一道质检题解法的合理性探究

☉湖北省恩施州教育科学研究院 周 威

一、原题呈现及质疑

2017年福建省普通高中毕业班质量检查数学试题原题如下：

原题某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师办理流量套餐，为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题.

图1

（1）从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人月使用流量不超过300M的概率；

（2）现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：

套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位：M）A 20 300 B 30 500 C 38 700

这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用.

学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由.

原题解法：

（1）0.784（略）.

（2）根据题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L∈（300，500］的概率为：（0.0025+0.0035）×100=0.6，L∈（500，700］的概率为：（0.0008+0.0002）×100=0.1，

当学校订购A套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为X元，则X的所有可能取值为20，35，50，且P（X=20）=0.3，P（X=35）=0.6，P（X=50）=0.1.

所以X的分布列为：

X 20 35 50 P 0.3 0.6 0.1

所以E（X）=20×0.3+35×0.6+50×0.1=32.

当学校订购B套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Y元，则Y的可能取值为30，45，且P（Y=30）=0.3+0.6=0.9，P（Y=45）=0.1.

所以Y的分布列为：

X 30 45 P 0.9 0.1

E（Y）=30×0.9+45×0.1=31.5.

当学校订购C套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Z元，则Z的所有可能取值为38，且P（Z=38）=1，E（Z）=38×1=38.

因为E（Y）＜E（X）＜E（Z），

所以学校订购B套餐最经济.

文［1］中作者所在地市在试卷阅卷讲评中出现如下解法，并提出了对原题解法的质疑，解法如下：

解法二：由频率分布直方图可知每位教师手机月使用平均流量为

x=150×0.08+250×0.22+350×0.25+450×0.35+550×0.08+650×0.02=369（M）.

也就是说，该校每位教师手机月平均流量为369M，以下分三种情况：

①当学校订购A套餐时，该校为每位教师承担的月费用为20+20×75%=35元；

②当学校订购B套餐时，该校为每位教师承担的月费用为30元；

③当学校订购C套餐时，该校为每位教师承担的月费用为38元.

因为30＜35＜38，所以学校订购B套餐最经济.

这种解法最终一律以零分计算，理由在文［1］中是这样描述的：费用可以求平均值（即原题解法中的数学期望），但流量不能求平均数（即这里的解法二），至于解法二最终也认为订购B套餐最经济，纯属“歪打正着”.

二、“解法二”是否“歪打正着”

为了探究原题中解法二的适用范围是否有限，笔者找到了一道改编的题目作为例子：

反例：某大型企业为鼓励员工多利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了了解员工手机流量的使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图：

图2

将频率视为概率，回答以下问题：

从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M的概率.

据了解，某网络营运商推出两款流量套餐，详情如下：

套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位：M）A 20 700 30 1000 B

流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含200M的流量）需要10元，可以多次购买；如果当月流量有剩余，次日将会被清零.

该企业准备为所有员工订购其中一款流量套餐，并支付所有费用.请分别计算两种套餐所需费用的数学期望，并判断该企业订购哪一款套餐更经济？

首先我们给出这道题的正解：

解：（1）a=0.0022，P=0.028（过程略）

（2）若该企业选择A套餐，设一个员工的所需费用为X，则X可能为20，30，40，

X的分布列为：

X 20 30 40 P 0.3 0.6 0.1

E（X）=20×0.3+30×0.6+40×0.1=28.

若该企业选择B套餐，设一个员工的所需费用为Y，则Y可能为30，40，

Y的分布列为：

X 30 40 P 0.98 0.02

E（Y）=30×0.98+40×0.02=30.2.

因为30.2＞28，所以订购A套餐更经济.

现在按照原题解法二，则计算过程如下：

由频率分布直方图可知每位员工手机月使用平均流量为x=550×0.08+650×0.22+750×0.25+850×0.35+950×0.08+1050×0.02=769（M）.

也就是说，该企业每位员工手机月平均流量为769M，以下分两种情况：

①当企业订购A套餐时，该企业为每位员工承担的月费用为20+10=30元；

②当企业订购B套餐时，该企业为每位员工承担的月费用为30元.

此时，利用这种方法并不能给企业提供哪种套餐更经济的决策.所以在原题中对此法计零分是有道理的，在原题中能给出选择B套餐也确实是“歪打正着”.而且在决策的过程中，也没有考虑到流量需求大的用户（那些每月1100M的员工，最容易影响平均数的大小），这至少在考虑问题时是不全面且不合理的.

三、此题中为何不根据流量求平均值来确定方案

解法二主要是没有抓住问题的本质“数学期望”.在概率论与统计学中，一个离散型随机变量的数学期望值，是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和.期望值像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能状态平均的结果，基本上等同于“期望值”所期望的数.期望值并不一定等同于常识中的“期望”，“期望值”也许与每一个结果都不相等，也就是说期望值是该变量输出值的平均数，因此期望值并不一定包含在变量输出值的集合里.数学期望是反映随机变量的集中位置的数字特征.

解法二的解答过程让笔者直接联想到了著名的“赌金问题”.早些时候，法国有两个大数学家，一个叫布莱士·帕斯卡，一个叫费马.帕斯卡认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题.他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金.赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？事实上这两种分法都不对.解法二中不合理之处与此处是一样的，因为“奖金分配（剩下的赌局决定可能性）”和“套餐选择”都是随机事件，我们必须要考虑其发生的可能性，也就是概率，最后再根据数学期望“分配”或“选择套餐”.“赌金问题”正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的赢了3局的拿这个钱的.这是为什么呢？假定他们俩再赌一局，A有的可能赢得他的第5局，B有的可能赢得他的第4局.若是A赢满了5局，钱应该全归他；若B赢得他的第4局，则下一局中A、B赢得他们各自的第5局的可能性都是.所以，如果必须赢满5局的话，A赢得所有钱的可能为这就是数学期望的重要性，也是原题命题者的意图所在.

仔细揣摩解法二会发现，它其实已经没有在概率统计范畴中考虑问题了，学校为每位教师选择套餐类型，这是一个随机事件，而解法二的解答过程，却把选择每一类套餐的事件当成必然事件.虽然也用到了频率分布直方图中的平均数估计值，但它是个整体量，解法二直接把这个整体量当做“每位教师手机月使用平均流量”，事实上“每位教师手机月使用平均流量”已经在题目中有所描述，它已经体现在频率分布直方图中了.

四、反思与结语

从命题者的角度来看，主要是突出“数学期望”的重要性.原题的解法二中有很多表述不合理的地方，所以这可能就是不给分的原因.那么站在学校的角度来看，学校整体的流量平均值是否真的没有用吗？事实上，如果有更多种套餐（六、七种）可选择的时候，计算学校的整体流量平均值也能为作出决策提供参考，但其弊端肯定也是有的.那么接下来的问题就是，既然是根据教师或员工的平均手机流量来订购套餐，那么完全可以直接简单的相加求和再求平均数即可（都能统计个人每月的流量平均值，肯定也是可以做到的），特别是对于规模不大的学校，为什么还要这么统计分组，先画出频率分布直方图，再从频率分布直方图来计算平均数？频率分布直方图是从已知的数据中，从样本的角度去估计总体，虽然能计算出平均值，但这是一个估计值，这样产生的误差是无法避免的.所以在笔者看来，命题者在命题时也并未想的很全面.既然已经画出了频率分布直方图，那么从数学期望的角度来选择套餐确实是最科学最合理的.