三角函数模块第二轮复习备考建议

广东省华南师范大学数学科学学院(510630) 赵萍 林欢

三角函数既是高中数学的核心内容之一，又是高考数学的重点和热点考查内容.纵观近三年来全国新课标卷中三角函数部分，总体稳定，难度适中.重点考查三角恒等变换、图像与性质、解三角函数.既考查学生化繁为简的运算能力，又着重考查数形结合、转化与划归等数学思想方法.

一、2016—2018年全国新课标I 卷高考考点及分析

为了更清晰地分析近三年来我国高考中，三角函数这一重点知识模块具体是怎么考查的，笔者整理了以下表格1：

考点分析

1.题型与分值

全国新课标I 卷对三角函数的考查总体比较稳定，试题所占分值一般都控制在15—17 分，题型一般为一个小题和一个大题或者三个小题，2017年文科卷除外，就只考查两个小题.虽然三角函数考查题量不多，但却是重要且必考的内容，由表1 不难发现，三角函数试题中小题部分经常出现在压轴题的位置，由此可见其重要性.

表1：全国I 卷2016—2018年文理科三角函数的考点

2.主要考查内容

纵观近三年全国新课标I 卷主要考查的内容有：三角函数的图像与性质，三角恒等变换，解三角形等.

① 对图像与性质的考查主要出现在选择题，包括三角函数图像的变换、三角函数的最值问题、三角函数的周期性、单调性、对称性等性质，着重考查数形结合思想；

② 对三角恒等变换的考查，三种题型都有涉及，该内容涉及较多公式，包括同角三角函数的关系式、诱导公式、两角的和、差、倍公式等.而该内容主要考查的题型是化简求值，除了要求熟悉公式、更要具备划归与转化能力；

③ 对解三角形的考查，主要考查利用正弦定理、余弦定理以及三角面积公式解三角形.理科主要以解答题的形式出现，结合三角恒等变换进行考查.而文科对解三角形的考查主要以小题的形式出现；

④ 对三角函数的实际应用的考查，近三年文理科新课标I 卷暂无涉及.

总的来说，近三年的高考试题涵盖了三角函数的重要知识点，重点内容全面考查，题型多样，结构灵活，难度适中.

3.文理差异

由上表可以看出，近三年全国新课标I 卷文理科考查三角函数试题共计14 道，文科比理科多2 道题.在题型上文科考查的题型基本都是小题，解答题均无考查，而理科考查的题型基本稳定为一道小题和一道大题.

由此可见，文理科对三角函数试题的考查，相同之处是考查内容均是三角函数重点知识，不同的是考查难度理科较大，理科每年均有考查解答题，而且其小题大多是以压轴题的形式出现，考查内容综合性较强，常与函数零点、函数导数相结合，如2016 理科12 题、2018 理科16 题.体现理科对学生运算求解能力、转化与化归能力要求相对比文科高.

二、高三二轮复习备考建议

2016——2018年全国新课标卷(I)三角函数试题，小题基本上都出现了压轴题，若有大题，则在17 题的位置.是高考数学试题中的重点和热点，难度中等，建议在复习时要做好以下几点：

(1)熟记公式，恰当使用.要让学生知道公式的由来和推导过程，理解记忆为主，变通记忆为辅.注意公式的正用、逆用、变形用.

(2)注重运算能力的培养.三角函数的化简求值一直以来是高考试题的常客，因此，学生在复习过程中应有意识地提高代数式的化简、方程的求解以及等式变形的运算能力.

(3)夯实基础，注重规范答题.三角函数中的公式、图象与性质、正余弦定理、面积公式、辅助角公式等，要求学生记忆、理解并掌握；由于三角函数若有考查解答题，则基本上是在17 题的位置，对解题的规范性要求很高，因此要培养学生规范答题的良好习惯，同时，又因为这是试卷中的第一道大题，因此难度不大，所以更要注重通性通法，做到满分无瑕疵.

(4)重视数学思想方法的复习和运用.三角函数也是函数.所以复习时要注意函数思想对三角函数学习的指导意义，同时也要注意三角函数自身的特点，如对称问题，要利用y=sinx的对称轴为：对称中心为(kπ,0)(k ∈Z)等基本结论解决问题.在复习图像与性质时，熟练掌握数形结合的思想方法，如：在解三角不等式时，应学会熟练运用三角函数线这一辅助工具，更直观地比较角度大小，从而迅速判断出对应函数值的范围.

(5)关注易错点.在做题过程中应注意积累错题，并从中查漏补缺，关注自身做题容易出错的知识点并总结出易错点，可以有效避免重复犯同样的错误.针对三角函数，常见的易错点有：

① 公式记忆不准确，如公式中的加减符号出错、特殊角三角函数值记错等；

② 公式理解出错，边角关系不对应；

③ 计算出错，容易在代数式化简、方程求解、等式变形过程中出现错误；

④ 用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性；

⑤ 没有挖掘题设中的隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解情况；

⑥ 解三角形时，忽视三角形解的个数；

⑦ 图像平移变换出错，不理解图像变换是针对“x”或“y”而言的；

⑧ 求三角函数的单调区间，不注意终边相同的角，不标注k ∈Z 等等

因此，在复习备考时，应该立足基础，熟练教材，根据考纲要求，回归课本，及时查漏补缺；熟记公式以便提高做题速度，熟练图像的平移变换，并学会结合图像分析性质或通过性质识得图像；在重点掌握常考知识的同时不放过不常考但却帮助理解和解题的“冷门知识”，如三角函数线的生成、五点画图法等；最后还需响应新课标的要求，以能力培养为抓手，同时注意数学思想方法的复习与应用.在求解三角函数的单调性、周期性、对称性、最值等问题时，若借助转化与化归思想，将问题进行等价转化，则可化难为易.

三、几种常见类型问题

三角函数高考试题主要考查三角恒等变换、图像与性质、解三角形三部分内容，以下对这三部分内容常考题型进行归纳.

(一)三角函数的恒等变换

三角函数的恒等变换是历年来高考的必考点，在选择题、填空题、解答题等三种题型中都有涉及，主要考查三角函数式的化简、求值与变形，难度中档.

题型一：化简求值

三角函数的恒等变换问题中的求值问题是常见的题型，包括给角求值、给值求值、给值求角等，其中“给值求值”在全国新课标卷中出现次数最为频繁，一般只是出现在小题中，难度适中.2016—2018年全国I、II、III 卷中三角函数的化简求值的考查情况见表2.

表2：近三年三角函数化简求值的考查情况

三角函数的化简求值即考查学生探求已知角与未知角的关系，化异角为同角，化异名为同名(“名”指三角函数名，即正弦、余弦、正切等)的能力.

(1)给值求值：给出某些角的三角函数值，求其他与这些三角函数式有联系的三角函数的值.解题关键在“变角”，使角相同或者建立已知角与未知角的关系.

例1(2018年高考全国卷II 理科第15 题)已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin(α+β)=____.

解析由题意，则12+02=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2，即1=sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2 sinαcosβ+2 sinβcosα=1+1+2 sin(α+β)，则2+2 sin(α+β)=1，整理得

(2)给角求值：已知角的度数，求角对应的三角函数值或三角函数式的值.解题关键是将非特殊角转化为特殊角的和或差，再利用诱导公式或两角和与差的公式进行变形求解.

例2sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( )

解析利用两角和的公式求解，原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=，故选D.

(3)给值求角：解此类问题的一般步骤是：先求出所求角的某一三角函数值，再确定所求角的范围，最后根据角的范围写出所求角.

例3设且则( )

A.3α-β=B.3α+β=

C.2α-β=D.2α+β=

解析因为所以所以sinαcosβ-cosαsinβ=cosα，所以sin(α-β)=cosα，即因为所以即故选C.

(二)三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质在高考中出现的频率较高，题型比较稳定，一般都是以选择题的形式出现，其中，三角函数的性质偶尔会结合三角恒等变换以填空题形式出现.主要考查学生将函数解析式转化为y=Asin(ωx+φ)的形式，解答关于函数图像及性质问题的能力.其高考命题的形式主要包括以下4 种题型：

题型二：三角函数图像变换

2016—2018年全国卷中三角函数图像变换的考查情况见表3.

表3：近三年三角函数图像变换的考查情况

由函数y=sinx的图像变换为函数y=Asin(ωx+φ)+b(A,ω＞0)的图像.

方法一(x→x+φ→ωx+φ)：先相位变换，后周期变换，再振幅变换.

方法二(x→ωx→ωx+φ)：先周期变换，后相位变换，再振幅变换.

例4(2017年高考全国卷I 理科第9 题)已知曲线则下面结论正确的是( )

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2.

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2.

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2.

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2.

解析C1:y=cosx可化为把C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，得函数y=的图像，再将得到的曲线向左平移个单位长度得即的图像，故选D.

评析此题考查图像的变换，但题目出现了两个异名的三角函数，因此需要先化异名为同名.破解此类题目关键是明晰图像变换的规律，特别注意：函数f(x)=sinωx(ω＞0)的图像向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位长度得到图像的解析式为f(x)=sin(ωx+φ).

题型三：三角函数的最值问题

三角函数最值问题是三角函数的基本内容，对三角函数恒等变形的能力及综合应用要求较高.2016—2018年全国卷中三角函数最值问题的考查情况见表4.

表4：近三年科三角函数最值问题的考查情况

解决此类问题的基本途径，一方面应该充分利用三角函数的有界性，另一方面还可以转化成为我们所熟悉的二次函数的最值问题.下面是常见类型的处理方法：

(1)y=asinx+b，设t=sinx，化为一次函数y=at+b在[-1,1]上的最值求解.

(2)y=asinx+bcosx+c，引入辅助角化为求解方法同类型(1).

(3)y=asin2x+bsinx+c，设t=sinx，化为二次函数y=at2+bt+c在闭区间[-1,1]上的最值求解，也可以是y=acos2x+bsinx+c或y=acos 2x+bsinx+c型.

(4)y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c，设t=sinx±cosx，则t2=1±2 sinxcosx，故化为二次函数在闭区间上的最值求解.

(5)y=与根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可以用数形结合求最值.

注意化为关于sinx或cosx的函数求解时务必注意sinx或cosx的范围.

例5(2016年高考全国卷II 文科第11 题)函数的最大值为( )

A.4 B.5 C.6 D.7

解析因为而sinx ∈[-1,1]，所以当sinx=1 时，取最大值为5，故选B.

注意：求解本题易出现的错误是认为当sinx=时，函数取得最大值.

题型四：已知解析式确定函数性质

由三角函数解析式确定函数的性质或函数的大致图像，或者由解析式及相关性质求解参量的值，此类问题在高考中一般只出现在小题部分，难度中等偏难.2016—2018年全国卷中由解析式确定函数性质问题的考查情况见表5.

表5：近三年由解析式确定函数性质问题的考查情况

此类问题一般是将所给函数解析式进行恒等变形，化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)，A＞0，ω＞0 的形式，然后依据y=sinx，y=cosx的性质整体求解.

例6在函数中，最小正周期为π的所有函数为( )

A.① ② ③ B.① ③ ④ C.② ④ D.① ③

解析由诱导公式可知，函数y=cos|2x|的图像与y=cos 2x图像相同，所以函数y=cos|2x|的最小正周期为排除C；画出函数y=|cosx|的图像，可知其最小正周期为π，故排除B，D；易知函数的最小正周期为函数最小正周期为故选A.

举一反三求解此类问题的关键是对三角函数的常见的周期应熟记，如函数y=Asin(ωx+φ)+h(A00)，y=Acos(ωx+φ)+h(A0,ω0)的周期都为y=Atan(ωx+φ)+h(A0,ω0)的周期为y=|sinx|，y=|cosx|的周期都为π；y=|sinx|+|cosx|的周期为对这些结论灵活应用，问题的解决就会变得轻车熟路了.

题型五：根据条件确定解析式

根据条件求解三角函数解析式问题主要分为两类：一类是根据函数图像确定三角函数的解析式，再对其性质进行分析求解； 另一类则是根据函数性质确定三角函数解析式.这两类问题在近三年来文理科的新课标全国卷上只出现在2016年，文科考查难度较小，理科考查难度较大.2016—2018年全国卷中由条件确定解析式问题的考查情况见表6.

表6：近三年由条件确定解析式问题的考查情况

此类问题主要分以下两类：

1.由图像确定函数解析式

解题常用的方法：已知函数解析式是y=Asin(ωx+φ)时，图像中最值确定A，周期确定ω，而适合解析式上的点的坐标则确定φ，但是这样所得的解析式并不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才可求得唯一解，那么就要学会选择适当的若干点，一般采用五点法：第一点是图像递增部分与x轴的交点(ωx+φ=0)，第二点是图像最高点第三点是图像递减部分与x轴的交点(ωx+φ=π)，第四点是图像最低点第五点是图像再次递增部分与x轴的交点(ωx+φ=2π).

例7函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )

图1

解析利用图像求解函数解析式，由函数图像可得所以则当即k(∈Z 时，函数单)调递减，故函数f(x)的单调递减区间为故选D.

2.由函数性质确定函数解析式

此类问题难度较大，近3年新课标全国卷中只出现在2016年理科12 题，为压轴选择题.解决此类问题需要学生对函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的图像与性质有全面、深刻的理解，要求考生能够根据零点与对称轴信息，以及单调区间与周期的关系，通过数形结合得出该函数周期性特征，着重考查学生的数形结合能力、逻辑分析能力.

例8(2016年高考全国卷I 理科第12 题)已知函数为f(x)的零点，x=为y=f(x)图像的对称轴，且f(x)在单调，ω的最大值为( )

A.11 B.9 C.7 D.5

解析依题意得(k∈N)，所以所以k ∈N，又因为函数f(x)在上单调，所以所以所以解得k＜5.5，又因为k ∈N，当k=5，即ω=11 时，故时，而f(x)在当此时上不单调；当k=4，即ω=9 时，又故此时当时，故f(x)在上单调，所以k的最大值为4，从而ω的最大值为9，故选B.

(三)解三角形

解三角形是历年高考的必考内容，历年的文理科高考全国卷每年都至少会有一道题是考查这部分内容，可见解三角形是三角函数这一知识模块的核心内容.该部分知识的考查在三种题型中均有体现，理科全国卷中主要是以解答题的形式出现，题型和分值较为稳定，属中等难度；而由于文科卷解答题较少考查三角函数，2016—2018年每年考查的关于解三角形内容的都只出现在小题中.命题方向有以下两种：

题型六：正、余弦定理解三角形

利用正、余弦定理解三角形问题是高考的常考题型，在高考卷中每年均有考查一道题，小题或大题都有出现过，难度适中.2016—2018年全国卷中利用正余弦定理解三角形问题的考查情况见表7.

表7：近三年利用正余弦定理解三角形问题的考查情况

利用正弦定理和余弦定理解三角形，即利用这两个定理进行边角关系互化，若出现平方则考虑用余弦定理，若题目已知对边和对角，则考虑用正弦定理，并且别忽略了三角形内角和定理、大边对大角、小边对小角等有关三角形的性质.

1.正弦定理的应用

① 已知两角及一边求解三角形；

② 已知两边及其中一边的对角，求另一个对角：

若a＜b，已知角A、求角B，则

若a＞b，已知角A、求角B，一解(锐角).

2.余弦定理的应用

① 已知两边及夹角求解第三边；

③ 已知三边求角；

③ 已知两边及一边对角求第三边.

例9(2018年高考全国卷I 文科第16 题)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，则△ABC的面积为____.

解析由bsinC+csinB=4asinBsinC结合正弦定理，得因为0＜B＜π，0＜C＜π，所以所以则或又余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA=8，所以则△ABC的面积为

题型七：正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用

正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用问题在高考中同样的大题小题都有出现过，难度适中.2016—2018年全国卷中正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用的考查情况见表8.

表8：近三年正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用考查情况

三角函数的恒等变换在每种题型中都有涉及，解三角形问题中就经常结合三角恒等变换对学生进行综合考查，而解决此类问题一般都是要先结合正弦定理或余弦定理进行边角的互化，有时还会结合三角面积公式，接着借助三角函数中的倍角公式、两角和或差的正余弦公式、同角三角函数的基本关系等公式对通过边角互化后所得的三角函数式子进行化简变形，从而进行求解.

例10(2017年高考全国卷II 理科第17 题)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin(A+C)=8 sin2

(1)求cosB；

(2)若a+c=6，△ABC的面积为2，求b.

解析(1)由题设及A+B+C=π得sinB=故sinB=4(1-cosB)，上式两边平方，整理得17 cos2B-32 cosB+15=0，解得cosB=1 (舍去)，

(2)由cosB=得sinB=故S△ABC=又S△ABC=2，则ac=由余弦定理及得a+c=6 得b2=a2+c2-2accosB=所以b=2.

三角函数部分是高考必考点，虽然三角函数的高考试题主要考查的知识相对比较基础，但其试题并不缺乏对学生运算能力、几何直观能力、转化能力、创新能力等能力的考查.就历年的高考真题来看，三角函数试题趋于综合化、试题难度有所提升，对学生能力的考查也更为重视.本文整理和分析近三年全国卷的考点，便于广大师生了解高考命题规律，同时，经过近三年全国卷试题关于三角函数部分的梳理，将试题划分为7 个常见类型问题，对每种题型配合经典例题进行方法总结，为高三二轮复习提供方向和建议.