函数单调性的复习教学

范艳娟 尹志亮

单调性是函数最重要的性质之一，且有着丰富的应用内容，是研究函数的其他性质，如有界性、奇偶性、最值问题及不等关系的有力工具，在集合与函数一章的复习中，我们试图建立以单调性为中心的知识网络，采用了纵向加深认识，横向联系发展能力的做法，取得了较好的效果.

一、力求准确理解感念的本质

准确理解定义是自觉应用概念的前提，函数的单调性可明晰的叙述为：设区间D是函数f（x）的定义域的一个子区间，对x1，x2∈D.

① 由x1

② 由x1f（x2），则f（x）在D上是减函数.

在理解这个定义时，有三点值得我们注意：（1）单调性是与“区间”紧密相连的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性;（2）单调性是函数在某一个区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替;（3）由于凡定义都是充要性命题，因此f（x）是增（减）函数，即：f（x1）x2），这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.

在讨论函数的单调性时，特别要注意f（x）的同类单调性不一定具有“可加性”，即若f（x）在区间D1，D2上分别是增函数，但f（x）不一定在区间D1∪D2上是增函数，这是学生容易犯错误的地方.

例1 讨论函数f（x）=x-1x+1的单调性.

分析 函数的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）.利用单调性的定义容易证f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，+∞）上也是增函数.于是有些学生就断定f（x）在整个定义域内是增函数.这是错误的.f（-1）

在具体讨论一个函数的单调性时，如何划分其的单调区间，是学生常常感到困难的.

例2 讨论函数f（x）=x+1x的单调性.

分析 很容易得到f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）.先讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性.注意到x>0都有f（x）=f1x，因此f（x）在（0，+∞）上不是单调函数.但x→1x是区间（0，1]到[1，+∞）上的一一对应，因此我们可分别考虑f（x）在（0，1]和[1，+∞）上的单调性.任取 x10.这说明f（x）在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数.

又f（x）是奇函数，因此f（x）在（-∞，0）上的单调性与f（x）在（0，+∞）上的单调性相同，于是f（x）在[-1，0）上是减函数，在（-∞，-1]上是增函数.

因f（x）在（-∞，0）上小于零，所以f（x）在区间[-1，0）∪（0，1]上是减函数在（-∞，-1）∪（1，+∞）上是增函数.

二、联系相关概念扩充认知内涵

关于函数的单调性与奇偶性、周期性一一对应等有如下几条明显的结论：

1.偶函数一定是非单调函数.

2.周期函数一定是非单调函数.

3.单调函数一定存在反函数.

4.奇函数在原点两侧具有相同的单调性.

5.偶函数在原点两侧具有相反的单调性.

这些明显的结论应该告诉学生，并让他们说明理由.这样，通过联系相关概念发展学生的认知内涵，可深化学生对单调性的认知.

例3 已知函数y=f（x）是奇函数，在（0，+∞）内是减函数且f（x）<0.试求F（x）=1f（x）在（-∞，0）内的单调性.

分析 因奇函数在原点两侧有相同的单调性，所以f（x）在（-∞，0）上是减函数.又在（0，+∞）上f（x）<0，因此在（-∞，0）上f（x）>0，这样F（x）=1f（x）在（-∞，0）上是單调增函数（证略）.

三、把单调性作为一种工具

作为函数思想的一种具体运用，可把单调性作为一种工具运用于解题.

（一）运用单调性解不等式

例4 若0（a2-a-2）x2-6.

解 当a2-a-2>1即a<1-132或a>1+132时，由底数大于1的指数函数是增函数得不等式等价于x>x2-6，解得-2

当03或x<2.

（二）运用单调性求最值

例5 设f（x）=ax+1-xa（其中a>0），记f（x）在0≤x≤1的最小值为g（a），求g（a）的最大值.

解 f（x）=a-1ax+1a是关于x的一次函数.

当a-1a<0即0

当a-1a>0即a>1时，f（x）在[0，1]上是增函数，f（x）的在x=0时取得最小值f（1）=1a.

当a-1a=0即a=1时，f（x）=1是常函数，

故g（a）=1a（a>1），1（a=1），a（0

函数是中学数学教学的重点内容之一，上面关于函数单调性的复习教学，既挖掘了对函数性质的认识，又展现了函数思想的广泛应用，是培养学生具有良好数学素养的极好素材.