丁永宏
(天水师范学院 数学与统计学院,甘肃 天水 741001)
设E为有序Banach空间,考虑如下带周期边界条件的分数阶积微分发展方程
其中 J=[0,ω],Dα是Caputo分数阶导数,0<α<1,-A是C0-半群T(t)(t≥0)的无穷小生成元,f∈C(J×E×E,E),是一个Volterra积分算子,其积分核
分数阶微分方程理论是近年来的一个热点研究问题,因其广泛的应用背景而被人们关注.在一些领域,含分数阶导数的微分方程甚至比整数阶的微分方程更具有现实意义,因此,已有很多学者研究了分数阶微分方程解的性质,获得了许多有意义的结论,参见文献[1-4].然而,对于分数阶发展方程,只有少数学者对其做过研究,见文献[5],[6].本文在现有文献的基础上,讨论问题(1)mild解的存在性.下面给出一些本文用到的记号,定义和引理.
设E为有序Banach空间,其正元锥
为正规锥,C(J,E)表示定义于J取值于E的连续函数空间,其范数为正元锥
显然,PC也是正规锥.对于w,v∈C(J,E),且 v≤w,记[v,w]表示C(J,E)上的序区间
[v(t),w(t)]表示E上的序区间
记E1为D(A)按图像范数构成的Banach空间.设
有关Riemann-Liouville分数阶积分和Caputo分数阶导数的定义及性质,参见文献[1].下面给出问题(1)上下解的定义.
则v称是问题(1)的下解;如果上式中的不等号都相反,则称v是(1)的上解.
设 T(t)(t≥0)是 C0-半群,u∈E,定义算子如下:
其中 ζα(θ)是定义在 (0,+∞)上的概率密度函数,具有下列性质:
引理1.1[5]算子满足下列性质:
设h∈C(J,E),对于线性周期边值问题
有如下结论成立:
引理1.2[6]设E为有序Banach空间,其正元锥P正规.如果T(t)(t≥0)是指数稳定的C0-半群,则问题(3)有唯一mild解.
其中
Q:C(J,E)→C(J,E)为线性有界算子.
注1.1根据文献[6]中的引理2.14,有有界逆算子.
定理2.1设E为有序Banach空间,其正元锥P正规,f∈C(J×E×E,E).假设-A生成正的紧C0-半群T(t)(t≥0).v0,w0分别是问题(1)的下解与上解,满足 v0≤w0.如果 f满足条件(H)存在常数C>0,对有
则问题(1)在v0和w0之间存在极小mild解与极大mild解.
证明问题(1)等价于
其中C由条件(H)给出.-(A+CI)生成C0-半群,则 S(t)指数稳定.对任意的h∈C(J,E),令
则F:C(J,E)→C(J,E)连续,根据引理1.2,下面的线性周期边值问题
对于I1,因为T(t)是紧算子,所以,T(t)等度连续,故S(t)也等度连续.根据引理1.1(iv),
由条件(H)及锥P的正规性,存在M0使得
因此,根据引理(1.1)及(4)式,
成立.所以,
因此,
所以,
则根据Q1的单调性可得,
在E中相对紧.进一步,对于每一个u∈D,根据(4)式,易得
因此,存在一族相对紧集任意趋近于集合Y(t)={W(u)(t):u∈D},所以Y(t)在E中也是相对紧集.特别的,Y(ω)相对紧,根据注(1.1),
为相对紧集.
在(5)式中令n→∞,则
根据Q1的单调性,易证
此外,进一步,有
例3.1考虑如下分数阶抛物型偏微分方程周期边值问题
定义E中的算子A如下:
则E为Banach空间,P为E中的正规锥,且-A生成一个紧的,解析的正C0-半群T(t)(t≥0),令
容易验证v0=-sin(πx),w0=sin(πx)为上述边值问题的一对上下解,且 f满足定理2.1中的条件(H),所以,根据定理2.1,上述分数阶抛物型偏微分方程周期边值问题存在极小mild解与极大mild解.