浅谈高中函数的零点问题

庄逢双

摘 要：本文运用函数零点的概念及函数零点的存在性定理对函数零点存在性、唯一性、个数问题进行多方面的解答。巧用函数与方程思想，构造函数，数形结合，结合典型例题分析相关问题，得出解决此类问题的方法。

关键词：函数零点；零点个数；高中数学

“函数的零点”是高中数学的一个重要教学内容。函数的零点从不同的角度将数与形、函数与方程有机地联系在一起。函数的零点概念的生成与零点存在性定理的探究的教学过程中蕴含了特殊到一般的思维方式和数形结合、等价转换的数学思想。

1.判断零点所在区间

例1.函数f（x）=ex+x-2的零点所在的大致区间是（ ）

（A）（-2，-1） （B）（-1，0）

（C）（0，1） （D）（1，2）

分析：显然函数f（x）=ex+x-2在区间[0，1]上是连续函数，且f（0）<0，f（1）>0，所以由根的存在性定理可知，函数f（x）=ex+x-2的零点所在的大致区间是（0，1），选C。

2.函数零点个数问题

例2.求函数f（x）=lnx+2x-6的零点个数.

解析：函数f（x）的零点个数？圳方程lnx+2x-6=0

即lnx=-2x+6的根的个数？圳y=lnx与y=-2x+6两个函数交点的个数，如图，

小结：方程的根？圳函数图象与x轴交点横坐标？圳函数的零点？圳转化为两个函数交点的横坐标

例3.方程 x3-4x+4-m=0有三个根，求m的取值范围。

解析：法一：令f（x）= x3-4x+4-m可得f（x）=x2-4=（x-2）（x+2）

然后再结合函数f（x）的图象与X轴的关系，可得，

当y极小值=- -m<0且y极大值= -m>0即-

法二：通过构造函数g（x）= x3-4x+4与h（x）=m转化求解，通过求导求极值可得到函数y=g（x）的图象，讨论两个函数图象的位置关系，可得出结论：当m∈（- ， ），g（x）= x3-4x+4与h（x）=m有三个交点，即方程 x3-4x+4-m=0有三个根。

3.求函数零点

类型1：函数的零点可以确切求出

例4.给出4个命题：①f（x）=3x-6的零点是2；②f（x）=x2-6x+9的零点是3；③f（x）=2x-1的零点是0；④f（x）=log3（x-6）的零点是6.正确的是（ ）

解析：求函数的零点可以转化为求出方程的根，①②③正确。令log3（x-6）=0，得x=7，④错误。

类型2：用二分法求函数零点的近似解

例5.用二分法求f（x）=2x+x-4在区间（1，2）内的零点近似解（精确度为0.2）（参考数据：21.5=2.83，21.25=2.38，21.375=2.59）

解析：f（1）=2+1-4<0，f（2）=22+2-4>0

因为f（1.5）=2.83+1.5-4=0.33>0，所以零点在区间（1，1.5）内

因为f（1.25）=2.38+1.25-4=-0.37<0，所以零点在区间（1.25，1.5）内

因为f（1.375）=2.59+1.375-4=-0.035<0，所以零点在区间（1.375，1.5）内

因为1.375-1.5=0.125<0.2

所以f（x）=2x+x-4在区间（1，2）内的零点近似解可取1.375。

总之，关于函数零点的问题，我们既要對教材进行深度剖析与探究，又得结合典型例题，充分发挥例题的功能，达到了做一题迁移一片、解决一类的目的，还要注意利用数学思想方法，如数形结合、构造函数、函数与方程的思想。这样既能使零点的知识系统联系起来，也开拓了学生的思维。

参考文献：

[1]缪林.“函数与方程”教学设计与反思（一）[J].中学数学教学参考，2017（25）.

[2]戴蓓蓓.“函数与方程”教学设计与反思（二）[J].中学数学教学参考，2017（25）.

编辑 原琳娜