初中数学解题策略的探究与应用

☉江苏省如皋市如皋高新技术产业开发区实验初中 陈卫利

在数学解题中，思路和方法的选择、应用很重要.如果解题逻辑不正确，解题就费时费力，还难以获得正确答案.在中考数学中，证明题型是重点，也是难点，对证明题型解题方法的学习，教师应引领学生掌握基本解法，厘清解题思路，提高解题效率.

一、对初中数学解题策略的探讨

拿到一道数学题，需要我们构思解题思路.如求证某几何题中两个角相等，不同的学生面对求证目标，其思考的方向也可能不同.总体而言，需要把握几点.一是正向求解.就是根据题中所给出的条件，从已知入手，一步步去推断，最终得出求证结论.该思路是最常见的解题策略.二是逆向求解.就是不从已知入手，而是从结论入手，逆向推断，直至可以利用已知条件进行验证为止.该法主要应用于已知条件偏少或者已知不明朗，从正向梳理解题思路未果时，可以尝试逆向求解.不过，对于该法的使用，在求证时不能将结论直接当成已知，但可以作为梳理解题思路的一部分，在真正解答时，还要以正向解题为主.三是正逆结合求解.对于正逆结合，可以先从正向解题，再融入逆向解题；也可以先从逆向解题，再融入正向解题.该法的应用较少，多在已知与结论没有直接关联时才尝试应用.四是特殊题型的解法.针对特殊题型，在解法上也具有多样性.如对于几何类题、证明类题、应用题型等，需要全面梳理题设，根据需要融入“画图”解法，尝试引入作图工具辅助解题.当题设条件过多难以直接求解时，可以采用猜想逆推法，以不同的取值方式代入解题，进而得出猜想，逆推解题过程，节省解题时间，找到更好的解题思路.

二、多角度拓展解题思维，提高解题准确率

在初中数学中，解题思路的明确和选择很重要.对于证明类题型，可以有多种证明方法，不同学生对题意的理解不同，得出的证明思路也不同.在平时教学中，教师要关注学生解题思维的激发，尝试从多种视角梳理解题思路，帮助学生从多个角度形成证明过程，掌握多种解法.在面对题目时，能够找到快速、高效的解题路径，提升解题正确率.在证明两个三角形中有两条边相等时，证明思路可以选择“三角形全等”，接着寻找能够证明两个三角形相似的条件，逆向求证.如某题中，在圆O上作一条过直径AB的端点A的切线AC，与直径AB相等，连接OC与圆交于P点，CP的延长线与圆交于点F，求证CP=AE.如图1所示.

从该题题设条件来看，求证某两条线段相等的方法很多，我们结合题设与求证目标，对比图形来梳理解题思路.CP与AE两条线段与哪些三角形有关呢？从图示信息中，并不能找到两者的直接联系.在利用正向解题思维、逆向解题思维都无法找到求证的关键点时，我们可以结合两种思维，从已知条件来进行反思，要想获得CP与AE相等的结论，还需要具备哪些条件？如果我们利用等量代换思想，可以从△CPE与△PCA入手，先求证这两个三角形相似，当△CPE与△PCA相似时，就可以得到PC∶PE=AC∶AP.同样的道理，我们可以证明△APE与△APB也相似，进而得出结论.

图1

三、突出解题步骤的规范性，提高解题质量

在数学解题过程中，解题方法与对应的解题步骤具有逻辑性.平时，学生要注意解题方法的选择，还要注重解题的规范性，特别是解题步骤要规范，避免出现解题错误.清晰的解题思路是前提，还要把握解题中关键点、关键信息的呈现，厘清解题需要哪些条件，如何将证明、求解过程准确写出来，让教师能够清晰了解解题过程.让解题过程规范化，可以从具体题型解题中来实现.如求证两个三角形相似，对于三角形相似，需要具备哪些条件？如何证明两个三角形相似？需要我们结合题设条件，遵循三角形相似要求来书写证明过程.很多时候，学生习惯于从逆向视角寻找证明条件.但对于一些题型，题设与结论之间缺乏直接对应性，或者说给出的条件较混乱，不能直接将求证过程写出来.这时，我们就需要从现有题设条件入手，罗列与证明三角形相似有关的条件，继而获得求证过程.同样，在证明两个三角形全等时，我们仍然需要按照三角形全等的条件，找到相应的条件，并按照求证三角形全等的步骤，将求证过程清晰罗列.所以，在解题时，学生要认识到解题步骤的规范性，要保持卷面整洁，要对相关题设条件、证明过程进行清晰、准确呈现，为教师改评留下好印象，获得高分.

四、培养推理习惯，增强解题逻辑思维

在解题时，推理思维是重要内容.怎样推理？首先，学生在面对题目时，要做好审题，仔细阅读题设条件，联系已有知识，对这些题设信息进行发问，看有无解题突破口，与求证目标之间还存在那些关键信息.其次，学生在解题时，注重对各题设条件的挖掘，从已知中推测中间量，借助中间量化解求证目标.再次，注重对推理习惯的培养，要能够深入挖掘题设信息，掌握求证定理及运用的方法，为解题奠定基础.如某题中，AC为圆的弦，AB为圆的直径，过点C作切线CE，使得AD垂直于CE，垂足为D.求证AC是∠BAD的角平分线.如图2所示.

对于该题的结论，求证角平分线，如果要满足AC为∠BAD的角平分线，需要满足∠BAC与∠CAD相等.在求证这两个角相等时，结合题设，我们可以获得哪些条件？从图2来看，∠ACB为直角，O为圆心，OA与OB相等，AD垂直于CE.结合这些条件，我们可以得到∠ACD+∠CAD为90°；OC与OA相等，则∠OCA=∠OAC；OC垂直于ED，则∠OCA与∠CAD相等，进而得出AC为∠BAD的角平分线.

图2

五、注重数学思想的运用，提升解题素养

在初中数学解题策略中，对数学思想的运用很重要.常用的数学思想有分类思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归思想等.对于分类思想，主要是根据题设条件进行分类概括.如对于三角形类题目，可以从三角形的特征、考查方向进行概括，也可以从证明结论所需要的定理、思想进行归纳.分类思想重在培养学生的分类意识，分情况来求解问题.数形结合思想是重要的解题策略，将抽象的数学问题与直观的图形相结合，便于学生优化解题思维，抓住解题核心点.在学习“反比例函数”时，某题题设条件有y=x-1、y=，当y＞y1212时，求x的取值范围.对于该题，如果将之转换为x-1＞，求解不等式，则难度大.但如果我们分别参照对应的函数图像，发现两图像相交于（-1，-2）与（2，1）两点，如此，我们只需要将两个坐标代入，从而得出x的取值范围为-1＜x＜0或x＞2.函数与方程思想是中学数学的重点，该类题型主要涉及一些函数的性质，如增减性、单调性、奇偶性、最值问题等.函数与方程思想，为我们求解问题提供了新的途径.如某题中，要使方程x2-4x+k=0的两根在1的两侧，则k的值是多少？根据题设，方程有两根，则说明Δ＞0，再根据根与系数的关系，很快列出不等式组，从而求解k的值.同样，我们还可以根据两根分布于1的两侧，假设x=1时，该式的值小于0，则快速求解问题.另外，化归法的应用，主要是根据题设条件，通过化繁为简、化难为易等方式，先求解次要问题，再求解目标问题.

总之，解题策略的选择和应用，对于提高解题正确率意义重大.但是，面对不同的题型，需要学生认真审题，挖掘和梳理题设条件，抓住突破口，拓展解题思维，找到解题思路，取得好成绩.W