借助“问题化”，实现数学形态转化

陈洪伟

摘  要：数学知识在教材中的存在形态是多样化的。教师在教学中应当充分发挥数学的“问题化”教学功能，将学术形态、史学形态和散点形态的数学转化为原始形态、教育形态和整体形态。由此充分发挥数学教学的育人功能。

关键词：数学教学;问题化;形态转化

数学知识存在形态是多样化的，比如“原始形态”“学术形态”“史学形态”“教育形态”和“学习形态”，等等。其中，有些形态是具体的、形象化的，是学生容易理解的，比如教育形态、学习形态等。有些形态是抽象的、符号化的，是学生不容易理解的，比如学术形态、史学形态等。对于教师而言，一个重要的使命就是实现数学形态之间的转化，将学生不易理解的形态转化为容易理解的形态。而“问题化策略”是实现数学形态转化的有效路径。

一、“追根溯源”地问，将“学术形态”的数学转化为“原始形态”

所谓“学术形态”的数学，是指“数学家在发表论文时所采用的一种形态，这种形态往往比较严谨、概括、形式化，但却将数学原始、火热的思考淹没在形式化海洋之中”（华东师范大学张奠宙教授语）。在数学教学中，教师要警惕数学本质被过度形式化所掩盖。为此，可借助问题化策略，对数学知识追根、求本、溯源。换言之，在数学教学中，教师要恢复数学知识诞生时的鲜活，将“冰冷的美丽”转化为“火热的思考”。

在数学教材中，数学知识通常是以符号化、简约化的形态存在的，因而通常也就是“学术形态”的数学，当然有时也夹杂着“教育形态”。为此，教师就要深度发掘数学知识形成的来龙去脉历程，了解数学知识诞生时的鲜活背景，将“学术形态”的数学转化为“原始形态”的数学。比如教学《小数的意义》，有教师直接从货币单位、长度单位等引入小数，将1角改写成0.1元，将1分改写成0.01元，等等。教师急于让学生进行数的改写，学生尽管知晓小数意义，但却完全是模仿式的“依葫芦画瓢”，学生不理解为什么要学习小数？“量（liàng）起于量（liáng）”，笔者在教学中引导学生测量学桌。当学生用米尺测量，不到1米时，笔者适时追问学生：不够1米，怎么办呢？学生自然想到将1米平均分成10份，得到0.1米，用0.1米来测量。当学生用0.1米测量后，多余部分又不够0.1米，这时，学生又自然想到将0.1米再次平均分成10份，也就是将1米平均分成100份，从而用更小的小数来表示，如此等等，小数产生的原始形态被凸显出来。教学中，教师可以相机追问学生：“将1米平均分成10份、100份、1000份……后，得到了0.1米、0.01米、0.001米……，是不是就这样简单而又麻烦地书写？”学生再一次对原始形态小数展开了深度思考。在问题倒逼下，有学生想到给这些小数的数量命名，如0.1米就是1分米，0.01米就是1厘米，0.001千克就是1克，0.001吨就是1千克，等等。最后，笔者以个位为临界点，让學生向左延宕，满十进一;向右延宕，化一为十，整数和小数被有机贯通，从而充实了学生对原先整数数位顺序表的认识。

教师要用本源性问题，驱动学生探究数学知识的本质。比如在上述教学过程中，“不够1米怎么办”就是催生学生借助火热的思考，产生对1米平均分的需求。在这个过程中，让学生感受到小数产生的必要性。只有当学生感受到数学知识在数学知识结构中形成的意义和价值时，数学知识对学生而言才是真正有意义和价值的，才能敞亮学生的数学视界。

二、“思疑证惑”地问，将“史学形态”的数学转化为“教育形态”

所谓“史学形态”，是指数学教材中那些客观的数学史知识、素材、趣闻、逸事，等等。以苏教版教材为例，数学教材中的数学史通常都是以“你知道吗”的形式嵌入教材，直接向学生展示。这样的数学史教师易把握，学生易阅读。但与此同时，还有一类数学史，是以隐性形态存在于教材之中的，有待教师的精心发掘。作为教师，要对这些数学知识进行“思疑证惑”地发问，引导学生感受教材中数学知识的历史形态，同时将数学知识的“史学形态”转变为“教育形态” [1]。

比如《认识负数》这一部分内容，与数学史联系非常紧密，许多教师曾经拿它做文章。作为教师，要研读数学史，以便从人类探索“负数”的历程中获得教学启示。过去，不少教师常常从生活实例入手，如向东走50米记作正数+50米，向西走100米记作-100米。这样的负数概念就容易让学生将“正数和负数”等同于“说反义词”，降低了负数的数学意义。如当教师在课堂上询问学生，“-100米”和“+50米”哪个数量大时，绝大部分学生都认为“-100米”大，因为“-100米”表示向西走100米，而“﹢50米”只表示向东走50米。学生的说法是有道理的，因为这时，尽管他们也能用正负数表示“具有相反意义的量”，但负数在这里都是以正数范畴、视角来考量的，用初中数学语言表达就是“绝对值”。中国古代尽管早就有了正负数记载，但就因为囿于生活范畴而没有得到发展。现代意义上的负数不是从生活中诞生的，而是源于数学发展的需要、需求，即“从减法运算的封闭性”思考中诞生的。鉴于此，笔者在教学中，借助“数轴”，让学生在数轴上认识正数、0和负数，并以0为中心，让学生建立正负数对应关系。“从0往右正着数，能数得完吗？”“你能从0往左数吗？”“0的右边的数叫作正数，0的左边的数叫作负数。”“正数和负数是一一对应的，这些正数对应着哪些负数呢？”正是借助这些“思疑证惑”地发问，学生初步认识了负数，了解了负数，从数学的、抽象的、形式化的意义上建构了负数。学生认识到，正是由于有了负数，整个数轴才具有完整的意义。

“思疑证惑”地问，就是要深入挖掘（构造）蕴藏于数学知识背后的数学史活动要素 [2]。以问题为线索，能搭建数学“史学形态”与“教育形态”之间的桥梁，并促成数学知识由“史学形态”向“教育形态”转化。这里，重要的不是链接数学史，而是将数学史思想、文化与精神融入、渗透数学教学之中，以扩大数学知识史学形态的育人价值。

三、“聚点成块”地问，将“散点形态”的数学转化为“整体形态”

数学知识原本是一个整体、一个系统，古希腊欧几里得的《几何原本》就是一个例证。但在现代数学教材之中，整体性、系统性、结构性的数学知识被人为分割、肢解。因此，数学知识在教材中的存在形态就是“散点形态”。作为教师，有义务、有责任、有必要将数学知识“散点形态”重新集结、聚拢，使之成为一个结构性的“整体形态”。“聚点成块”地发问，能够唤醒学生的建构、结构意向，让学生有意识地对数学知识进行勾连、贯通。

比如对于《小数乘整数》，绝大部分教师在教学中都是按照教材的编写逻辑，从以下三种思路出发，进行教学。其一是“小数乘整数的意义”，如0.6×3=0.6+0.6+0.6=1.8（元）;其二是“小数在生活中的应用”，如0.6元是6角，6×3=18角，18角就是1.8元;其三从“小数的意义”出发，即6个十分之一乘3就相当于18个十分之一，也即是18个0.1，也就是1.8元。这样的教学，尽管学生也能掌握知识，但学生对算理的理解是孤立的、片面的。笔者在教学中，从学生的已有知识经验出发，用问题引导学生自主建构。首先小数乘整数可以看成是整数乘整数的问题拓展，因此可以从整数乘整数出发。如“6×3，60×3，600×3…”，引导学生明晰“6个一乘3，6个十乘3，6个百乘3”，等等。通过这样的铺垫，嫁接学生新旧知识，为学生的知识建构奠基。因此，在出示“0.6×3”后，学生就会主动画图、主动用生活事例进行验证。最后，笔者聚点成块地发问，“整数乘整数与整数乘小数有怎样的联系与区别？”学生积极反思，形成对整数乘整数、小数乘整数的整体性、结构性、系统性认知。即“整数乘整数与小数乘整数，尽管乘积不同，但乘积的计数单位与因数的计数单位却是一致的。”这样的教学，为后续的小数乘小数教学奠定了坚实基础，能够形成积极的知识经验、活动经验。

南京大学数学系教授郑毓信教授认为，“数学教学不应求全，而应求联。”在数学教学中，只有引导学生将数学新知及时纳入数学整体知识结构、系统之中，才能让学生真正触摸到数学的灵魂 [3]。抓住数学的整体性、结构性、系统性的脉络，数学学习就能举一反三、事半功倍。而“聚点成块”地发问，能让数学从割裂形态、散点形态走向整体形态、集约形态。

“问题化”是实现数学诸种形态转化的一个最为重要的策略。在数学教学中，借助追根溯源地问、思疑证惑地问以及聚点成块地问，深度发掘数学知识背后的育人资源、要素。从而将蕴藏在数学教材中“学术形态”“史学形态”和“散点形态”的数学知识，转化成“原始形态”“教育形态”和“整体形态”的数学知识。

參考文献：

[1]  孟梦，李铁安. “问题化”：数学“史学形态”转化为“教育形态”的实践路径[J]. 数学教育学报，2018，27（3）.

[2]  施惠芳. 小学数学教学中的“问题引领”策略[J]. 教育研究与评论（课堂观察），2018（3）.

[3]  王岚. 小学数学课程统整：从理解到行动[J]. 江苏教育研究，2014（5）.