我在一题多解中成长

王焱

在如今这个大干世界，社会在进步、科技在发展.没有最好、只有更好，因此在面对疑难时，应做到“一题多解，一题多思，一题多想”.唯有如此，才可做到自我修正，不断优化，应变白如，稳操胜券，进而立于不败之地.而数学题目更是如此，有的题目之所以看似做得很完美，是因为你没有其他方法与之比较.不同的解法不仅能帮我们打开思路，训练思维，有时可以帮助我们弥补一些思路上的错误.

下面就高一“零点问题”一例，谈谈我是如何因平时注重“一题多解”，而发现思维漏洞，然后自我修改、自我成长的.题已知关于于x的函数f（x）= ax23ax+ba-30在x∈（1，9）上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.

解读：此题以a=0不合题意，所以可先排除.因为有了这个前提，所以解答中没有对f（x）=ax2-3ax+ba-30是什么类型的函数（一次或二次）进行讨论，而是直接根据函数的件质将其分成了两类：f（x）在（1，9）之间将穿过x轴，也即必将有零点，但有几个零点还未定.根据二次函数的特殊性，如果二次函数的两个零点在同一区间内，则其区间端点所对的函数值必定同号，因此，这里将“考虑二次函数的图象特征”做到心中有数，思而不写.y=f（x）的图象与x轴相切，恰好只有一个零点则应该保证此零点在（1，9）内，因此通过△=0解a后还需检验x.是否在（1，9）内.

这种解法看似巧妙，分类少，十分方便，但它却是错解.这个结论是我通过解法2发现的，所以请看如下解法：

解法2 （图象法）令ax²-3ar+ba-30=0，整理得a（x²-3x+6）=30.因为a=0不合题意，所以x²-3x+6=30（a≠0）.

义因为关于x的函数f（x）=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）内仅有一个零点，所以x²-3x+6=30在x∈（1，9）内仅有一解，即y=x²-3x+6与y=30/a的图象在（1，9）内仅有一个交点.作出y =x²-3x+6在（1，9）内的图象，观察图象可知30/a=15/4或30/a∈（4，60），所以a=8或1/2

解读 图象法的优点是直观、简捷、明朗.首先做的是变量分离，将未知量x与常量a置于方程的两边，从而可以将.f（x）=0化为x²-3x+6=30/a（a≠0），看成函数y=x²-3x+6的图象与y=30/a这条直线的交点的情况，因此我作了y=x²-3x+6的图象，然后观察何时直线y=30/a与其图象仅有一个交点.

法2与法1结果的不同，让我惊讶不已.我将a=15/2代人题目检验，发现了法1错因：我没有对端点值进行考虑，此处并不会因为它是开区间则可以对端点不予考虑.相反，依然十分重要，应该考虑是否会出现以下情况：

y=f（x）在x=1时恰好为0，并且另外一个零点恰好在（1，9）这个区间内，因此我犯了漏解的错误.

感悟

错解与正解相差的只是一个a值，但却有着很大的差距，不可以因为是开区间，则忽视对其区间端点值的考虑;相反，应该更加慎重地进行考虑.在后来的学习中，我发现我还是犯考虑问题不周的错误，难道，这仅仅是一个简单的考虑不周吗？是不是我的表达不规范，思而不写，思维太急导致的必然结果呢？

事实证明，就是因我只求思路快捷，不想表达严谨.于是我重新整理出下面的解答过程：

解法3 （分类讨论法）因为已知关于x的函数y=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）内有且仅有一个交点，所以：①a=0时，有f（x）=一30.因为 -30≠0，所以a=0不合题意，

感悟 此方法与解法1的区别只是将法1给具体化了，它对函数f（x）=ax²-3ax+6a-30进行了分类讨论，将其分为“一次型”、“二次型”.然后进一步考虑：一次型，则a=0，但f（0）≠0，所以y=（x）是二次函数.并且二次函数义分为与x轴有几个交点，则有了②，并且由错解的法1告诉我们端点必须去考虑.

对于这道十分难对付的零点个数问题，我却想出了三种解法，并且通过一题多解发现了自己的解题过程中所犯的错误，由此可见一题多解的重要性.而此时的一题多解的效果只是第一层次，一题多解可以帮助我们更好地去选择做题的方法.

变式1 已知函数f（x）=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）上有零点，则a的取值范围為

分析 y=f（x）在（1，9）上有零点是存在性问题.存在性问题则可转化为函数值域问题，通过变量分离得：x²-3x+6一30/a，则y=30/a与x²-3x+6在（1，9）的图象上有交点，但此时的图象可以省略，只要让30在y =x²-3x+6在（1，9）内的值域即可.

解 因为f（x）=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）上有零点，所以以ax²-3ax+6a-30=0在（1，9）上有解，也就是x²-3x+6=30/a在（1，9）上有解，

变式2 已知函数y=f（x）=ax²-3ax+6a+30在x1∈（1，9）上有且仅有2个零点，则“的取值范围为

分析 因为之前我们已经作出了y=x²-3X+6的图象，所以此时运用图象法则更为简易，只要让y=x²-3x+6与y=30/a在（1，9）上的图象有两个交点即可，

解 因为f（x）=ax²-3ax+6a-30在x∈（1，9）上有且仅有2个零点，所以x²3x+6=30/a在x∈（1，9）上有2个解，所以y=x²-3x+6与y=30/a的图象在（1，9）上有两个交点，所以30/a∈（15/4，4），所以15/

根据以上的探索，我感受到一题多解的奥秘，它可以帮助我们发现错误，纠正错误，开扩我们的思维，让我在别人不知不觉中成长，因此希望大家都可以同我一样，一起爱上“一题多解、一题多思、一题多想、一题多变”吧.

教师点评

作者善思好学，思路开阔，不满足一题一得，而是多思、多变、多比、多想，善于发现，乐于改变.从一道典型的零点求解题的错误解答中自觉白醒，完美转身，让人赞叹不已！