浅析美与数学的对称

摘 要：学会审美不仅可以陶冶情操，而且在對美的感受从感性走向理性的过程中，能使学生增强对数学本质的认识。数学的美主要包括简洁美、对称美、周期美、和谐美。本文就数学对称美从教材、试题出发，浅析教材、试题中数学定理、公式、函数、几何以及折纸活动中蕴含的数学对称美。旨在通过感悟数学的对称美，提升学生的审美情趣，提升数学素养，感知数学来源于生活。

关键词：对称美;数学公式定理;函数;几何;折纸

意大利数学家帕乔利曾说过“没有数学就没有艺术”。生活中行星运动轨迹与椭圆图形具有相似性，昼夜交替、四季循环与周期性相关，艺术品“最后的晚餐”中蕴含的黄金分割无处不在，是美与数学的结合。

数学也刻画现实世界中的对称美。世界上许多著名建筑例如印度泰姬陵、意大利蒙特城堡等等。自然界中如雪花、化学晶体等美的共性都与对称性有关。对称性在教材、试题中更是普遍存在，教师在日常教学中，除了传授知识点以外，要带领学生欣赏数学中的对称美，培养学生的审美，提升学生的素养。

一、 数学公式、定理中的对称美

数学公式、定理中，对称美无处不在。代数中的对称不似几何对称那样直观，它的表现形式十分灵活。例如，等差数列{n}（n=1，2…）在进行前n项求和时，可将Sn=1+2+…+n中第i项与第n-i+1项进行互换可得Sn=n+…+2+1，两式相加过程中可发现得到的2Sn的每一项均为n+1，利用对称性可容易推导证明等差数列{n}（n=1，2…）的前n项和公式。

二维形式柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，当且仅当ad=bc时，等号成立。定理中不等式不仅反映了4个实数间的特定数量关系，而且在排列形式上规律明显，具有对称的美感。还有例如海伦公式：S=p（p-a）（p-b）（p-c），其中S为三角形的面积，p为三角形半周长，a，b，c为三角形三边长;正弦定理：在任意△ABC中，角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径为R，则有asinA=bsinB=csinC。这定理在交换其中的字母后仍然成立，都展现了数学的对称美。

二、 函数中的对称美

函数是整个中学数学重要的知识点之一，函数的性质也是研究的重点，利用函数的性质不仅有利于我们更全面地认识函数，在解题时也可以大大降低难度。例如三角函数中主要学习的正弦函数y=sinx的图像既是轴对称图形也是中心对称图形，正切函数y=cosx的图像是中心对称图形，在研究时，了解某一个对称区间的性质，则可以了解整个图形的性质，并且在解题时，也容易想到利用图像的对称性解决。另外，当我们发现函数在关于原点对称的区间上如果满足f（x）=f（-x）或f（-x）=-f（x），即函数f（x）在该区间上为偶函数或奇函数时，我们可将研究的区间缩减为一半，减少重复的工作。

例如2018年江西中考17题中第（1）小题：如图，反比例函数y=kx（k≠0）的图像与正比例函数y=2x的图像相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC=90°。（1）求k的值及点B的坐标。其中反比例函数的斜率k由点A在反比例函数上可直接得出;从函数图像的对称性来看，可以发现点A与点B关于原点O（0，0）对称，因此可以直观地看出点B坐标为（-1，-2）。由此可发现利用对称性可大大简化做题步骤，为我们解决问题带来便捷。

三、 几何中的对称美

毕达哥拉斯曾说过，“一切立体图形中，最美的是球形;一切平面图形中，最美的是圆形”，其最基本的缘故就是因为球与圆形具有典型的对称性。数学教材中只要有几何便处处有对称美。

例如《坐标系与参数方程》中，教材介绍摆线后，就通过阅读材料为我们展示了性质优美的几种摆线图形（如图1）。不仅为我们介绍了星形线、介绍了内摆线、外摆线，还让我们在视觉上得到了享受。

摆线种类固定圆与滚动

圆的半径之比 内摆线4∶1 内摆线5∶1

外摆线7∶3 外摆线1∶1

四、 折纸中的对称美

我国的传统艺术中例如剪纸、脸谱等都有轴对称的共性，在数学中，时常涉及翻折这一有趣的几何图形，从翻折到轴对称从而得出相等关系常常有助于我们进一步研究图像的性质。

例如，《抛物线及其标准方程》定义讲解时，教师可采用折纸活动，给每位同学发一份学案，学案上呈现7条平行线l1（i=1，2，3，4，5，6，7），一条垂直于平行线的垂线，交点记为A1（i=1，2，3，4，5，6，7），及任意一点F。通过折纸将A1和F重合，折痕与对应的平行线交点记为a1，将所得点平滑连接，思考两条线段之间长度有什么关系，使学生在折纸中观察出相等关系从而探索出抛物线的定义。学生在这样的折纸活动中可以很容易从△A1a1P与△Pa1F对称中得出a1到直线的距离与到点F的距离相等。不仅有利于学生学习思考，也能提升学生学习数学的兴趣，让学生感知数学来源于生活。

利用翻折，让学生发现对称的考试题也不在少数。例如2016年河北中考17题：如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为多少度？利用对称，可以发现∠B的大小，利用对称性使得问题迎刃而解。数学中类似的折纸对称问题还有很多，在教学中带领学生动手操作不仅体现“做”中学还能提升学生直观想象素养。

感悟数学的对称美，就是去发现在公式、图形、结构等方面表现出来的对称、均衡性质的数学结果。教材中还有很多对称美等待教师和学生发现，为此，《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了D类课程包含美与数学专题，提出了希望学生能培养在数学中发现美的眼光，对美的感受，能够从感性走向理性。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]张洋懿.妙用对称感悟数学美[J].数学学习与研究，2018（5）：154.

[3]陈域.数学对称美及其教学策略[J].福建基础教育研究，2014（11）：31-32.

作者简介：

吴茎洁，上海市，华东师范大学教育学部教师教育学院。