例谈导数破解“切线”常考题型

■安徽省太和中学 任海涛

导数是研究函数性质、图像以及证明不等式的有力工具，运用导数的几何意义研究切线问题是高考的热点题型，如何利用导数解决切线问题?下面以几道试题为例进行剖析，希望能提升同学们解决问题的能力。

题型一 已知切点求切线方程

例1(2018年全国Ⅰ卷第5题)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若函数f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为( )。

A.y=-2x B.y=-x

C.y=2x D.y=x

解析：因为函数f(x)为奇函数，所以a-1=0，a=1。因此，f(x)=x3+x。

所以f'(x)=3x2+1。

则在点(0，0)处的切线的斜率为k=f'(0)=1，所求的切线方程为y-0=x-0，即y=x，故选D。

点评：此类题较为简单，只需求出切点处的导数值即为切线的斜率，再代入点斜式方程即可。用导数求切线方程关键是求出切点(x0，y0)处的导数，代入点斜式方程，当导数在(x0，y0)处不存在时，切线方程为x=x0。

题型二 未知切点求切线方程

例2已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1，-2)，过点P作直线l，求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程。

解析：设过P(1，-2)的直线l与y=f(x)切于一点Q(x0，y0)，则f'(x0)=3x20-3。

又直线过Q(x0，y0)，P(1，-2)，故直线斜率可表示为

点评：过某点的切线与在某点的切线是不同的，过某点(a，b)的切线方程的求法：首先明确该点是否为切点，如果是，直接求出导数值即可；如果不是，先设切点(x0，y0)，利用切点(x0，y0)的三个特征：切点在曲线上，即y0=f(x0)，切点在切线上，切点处导数值f'(x0)就是切线的斜率，建立方程求出切点。

题型三 两曲线的公切线问题

例3已知函数(a为正实数)，试求函数f(x)与g(x)在其公共点处是否存在公切线。若存在，求出符合条件的a的个数;若不存在，请说明理由。

解析：设函数f(x)与g(x)在x=x1处存在公切线，则:

由(2)得(2x1-a)(x21+1)=0，即x1=，代入(1)得8lna-8ln2-a2+8=0。

记G(a)=8lna-8ln2-a2+8，则G'(a)=-2a。

因此，G(a)在(0，2)上是增函数，(2，+∞)上是减函数。

点评：求解函数f(x)与g(x)的公切线问题，关键是设出切点(x0，y0)，利用切点的特征：求出切点，再利用导数的几何意义求出切线方程。

题型四 圆锥曲线的切线问题

例4(2013年山东高考题节选)椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F、F，离心率为，过F且垂直于x轴的121直线被椭圆C截得的线段长为1。

点P是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的

斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值。

解析：由题中条件解得椭圆方程为+y2=1。

直线l为椭圆在P点处的切线，不妨设

P(x0，y0)，y0＞0，则

点评：在解析几何中处理切线问题常常受制于曲线的方程不是函数，这时需要将方程转化为函数问题，再进行求导，这样再利用导数的几何意义处理切线问题就比较容易。同学们解题时要加强这方面的应用。

题型五 一曲线多切线问题

例5已知函数f(x)=ax3+bx，曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=2x-2，过点(2，2)能作几条直线与曲线y=f(x)相切?

解析：因为曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=2x-2，所以f'(1)=2，f(1)=0。解得a=1，b=-1，f(x)=x3-x。设过点(2，2)的直线与曲线y=f(x)相切于点(t，f(t))，则切线方程为:

y-f(t)=f'(t)(x-t)，即y=(3t2-1)x-2t3。由切线过点(2，2)得:2=(3t2-1)·2-2t3。过点(2，2)可作曲线y=f(x)的切线条数就是方程t3-3t2+2=0的实根个数。

令g(t)=t3-3t2+2，则g'(t)=3t(t-2)。

由g'(t)=0，得t1=0，t2=2。

当t变化时，g(t)、g'(t)的变化如表1:

表1

由g(0)·g(2)=-4＜0知，g(t)=0有三个不同实根，故可作三条切线。

点评：本题主要考查导数的几何意义、切线方程的表示法等，把过点(2，2)可作曲线的切线条数问题，转化为方程t3-3t2+2=0根的个数问题，根据函数的单调性和极值，判断方程根的个数，从而求得切线的条数。

练一练：

1.若存在过点(1，0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切，则a等于____。

2.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln(x+2)的切线，则实数b=____。

【答案】ln2

3.【2015年全国Ⅱ卷】已知曲线y=lnx+x在点(1，1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切，则a=____。

【答案】8