题组引领 变式巩固 思维对话——以高三一轮基本不等式复习为例

☉江苏省张家港高级中学 徐 艳

专题复习是高三数学教学的重要环节，通过复习可以摸清学生学情、纠正学生错误、帮助学生提高分析问题和解决问题的能力；巩固、梳理、整合学生已学过的知识，将零散的知识系统化、结构化，完善认知，促进学生解题思想方法的形成，提升学生的综合素养；诊断出教师在教学中的薄弱环节，查漏补缺，以明确下一阶段努力的目标.本文以高三一轮复习中的“基本不等式专题”为例，谈谈如何利用题组及变式进行高效复习的探索与尝试.具体做法如下：

一、题组引领，巩固四基

教师首先要在课前精心设计复习题组，认真仔细地筛选题目.要分析所选题目的设计意图是什么？是否符合新课程标准的理念？难易程度是否符合本班学生的实际学情？是否覆盖到了相关的重要知识点和考点？是否能把要复习的知识点回归到教材中相应的章节中去？是否把数学的基础知识、基本技能、基本思想和方法融入其中？是否能通过题组引领并落实学生对基础知识以及技能方法的巩固等.

例1（苏教版必修5 P10510）设实数x＞-1，求函数y=的最小值，并求对应x的值.

方法1：利用基本不等式

思路1（配凑）：因为x＞-1，所以

思路2（换元）：令

设计理由：两个思路都是利用基本不等式来解决问题.思路1中的配凑和思路2中的换元都是为了构造出y=的形式，再由积为定值求和的最小值的基本不等式来解决，若对这两种方法进行比较的话，配凑更直接些！

方法2：函数法

思路3：利用配凑或换元构造出的形式后再由对勾函数的单调性可知：函数在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，从而可得在t=1时，的最小值为2，进而得的最小值为1.

方法3：导数法

思路4：设.由f（′x）＞0，得x＞0；由f（′x）＜0，得-1＜x＜0.所以函数f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，从而当x=0时，f（x）取得最小值为1.

设计理由：通过换元或配凑可以把原题转化成y=t+的形式，又由t＞0，故可利用基本不等式来求解出最值.但要注意到“一正、二定、三相等”的条件，若改变题目中的条件“x＞-1”，则此题就可能无法运用基本不等式来求解了，所以基本不等式在应用时有其特殊性和局限性.而方法二和方法三抓住了问题的本质，体现了函数与方程的数学思想.通过对这三种方法的比较，可以让学生摸索出它们之间的联系以及使用条件，渗透数学基本思想，培养学生应用基本不等式解决问题的工具意识和定位意识.

例2若x＞0，求函数的最小值.

思路1（配凑）

思路2（换元）：令t=2x+1＞1，即

则

设计意图：和例1一样，利用配凑或换元构造成积为定值的形式，若对这两种方法进行比较的话，换元更合适些.通过设计此类表面上两数相乘并不是定值的两数相加求最值问题，可以培养学生观察、分析问题的能力以及对式子进行变形的技巧，让学生感受到不能死记基本不等式的形，而是要抓住它的质.

二、变式探究 发散思维

数学中的变式教学是指：运用不同的变化规律，对题目进行不同角度、不同层次、不同背景的变化，有意识地引导学生在“变”的过程中发现“不变”的本质及解题规律.如：

例3（苏教版必修5 P10616）已知正数x，y满足x+2y=1，求的最小值.

思路：因为x＞0，y＞0，x+2y=1，

所以

当且仅当等号成立.

设计意图：在求解双变量最值问题时，若已知两个正数x，y满足ax+by=1（a＞0，b＞0），求的最小值，或已知两个正数x，y满足，求ax+by（a＞0，b＞0）的最小值问题，常用的解题方法是“1”的代换，解题原理仍然是通过构造积为定值来找和的最小值，相应地可以设计以下变式，层层递进、螺旋上升！

变式1：求函数的最小值.

变式2：已知x＞0，y＞0，且xy=x+y，求x+2y的最小值.

变式3：已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求的最小值.

变式4：已知a＞0，b＞0，且，求a+2b的最小值.

变式5：已知x≥0，y≥0且x+y=2，求的最小值.

设计意图：变式1的解题方式是应用了“x+（1-x）=1”这个隐含条件；变式2是通过换元把一元变量的最值问题转化成了二元变量的最值问题，再用“1”的代换来求最值，此变式的解题方法可见于2018年的江苏卷第13题：

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为______.

变式3和例3比较类似，只是所求式子的分母复杂了些，故可通过换元把分母变简单，过程如下：

变式4和变式5是变式3的提升，深入挖掘题目中的信息，通过换元以及对代数式的变形，将问题化归为易解决的问题.学生在解题时经常会遇到的障碍就是原本会做的题，若题目的条件或结论稍微发生改变就束手无策了.所以通过设计这些变式，可以让学生抓住问题的本质，掌握知识、方法和技能，有利于培养学生思维的求异性和把握数学知识的灵活性，做到举一反三，进而提升转化能力，感受数学的魅力，增强学习数学的兴趣.

三、课后巩固 内化升华

波利亚说过：问题是数学的心脏！问题是引发学生思考和探索的向导，有了问题，学生的好奇心才会激起；有了问题，学生的思维阀门才能开启；有了问题，学生的探究活动才有了载体.所以学习数学离不开解题，离不开训练，课堂上的一题多解、一题多变的目的是培养学生的思维能力，而不是简单的让学生去记忆模仿.所以可以设计相应的课后习题让学生及时巩固，既为内化课上知识，又为提升解题能力.

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行！”学生只有亲身经历了探究的过程，才能促进知识体系的科学建构以及思维水平的显性提升，才能积累数学活动的经验，把所学的知识方法应用到解决新的问题中去，达到提升数学核心素养的目的.

题组不是零星题目的随意组合，更不是题目的简单叠加堆砌，它构建了课堂的整体框架，它贯穿着数学思想方法、数学知识点间的内在联系.通过题组引领，变式巩固，思维对话可以把教材中知识的逻辑结构转化为学生的认知结构，让学生把握问题的特征，感悟解题的规律，掌握解题的方法，真正实现“解一题—通一类—会一片”的飞跃，达到知其然更知其所以然的目的，使学生的学习过程成为再发现、再创造的过程！ F