由一个数列问题的教学案例引发的思考

陕西 李 歆

数学是一门思维性很强的学科，在数学教学中，重视学生的思维形成和发展是教师教学的一项根本任务，但是在实际教学中发现，一些教师往往忽视了学生的思维活动.这种情况主要表现在对例题的处理上，教师的思维活动常常占据主导地位，而学生的思维活动只是被动的理解和接受，表面上学生对教学内容是“懂”了，可是这里的“懂”是在教师的思维活动下懂的，学生一旦离开了教师的思维活动，靠自己的思维活动“会不会懂”呢？当得到的回答是否定时，就出现了教学中经常发生的现象——“懂而不会”.这种现象对学生的危害是很大的，当学生的脑海中形成了“懂而不会”的现象，而学生又糊里糊涂的不知道，那么就容易对学生的思维形成“定势”，从而制约和影响着学生的思维发展.因此，教师在上每一节课前，必须做好精心地准备，对课堂上要讲什么，怎么讲等问题，要科学、合理地进行设计，尤其在设计学生思维活动时，要让教师的教学思路与学生的学习思路进行“无缝对接”，以便达到教师讲的这种显性的思维与学生想的这种隐性的思维同步合拍、和谐相融，这样才能达到有效教学的目的.

一、问题展示

在高三数学复习课中经常会碰到下面一个典型的数列问题：

此题主要考查数列与通项公式的概念，以及由数列的递推关系式求解数列的通项公式的基本方法.

二、教师的解法

由于例题给出的递推关系式，超出了常见的几种基本类型，不能用相应的模式去套用，因此在教学中发现，多数教师在课堂上往往给出以下解法.

得lgan+1=lg3+2lgan,

令bn=lgan,则bn+1=lg3+2bn, ①

整理得bn+1+lg3=2(bn+lg3), ②

这说明数列{bn+lg3}是首项为b1+lg3=lga1+lg3=2lg3,公比为2的等比数列,

所以bn+lg3=2lg3×2n-1, ③

整理得bn=lg32n-1, ④

从而an=32n-1.

通常情况下，教师讲完这道题，便认为学生懂了，会进行下一道题.在此试问，学生真的懂了吗？

三、对几个细节问题的处理

细节是解决问题的支撑点，决定着解题的成败.解决一个问题，在某种程度上不是看方法技巧有多么奇妙，而是看对解题细节的处理是否到位，细节处理好了，学生的数学素养也就逐渐培养起来，日积月累就形成能够独立解决问题的能力.对于上述的解法1，站在教师的角度看，条理清晰，逻辑严密，但是，站在学生的角度看，有三个关键细节需要教师在教学时处理到位，否则就会导致学生“懂而不会”现象的形成或者思维障碍的形成.

1.取对数是怎么想到的？

2.①式转化为②式的核心方法是什么？

3.③式整理为④式隐含了什么数学思想？

将③式整理为④式的过程，其实是一个复杂的过程，既要用到对数的有关公式,又涉及较多的知识点，运算复杂且容易出错，因此，这一步整理对解法1能否顺利得到最后的结果起着举足轻重的作用，教学中如果对此轻描淡写地一晃而过，那么对学生数学运算能力的提升将失去一次很好的历练机会，同时也就失去了解法1的价值.所以，对③式的整理，应该作为重头戏，教师可启发并引导学生按照下面两条途径完成最后的解法：

一种是先移项，后整理.即先将③式左边的lg3移到右边，得bn=2×lg3×2n-1-lg3，再对右边第一项整理得bn=lg3×2n-lg3，再对右边整理得bn=lg3×(2n-1)=(2n-1)·lg3=lg32n-1，从而得an=32n-1.

另一种是先代入，后整理.即先将bn=lgan代入③式，得lgan+lg3=2lg3×2n-1，两边分别整理得lg3an=lg3×2n，右边再整理得lg3an=lg32n，所以3an=32n，从而得an=32n-1.

以上两条途径虽然出发点不同，但是通过对③式的转化，都要实现一步极其重要的化归，就是将(2n-1)lg3化为lg32n-1和将lg3×2n化为lg32n，这里渗透了重要的数学思想——转化与化归,对此教师在教学中必须让学生深刻地理解与领会.

【点评】在数学课堂上，教师讲解的例题是非常有限的，只有站在学生思考问题的角度进行解题教学，才能发现影响学生思维的薄弱环节，或者说学生思维容易受阻的“伤痛点”，从而采取有效措施“对症下药”，这样才能让学生的思维得到提高，使有限的例题教学收到无限的解题效果.

四、回归课本，探寻第二种解法

对数列的通项公式的教学，课本中一般都是采用列举的方法，给出数列前面的几项，通过观察、归纳与猜想，得到数列的通项公式.如：已知数列{an}的前几项为1,5,11，19，…，则容易得到该数列的通项公式为an=n2+n-1.面对前面的问题，能不能用课本中介绍的最初求数列的通项公式的方法呢？

【解法2】由已知得，

猜想:an=32n-1.

下面,用数学归纳法证明猜想成立.

(1)当n=1时,猜想显然成立;

(2)假设当n=k时(k∈N*),猜想成立,即有ak=32k-1,那么，当n=k+1时，

综合(1)(2)知,对一切n∈N*,猜想都成立.

【点评】前面的问题，虽然没有用列举法给出数列前面的几项，但是根据题目给出的首项和递推关系式, 一般学生都会很轻松的写出前面的几项，同时能顺利地观察到前几项所展现的一个显然规律，得到猜想并不难,并且用数学归纳法证明这个猜想也十分简单,解法1之所以没有这么做，通常是受思维定势的影响，被递推关系式蒙蔽了思维的关注点.对比两种不同的解法，解法2紧扣课本，知识容量小，思维方法单一，因此更加适合学生.

五、变式与推广

变式是巩固解题方法，发现解题规律，提高解题效果的有效途径.对于前面的问题，教学中可设计下面几道变式训练题，让学生用两种方法求解并进行比较，以便达到“做一题，学一法，会一类”的效果.

1.变式

【提示1】按照解法1，可得an=22n-1-1.

猜想:an=22n-1-1.证明略.

【提示1】按照解法1，可得an=32n-1-1×22n-1.

猜想:an=32n-1-1×22n-1.证明略.

【点评】以上四道变式题的设计，用解法1求解的方法基本上相同，但用解法2求解，因为前几项的不同变化，所以归纳与猜想的结果也在变化中出现了难易程度，其中,前两种变式题的归纳与猜想比较容易,但后两种变式题的归纳与猜想不能急于求成,需要对前几项的结果中指数中的加法搁置起来,这样才能便于从中彰显规律性,为猜想的顺利成功奠定基础.

2.推广

将以上变式加以推广,可得到下列一个命题.

【证明】(1)当m=1时,由递推关系式an+1=qan可知，数列{an}是首项为a1=p，公比为q的等比数列，所以an=pqn-1.

下面用数学归纳法证明猜想成立.

(i)当n=1时，猜想成立；

综合(i)(ii)可知，猜想对一切n∈N*时都成立.

综合(1)(2)可知，(*)式成立.

【点评】当m=1时，也可以利用归纳与猜想法求解：由已知得a1=p，a2=qa1=q×p，a3=qa2=q2×p，a4=qa3=q3×p，……，猜想：an=qn-1×p=pqn-1，证明略.所以该命题所给出的数列可以看成是等比数列的一个拓展.

六、一点感想

数列是高中数学的重要内容,数列中的一些概念、公式在形成与生成的过程中往往渗透了观察、归纳、猜想、证明等基本的解题思想和方法,当我们在解决由递推关系式求数列的通项公式时,应当首先想到这种方法.笔者认为,教师在给出前面的问题后，应该先从熟悉的课本中解决问题的观念入手，再顺应学生的常规思维让解法2闪亮登场,从而在较短的时间内抓住学生良好的学习热情,接着再给出四个变式，让学生用解法2的方法做，这时学生将很快被调动起来,当有些学生对变式3和变式4感到“归纳不出”“猜想很难”时，教师再介绍解法1，并让学生对两种不同方法进行比较，这样学生探究性学习的潜能就会得到激活,由此解决这类数列问题就变得得心应手,相信这样的课堂教学一定会圆满而精彩.