四阶线性常微分方程两点边值问题正解的存在性

贾武艳，张文丽

(长治学院 数学系，山西 长治 046011)

0 引言

近年来，常微分方程两点边值问题在数学、物理、天文、医学等领域得到了广泛的研究和应用，并取得了丰富的成果，本文主要研究如下边值问题正解的存在性：

(1)

其中f∈C([0，1]×R+，R+).

1 预备知识[1]

定义1设E是Banach 空间，P为E中的非空闭凸集.如果P满足

(Ⅰ)任给x，y∈P，α≥0，β≥0，有αx+βy∈P；

(Ⅱ)若x∈P，x≠θ，则-x∉P，

则称P为E的锥.

给定E中一个锥P后，则可在E中的元素间引入半序：x≤y，(x，y∈E)，如果y-x∈P.

(H1)‖Ax‖≤‖x‖，x∈P∩∂R1；‖Ax‖≥‖x‖，x∈P∩∂R2(即范数锥拉伸)；

(H2)‖Ax‖≤‖x‖，x∈P∩∂R2；‖Ax‖≥‖x‖，x∈P∩∂R1(即范数锥压缩).

2 准备工作[2-3]

令u″=v，上述边值问题(1)变为下述同解常微分方程组边值问题

(2)

在E上的不动点，其中

引理2令P={u∈C[0，1]，u(x)≥0}⊂E，则P是E中的一个锥.

证明 根据定义可知，θ∈P≠∅；

∀u，v∈P，0≤λ≤1，则u，v∈C[0，1]，u(x)≥0，v(x)≥0，从而可知，

λu+(1-λ)v∈C[0，1]，λu(x)+(1-λ)v(x)≥0

3 结果计算

定理2若边值问题(1)满足下列条件：

1)f是[0，1]×R+连续的；

取R1={u∈E，‖u‖

取R2={u∈E，‖u‖≤R}，则‖Au‖≥‖u‖，u∈P0∩∂R2；