在数学解题中应引导学生去“发现”

☉江苏省张家港市乐余高级中学 杨会志

一切思维起源于问题.如果没有遇到问题，思维便会静如止水，一点作用都没有；只有在问题环生的情况下，思维才会波涛起伏，惮思竭虑，以求问题得以解决［1］，因此，发现问题比解决问题更加重要.最近，笔者观摩了一堂公开课——“二次函数零点与系数关系的应用”.在本节课中，笔者真正的感受到了培养学生“发现问题”的能力的迫切性.

一、教学过程简介

1.复习回顾

问题1：写出二次函数的三种表达式：一般式、顶点式、两根式.

问题2：二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实根与系数有什么关系？

问题3：二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的零点与系数有什么关系？

意图：通过回顾二次方程与二次函数之间的关系，明确根与系数的关系是沟通根（零点）与系数之间的关系的重要桥梁.

2.问题探究

例1已知二次函数f（x）=x2+ax+2在区间（1，2）上至少存在1个零点，则实数a的取值范围是______.

思路1：用根与系数的关系

设α，β是函数的两个零点，α∈（1，2），β∈R，

思路2：直接用方程的根来表示参数

设x0∈（1，2）是方程的根，则x

意图：教师提出了两种解题思路.通过这两种思路的呈现，一方面让学生进一步明确根与系数的关系，另一方面让学生感受这种方法的简洁性，体会参数代换思想.

变式1：已知二次函数f（x）=x2+ax+a在区间（1，2）上有零点，则实数a的取值范围是______.

方法2：由（fα）=α2+aα+a=0⇒a=-

变式2：已知二次函数（fx）=x2+ax+b，a，b∈R在区间（0，1）上有两个零点，则3a+b的取值范围是______.

方法2：设f（x）=x2+ax+b=（x-α）（x-β），则f（3）=9+3a+b=（3-α）（3-β），所以3a+b=（3-α）（3-β）-9∈（-5，0）.

变式3：已知二次函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R在区间（0，1）上有零点，且满足0≤b-a≤1，则3a+b的取值范围是______.

意图：把例题中的常数用参数代换，把单参数问题变为双参数问题，题目难度虽然有所增加，但解题方法基本一致.通过上述变式，使学生逐步感受到“用根表示系数”方法的普适性与简便性.

二、发现问题比解决问题更有价值

人们在生活和生产中遇到更多的是多变的现实和困惑，并没有现成的“问题”，更没有像课本中那样已经抽象、概括好了的数学问题，所以人们要做的第一步就是从缤纷复杂的现实生活中去发现问题.2017版的高中新课程标准中也由原先的“两能”：分析、解决问题的能力上升为“四能”：发现、提出、分析、解决问题的能力.显然，“发现问题”是其他“三能”的前提，没有“发现问题”这一过程，分析问题和解决问题就是空谈.

1.“发现问题”让学生成为学习的主人

在缺失了“发现问题”的课堂教学中，教学沟通表现出问答过于“仪式化”“绝对化”的特点：教师接二连三地提问，学生机械式的应答，教师补充讲解等等，课堂中的所有活动都在教师预先设定好的框架之内，教师几乎是变相地不能容忍源于学生的问题与提问的对话［2］.因此，教师应引导学生“发现问题”，多给学生提出问题的机会，只有这样师生的沟通才能深入，学生才能获得更多的活动自由，才能成为学习的主人.

2.“发现问题”是发展创新思维的基础

众多教改经验证明“解决问题”不能发展学生的创新意识，波利亚也曾指出：“数学的创造过程是与任何其他知识的创造过程一样的，在证明一个定理之前，你先得猜想这个定理的内容……”，“猜想”本质上就是问题的发现，而问题的发现需要经过多方面、多角度的数学思维，从表面上看着没有关系的一些现象中找到数量或空间方面的某些联系，或者找到数量与空间方面的某些矛盾，并把这些联系和矛盾提炼出来.由此可见，“发现问题”的过程并不简单，而是需要经历深入的思考，多角度的分析，因此，“发现问题”才是人类创造性思维的开端.

三、引导学生在解题中“发现”

作为训练学生思维能力的重要形式——解题教学，其重要的价值与意义不言而喻，但若解题教学操作不当，则很容易演化成“教师表演特技的舞台”.解题的目的不仅仅是为了获得正确的答案，更是为了引导学生去“发现”，并在发现中逐步领悟数学思维的真谛.

1.发现已有经验的不足

当已有的经验和现在遇到的问题之间产生不平衡时，人们会很自然地试图通过某些方式来减少这种不平衡，比如关注引起不平衡的刺激、建立新的图式或者调整旧的图式等，直到达到一种新的平衡.学习依赖于这个过程，只有出现不平衡时，儿童才有机会成长和发展［3］.因此，在教学中，教师要引导学生去发现已有经验的不足，从而为制造这种“不平衡”蓄势.

在本节课中，对于例1，教师不应该这么迫不及待地抛出“好”的解法，而应该先展示学生已有的经验，看看学生会用什么方法去解决？学生的方法存在什么问题？根据学生已有的解题经验，很多学生可能会选择用“二次函数零点分布”的视角来进行思考.

设α，β是函数的零点，则需要分以下几种情况进行讨论：

（3）若α∈（1，2），且β∉（1，2），则f（1）f（2）＜0⇒

上述解题方法涉及比较烦琐的“分类讨论”，学生很难做对、做全.学生发现了已有解题经验的不足，自然就会引发学生对探索新解法的思考.

2.发现优化思维的路径

教学实践证明，学生解题思维的获得不是教师“灌输”的结果，而是学生在已有思维基础上的一种优化.当思维遇阻时，学生必然要思考如何突破障碍，突破障碍的最有效的方式不是另起炉灶，而是在原有的解题思维的基础上寻找突破口.因此，在解题教学中，教师要打消走捷径的念头：把好的、先进的方法直接抛给学生，而是应该把教学的重心放到如何引导学生发现优化思维的路径上.

图1

在本节课中，当学生选择用“二次函数零点分布”视角解题遇到障碍时，教师可以设置问题串来引导学生发现解题的突破口.比如：一般数学问题的思考有几种视角？（数与形）如果从数的角度思考，能否把参数a用其他参数替换？能否把参数a用方程的根表示出来？如果从形的角度思考，能否画出函数的图像？能否构造关于a的函数，画出其图像？不难发现，上述类型的问题，如果从形的角度思考，解答过程则会更加直观、简单.

以变式2为例，可以通过构造函数，把零点问题转化为图像的交点问题.

变式2：因为f（x）=x2+ax+b=0⇒-x2=ax+b，令g（x）=-x2，h（x）=ax+b，即g（x）=h（x），则h（3）=3a+b.于是，问题转化为当g（x）与h（x）有两个交点时，h（3）的取值范围.如图1所示，可知当直线h（x）=ax+b与g（x）=-x2相切于原点与点（1，-1）是两个临界位置.当相切于点（1，-1）时，容易求得a=-2，b=1，则h（x）=-2x+1，此时h（3）=-5，所以3a+b∈（-5，0）.

虽然，本节课“用根（零点）表示参数”的解题技巧能够有效地解决某一类问题，但过于拘泥于一种方法反而容易导致思维固化.实际上，没有一种方法是万能的，引导学生去发现问题，进而提出问题，最终能够分析、解决问题，这才是解题教学的价值所在.