截面法在求解空间几何体外接球问题中的应用

☉湖北大学附属中学 杨彩云

纵观近几年的高考题和各地的调考题，发现空间几何体的外接球问题一直是命题的热点之一.命题的综合化趋势也越来越明显，要求学生同时具备较强的阅读理解能力和空间想象能力、精准的作图能力、准确的计算能力，才能顺利地完成解答.

以下以高考题和调考题中精选的热点考题为载体，通过截面法找球心，来对常见的三类空间几何体的外接球问题进行探究，归纳出运用截面法找球心、求解几何体的外接球半径R的常见的三种类型及相应的解题策略.

首先给出需要用到的相关的重要性质：

性质1：过小圆圆心且垂直于小圆平面的直线过球心（类比：圆的垂径定理）.

性质2：球心在以截面圆圆心为垂足的截面圆的垂线上，且球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d满足：R2=r2+d2.

性质3：在同一个球中，过两截面圆的圆心垂直于相应的圆面的直线若相交，则交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线的交点是圆心）.

类型一：已知三棱锥中一条侧棱垂直于底面

例1已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为______.

解析：如图1所示，设△ABC的外接圆的圆心为O1.

因为AB=AC=1，∠BAC=120°，

所以O1B=1.

因为SC⊥平面ABC，OO1⊥平面ABC，SC=1，

所以∠ABC=30°.

所以△ABC的外接圆的直径

所以r=1.

因为△OSC为等腰三角形，

所以球O的表面积S=4πR2=5π.

由上述例题可知，对于第一种类型：已知三棱锥中一条侧棱垂直于底面的模型，解题策略如下：

1.过底面外心作底面的垂线；

2.利用正弦定理求出底面外接圆的半径r；

3.求出球心到底面的距离d（d为侧棱长的一半）；

4.运用R2=r2+d2求出球的半径.

图1

图2

类型二：已知三棱锥中两个平面所成二面角的大小为90°，即这两个平面互相垂直

例2在四面体ABCD中，AD=DB=AC=CB=1，则当四面体ABCD的体积最大时，它的外接球半径R=______.

解析：如图2所示，取AB的中点E，连接CE，DE.

设AB=2x（0＜x＜1），则

因为当平面ABC⊥平面ABD时，四面体的体积最大，所以

当且仅当2x2=1-x2时，取等号，

设△ABD的外心为G，△ABC的外心为H，分别过G，H作平面ABD、平面ABC的垂线，交于O点，则O为四面体ABCD的外接球的球心.

在△ABD中，有

所以

所以

设△ABD的外接圆的半径为r，

则，即

又

所以

所以四面体外接球半径

因此，对于已知三棱锥中的两个平面所成二面角为90°，即这两个平面互相垂直的模型，解题策略是：

1.过这两个面的外心分别作这两个面的垂线，交点就是外接球的球心；

2.求出这两个面的外接圆圆O1、圆O2的半径r1、r2；

3.构造矩形利用几何关系求出d（d为O2到两个互相垂直的平面交线的距离）；

4.运用R2=r12+d2求出球的半径.

类型三：已知三棱锥中两个平面所成二面角的大小（不为90°）

例3已知边长为的菱形ABCD中，∠A=60°，现沿对角线BD折起，使得，此时点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）.

解法一：如图3所示，取BD的中点F，连接AF、CF，则AF⊥BD且CF⊥BD，AF=CF=3.

所以∠AFC=120°.

分别在CF、AF上取三等分点，使得

所以O1、O2分别为△BCD、△ABD的外心，且O1C=2，O1F=O2F=1.

分别过O1、O2作平面BCD、平面ABD的垂线，且两条垂线交于点O，则点O为四面体ABCD的外接球球心，连接

所 以 在 Rt△OO1C中

所以四面体的外接球的表面积为4πR2=28π.故选C.

图3

图4

解法二：如图4所示，取BD的中点F，连接AF，CF，则AF=CF=3.

因为，所以

过点A作AE垂直于CF的延长线于点E，则∠AFE=60°.所以

设等边△BCD的外心为则

设三棱锥A-BCD的外接球球心为O，半径为R，OO1=x，则OO1⊥平面BCD，过O作OG⊥AE于点G.则在Rt△OO1B中，有R2=x2+4，

在Rt△AOG中则有

所以R2=7.

所以四面体的外接球的表面积为4πR2=28π.故选C.因此，对于已知三棱锥中两个平面所成二面角的大小且不为90°，即这两个平面互相不垂直的模型，解题策略有两种：

策略一：找出这两个面的外心，并过外心分别作这两个面的垂线，交点就是外接球的球心，再通过几何关系计算球的半径.

策略二：找出其中一个面的外心，过外心作该面的垂线，构造出两个直角三角形，并两次利用勾股定理，联立方程组求解球的半径.

结合以上例题，可将截面法找球心的模型归纳为以下三种类型：

1.已知三棱锥中一条侧棱垂直于底面；

2.已知三棱锥中两个平面所成二面角的大小为90°；

3.已知三棱锥中两个平面所成二面角的大小且不为90°.

总之，通过截面法找球心来求解几何体外接球的半径，应先画出图形，找出几何体中的特殊元素，如直角三角形、等腰三角形，或者两平面所成的二面角是特殊角等，再根据球的截面的性质，把立体几何问题转化为平面几何问题，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者之间的关系R2=r2+d2，从而求得外接球的半径.

空间几何体的外接球问题在高考中常以多种方式出现.同一个问题，或许有多种解题思路，如果部分题目的难度再增加，可能还需寻求新的方法解决问题.高考复习中切忌好高骛远，应当重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界.F