利用导数求解不等式恒成立问题的策略

■河南省洛阳市第一高级中学 宋甜甜

含参数不等式恒成立问题，是高中数学的难点之一，也是高考、数学竞赛的热点之一，怎样处理这类问题呢?通过转化可使恒成立问题得到简化，下面就含参数不等式恒成立问题的解题策略举例说明，仅供参考。

一、分离参数法

将原不等式分离参数，转化为不含有参数的函数最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得出参数的范围。

例1已知函数f(x)=x3-x2+bx+1，若对任意的x∈[0，+∞)，都有f(x)≥0恒成立，求b的取值范围。

解析：因为x3-x2+bx+1≥0，所以b≥x-x2-x1。 令g(x)=x-x2-， 则。当0＜x＜1时，g'(x)＞0;当x＞1时，g'(x)＜0。

故g(x)max=g(1)=-1，b≥-1。

点评：1.变量与参数的确定：本题中x的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，将另一个字母b视为参数。

2.分离参数法遵循两点原则：(1)已知不等式中两个字母容易分离；(2)分参离数后，已知变量的函数解析式容易求出最值(或临界值)。

3.一般地，若f(x)＞a恒成立，只需f(x)min＞a即可；若f(x)＜a恒成立，只需f(x)max＜a即可。

练习1：已知函数f(x)=x3+ax2-2ax+a2，若对任意的x∈(2，+∞)，都有f(x)＞a2恒成立，求a的取值范围。

解析：因为x3+ax2-2ax+a2＞a2，且x＞2，所以。令g(x)=当2＜x＜4时，g'(x)＞0;当x＞4时，g'(x)＜0。

故g(x)max=g(4)=-8，b≥-8。

练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+9x+a2，若对任意的x∈(0，+∞)，都有6xlnx+f'(x)≥0恒成立，求a的取值范围。

解析：因为6xlnx+3x2+2ax+9≥0，且x＞0，所以2a≥-6lnx-3x-。

当0＜x＜1时，g'(x)＞0;

当x＞1时，g'(x)＜0。

故g(x)max=g(1)=-12，a≥-6。

二、函数最值法

将不等式问题转化为含待求参数的函数最值问题，再利用导数求该函数的最值，然后构建不等式求解。

例2已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2，当a=0，b=-3时，证明:任意的x∈R，都有f(x)+2≥恒成立。

证明：当a=0，b=-3时，令g(x)=x3

min

故当x＞1时，g'(x)＞0;当x＜1时，g'(x)＜0。

g(x)min=g(1)=0，x3-3x+2-≥0恒成立。

点评：辨析“f(x)≥g(x)”型与“f(x1)≥g(x2)”型的差异：

1.对∀x∈I，不等式f(x)≥g(x)恒成立，可转化为求函数[f(x)-g(x)]min≥0。

2.对∀x1，x2∈I，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，可转化为求函数f(x)min≥g(x)max。

练习3：已知函数f(x)=x3+ax2+a2，若任意的x1，x2∈(0，+∞)且x1＜x2，都有f(x1)-f(x2)＜a(x1-x2)成立，求a的取值范围。

解析：因为f(x1)-f(x2)＜a(x1-x2)，所以f(x1)-ax1＜f(x2)-ax2。

令g(x)=f(x)-ax=x3+ax2-ax+a2，则g(x)在(0，+∞)上单调递增，g'(x)=3x2+2ax-a≥0对x∈(0，+∞)恒成立。

令h(x)=3x2+2ax-a。

三、分类讨论，放缩取点法

例3已知函数f(x)=x3-x2+bx+1，若∀x∈(-∞，0)，f(x)≤ex恒成立，求实数b的取值范围。

解析：ex-x3+x2-bx-1≥0，对∀x∈(-∞，0)恒成立。

令g(x)=ex-x3+x2-bx-1，则g'(x)=ex-3x2+2x-b，g'(0)=1-b。

因为g″(x)=ex-6x+2＞0，所以g'(x)在(-∞，0)上单调递增。当1-b≤0，即b≥1时，g'(0)≤0，g'(x)＜0，g(x)在(-∞，0)上单调递减，g(x)＞g(0)=0。

当1-b＞0，即b＜1时，g'(0)＞0，则∃x0＜0，使得g(x)在(x0，0)上单调递增，当x∈(x0，0)时，g(x)＜g(0)=0，不满足题意。

综上，b≥1。

练习4:(2010年新课标理数)设函数f(x)=ex-1-x-ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围。

解析：由题意知f(x)=ex-1-x-ax2且f(0)=0，则∀x∈[0，+∞)，f(x)≥f(0)恒成立。

由f'(x)=ex-1-2ax，得f″(x)=ex-2a。易知f″(x)=ex-2a在[0，+∞)上单调递增，f″(x)≥f″(0)，即f″(x)≥1-2a。

故当x∈(0，ln2a)时，f″(x)＜0，f'(x)在(0，ln2a)上单调递减，f'(x)＜f'(0)，即f'(x)＜0，f(x)在(0，ln2a)上递减，f(0)不是f(x)的最小值，不符合题意。

小结：求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构造新的函数关系，使问题在新函数下转化，并利用函数的有关性质解决问题是一种行之有效的解题手段。构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性，在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标。