.

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[3]王洪毅.初中数学思维能力的培养研究[J].时代教育， 2010（1）：148-148.

[4]王清.初中数学函数教学中数学思维能力培养的实证研究[D].长春：东北师范大学， 2005.