对一道高考题的多解与变式研究

☉山东省临沂第一中学 曹方瑜

圆锥曲线中椭圆与双曲线的离心率问题一直是一个热点，也是历年数学高考、竞赛中比较常见的一类问题，常考常新，变化较大.解决圆锥曲线的离心率问题的关键是寻找椭圆或双曲线中参数a、c所满足的关系式，根据题设条件可灵活利用圆锥曲线的定义与几何性质、解三角形知识或利用直线的方程、直线的斜率、平面几何性质等进行综合分析与处理，从而得以解决离心率的求值、离心率的取值范围等有关问题.

一、高考在线

题目 （2018·全国Ⅲ理·11）设F1，F2是双曲线的左，右焦点，O是坐标原点.过F作C的2一条渐近线的垂线，垂足为P，若则C的离心率为（ ）.

分析：根据题目条件，利用双曲线中参数a，b，c的几何意义可知可得，进而可以利用解三角形来建立参数a、c之间的关系式，也可以借助解析几何中直线的方程来转化，从而得以求解.

二、多维角度

对于双曲线问题，可以从多角度切入进行深度挖掘，从而达到触类旁通、一题多解的效果.不同的切入点有不同的解法，多点思维，多向开花.

解法1：如图1，由a，b，c的几何意义可知|OF2|=c，|PF2|=b，可得|OP|=a，而cos∠POF1=cos（π-

图1

故选C.

解法2：由a，b，c的几何意义可知|OF2|=c，|PF2|=b，可得|OP|=a，而

整理可得4c2-6a2=3b2=3（c2-a2），

即c2=3a2，

所以双曲线C的离心率为

故选C.

解法3：由a，b，c的几何意义可知，|OF2|=c，|PF2|=b，可得

由双曲线知其渐近线OP的方程为

整理可得c2=3a2，

所以双曲线C的离心率为

故选C.

三、变式拓展

当我们解完一道题之后，要不断地领悟反思，通过对该题的深入观察，拓展思维，改变条件，可以得到意想不到的效果.

变式1：设F1，F2是双曲线的左，右焦点，O是坐标原点，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的离心率为______.

解析：由a，b，c的几何意义可知|OF2|=c，|PF2|=b，可得|PF1|=2|PF2|=2b，

由双曲线知其渐近线OP的方程为

则直线PF2的方程为

所以双曲线C的离心率为

变式2：已知F为双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若|OF|=|OB|，则双曲线C的离心率是（ ）.

解析：设双曲线的一条渐近线方程为则直线

AB的方程为

联立

则点A的坐标为

联立

解得

则点B的坐标为

由|OF|=|OB|知△OFB为等腰三角形，

则A为FB的中点，

则结合比例关系知，点B到x轴的距离为点A到x轴的距离的2倍，即

整理可得b2=3a2，

故选D.

变式3：如图2所示，已知F为双曲线的右焦点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，延长FM与y轴交于点P，且|FM|=4|PM|，则双曲线C的离心率为______.

图2

解析：设F（c，0），则c2=a2+b2，由于双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为

则垂线FM的斜率为那么直线FM的方程为

令x=0，得P的坐标

设M（x，y），由|FM|=4|PM|，

可得

即x-c=-4x且，解得

代，得

即4a2=b2，则有4a2=c2-a2，可得5a2=c2，

所以双曲线C的离心率为

故填答案：

通过深入观察，多向思维，巧妙拓展，看似平常的一道圆锥曲线的离心率求解问题，却独具匠心，充分体现出命题者“以能力为主”“在知识网络的交汇点处设计试题”的命题理念.通过一题多变，培养了学生思维的应变性，实现了提高发散思维的变通性.把课本练习题、考题等通过变换条件，变换结论，变换命题等，使之变为更有价值、更有新意的新问题，从而应用更多的知识来解决问题，获得“一题多练”、“一题多得”的效果.F