■重庆市铁路中学校 何成宝
抽象函数因为没有具体的解析式,理解研究起来比较困难,所以是高中数学函数部分的难点。但抽象函数问题既能考查函数的概念和性质,又能考查同学们的思维能力,因此备受命题者的青睐。求解此类试题关键是抓住原函数和导函数的关系式特征,构造出对应的可导抽象函数。下面举例说明,以供同学们参考。
形如f'(x)±g'(x)的结构,则可构造函数h(x)=f(x)±g(x),例如:
(1)f'(x)-g'(x)>0,构造函数h(x)=f(x)-g(x);
(2)f'(x)+g'(x)>0,构造函数h(x)=f(x)+g(x)。
例1若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( )。
解析:构造函数g(x)=f(x)-kx,则g'(x)=f'(x)-k>0,所以g(x)在R上单调递增。令g(0),也即>-1,化简得,故选C。
练习1:定义在R上的函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=x2,当x<0时,f'(x)<x,则不等式f(x)+≥f(1-x)+x的解集为____。
解析:构造函数g(x)=f(x)-,当x<0时,g'(x)=f'(x)-x<0,说明g(x)在(-∞,0)上为减函数。而g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-x2=0,所以g(x)为奇函数。又f(0)=0,g(0)=0,所以g(x)在R上为减函数。
形如f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)的结构,可构造函数h(x)=f(x)·g(x)。
(1)若xf'(x)+f(x)>0,则[xf(x)]'=xf'(x)+f(x)>0,故可构造函数h(x)=x·f(x);
(2)若 xf'(x)+nf(x)>0,则[xn·f(x)]'=xn-1[xf'(x)+nf(x)]>0,可构造函数h(x)=xn·f(x);
(3)若 f'(x)+f(x)>0,则[ex·f(x)]'=ex[f'(x)+f(x)]>0,故可构造函数h(x)=exf(x);
(4)若 f'(x)+nf(x)>0,则[enx·f(x)]'=enx[f'(x)+nf(x)]>0,故可构造函数h(x)=enx·f(x)。
例2设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f'(x),且有2f(x)+xf'(x)>x2,则不等式 (x+2019)2f(x+2019)-4f(-2)>0的解集为____。
解析:构造函数g(x)=x2f(x)(x<0),当x<0时,g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]<x3<0,则g(x)在(-∞,0)上是减函数。因为(x+2019)2f(x+2019)>(-2)2f(-2),所以g(x+2019)>g(-2),x+2019<-2,即x<-2021,所以不等式的解集为(-∞,-2021)。
练习2:已知函数f(x)满足x2f'(x)+,则当x>0时,f(x)( )。
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既有极大值又有极小值
D.既无极大值也无极小值
解析:构造函数g(x)=x2f(x),g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=,所 以f'(x)=。令h(x)=ex-2x2f(x),h'(x)=ex-2[2xf(x)+x2f'(x)]=ex-。当0<x<2时,h'(x)<0,h(x)单调递减;x>2时,h'(x)>0,h(x)单调递增,故h(x)min=h(2)=e2-8f(2)=0。因此,当x>0时,h(x)≥0恒成立。因为,所以f'(x)≥0恒成立。因此,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极大值,也无极小值,故选D。
练习3:设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)·g(x)<0的解集是( )。
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-∞,-3)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-3,0)∪(0,3)
解析:构造函数h(x)=f(x)·g(x),则h'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x),所以h(x)=f(x)·g(x)在(-∞,0)上为增函数。又f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以h(x)=f(x)·g(x)为奇函数,且h(x)在(0,+∞)上为增函数。则h(3)=f(3)·g(3)=0,h(-3)=f(-3)·g(-3)=0,结合图像可得f(x)·g(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3),故选B。
例3设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,且f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )。
A.(-∞,-1)∪(-1,0)
B.(0,1)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(0,1)
D.(-1,0)∪(1,+∞)
解析:构造函数,则g'(x)。因为当x>0时,有xf'(x)-f(x)<0,所以g'(x)<0,函数在(0,+∞)上为减函数。因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,所以函数g(x)为偶函数,g(x)在(-∞,0)上为增函数,
且g(-1)=g(1)=0。当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0。所以使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),故选C。
练习4:设函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)>2f(x),f()=e,则不等式f(lnx)<x2的解集为( )。
解析:由f'(x)-2f(x)>0,则,故可构造函数h(x)=它为递增函数。h
练习5:定义在( 0 ,)上的函数f(x),f'(x)是它的导函数,且恒有f(x)<f'(x)·tanx成立,则( )。
解析:因为x∈( 0 ,),f(x)<f'(x)·tanx,所以f'(x)sinx-f(x)cosx>0。