浅谈双曲线的渐近线妙用

■甘肃省会宁县第五中学 王合清

我们知道,渐近线是双曲线特有的,它经常出现在高考题中。那么双曲线的渐近线能帮助我们解决哪些问题呢?下面举例说明。

一、利用渐近线求双曲线标准方程

解析：因为点(2,3)在双曲线1(a＞0,b＞0)的一条渐近线上,所以该双曲线的渐近线方程为于是该双曲线方程可设为由双曲线的一个焦点为(-7,0)知于是由a2+b2=c2得,4λ+3λ=所以双曲线方程为1,故选D。

二、利用渐近线求双曲线的离心率

点评:不同的双曲线,可能对应的渐近线相同,应分类讨论。

三、利用渐近线求双曲线方程中的参数

点评:本题重点考查双曲线的渐近线方程,属于基础题。求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”,利用已知的渐近线方程,求出参数a的值。

四、利用渐近线求双曲线上的点到直线的最小距离

解析：设P(x,y),x≥1。因为直线x-y+1=0平行于渐近线x-y=0,所以点P到直线x-y+1=0的距离恒大于直线x-y+1=0与渐近线x-y=0之间的距离。因此c的最大值为直线x-y+1=0与渐近线x-y=0之间的距离,其距离为的最大值为。

点评:渐近线是双曲线特有的,在解决有关双曲线问题时,需结合渐近线,体现了数形结合思想。

(责任编辑 徐利杰)