高中数学极坐标系与参数方程问题探究

王洋洋

[摘   要] “极坐标系与参数方程”是高中数学选修4-4中的重要知识点，与实际生活联系紧密.但极坐标系与参数方程的教学整体情况不容乐观.针对极坐标系与参数方程问题开展探究，旨在帮助学生掌握该问题的解决思路和基本方法，提高极坐标系与参数方程的教学效果.

[关键词]极坐标系;参数方程;高中数学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）05-0018-02

“极坐标系与参数方程”是高中数学教学中的重要内容，也是高中生必须掌握的知识点之一.学习极坐标系与参数方程有助于培养学生的数学思维，提高其逻辑思维能力.结合典型例题探讨高中数学极坐标系与参数方程的教学策略，可帮助学生理解极坐标系与参数方程，并灵活运用其几何意义解决数学问题，同时培养他们的数学综合素养.

一、记忆和理解极坐标系和参数方程的相关概念

在学习极坐标系与参数方程时，应注重记忆和理解它们的相关概念.教师可利用多媒体技术帮助学生高效地记忆和理解知识以及巩固知识.例如，在探究一般直线的极坐标方程的推导方法时，很多学生在记忆和理解一般直线的极坐标方程上存在较大的困难，对于极坐标系与参数方程的几何意义理解得不够透彻.因此，教师可借助多媒体技术和工具开展多元化教学，利用图文、视频等多种方式呈现极坐标方程的推导过程，创新解题思路，从而促进学生更好地理解一般直线的极坐标方程.首先，可以借助几何画板画出直线[a：  ρcosθ=1]和直线[b： ρcosθ=-1]的图像，拖动直线b上一点A旋转可得直线[c： ρcosθ-π4=1]和直线[d： ρcosθ-π4=-1]，这时圆半径OA与OC的夹角∠AOC =[ π4].继续在几何画板上拖动A点旋转得到新的直线，比较∠AOC的变化.根据图像对比总结，掌握极坐标系下的直线方程图像和方程的对应关系，为数形结合思想的运用奠定基础.又如，椭圆参数方程中离心角[θ]，与我们经常看到的旋转角不同，教材中只给出离心角[θ]在第一象限的情况图.对此，我们可借助几何画板让离心角动起来，观察离心角在其他象限的图像.这样，有助于学生更加全面地掌握椭圆的参数方程，从而为解决相关问题奠定理论基础.

二、运用数形结合思想解决问题

我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休.”这几句简单的话语充分显示了数形结合思想的重要作用.在探究极坐标系与参数方程问题的过程中，教师要充分重视数形结合思想的运用，并结合极径、极角、参数的几何意义，将极坐标方程与几何图形对应起来，从而帮助学生更好地理解知识，解决问题.几何与代数相结合是极坐标系最显著的特征，在学习极坐标系时可以结合极坐标方程及相关几何图形记忆和理解曲线的极坐标方程，从而避免机械记忆，加深理解.

例如，极坐标系中，点[2，π3]到圆[ρ=2 cosθ]的圆心距离为（）.

A.[4+π29] B.[1+π29] C.[3] D.2

对于这个问题，大部分学生会将点与圆放在直角坐标系中分析，将点[2，π3]转换成直角坐标[（1，3）]，圆[ρ=2 cosθ]转换成普通方程[x2+y2-2x=0]，通过化简运算得到圆心的直角坐标[（1，0）]，从而得到答案.而掌握了极坐标系与参数方程的几何意义之后，就可运用数形结合思想解决该问题.这种方法几乎不需要计算，只要将图像绘制出来，看图（如图1）可知半径[OA=1]，点[2，π3]与B点，∠ AOB=[π3]，[BA=3]，从而得到答案.

又如，证明椭圆[x2a2+y2b2=1]的面积为[S=πab].这个问题有多种证明方法，而借助椭圆参数方程的证明步骤非常简洁.椭圆与圆的面积存在某种关系，这时可将椭圆与圆看成夹在两条平行线[x=a和x=-a]之间的图形，同时被平行于它们的直线[x=m（-a

三、灵活转换极坐标系和直角坐标系

对于极坐标系的认知，大多数学生往往只限于了解极坐标系，能够将其与直角坐标系进行相互转换，一般会先将极坐标系的相关问题转换成直角坐标系的问题，再进行计算求解.对于极坐标系的应用浅尝辄止，没能充分利用极坐标系来解决数学问题，反而变成一个学习负担，这与新课程引入极坐标系的根本目的相悖.因此，在教学极坐标系相关知识时，我们要有意识地组织学生开展练习，加强学生应用极坐标系解决问题的意识和能力.学生通过一题多解能深刻体会到极坐标系在解题方面的优势，从而更加积极主动地学习与应用极坐标系知识.运用极坐标系，不但可让学生从新的角度看待数学问题，而且可让学生开阔数学视野，发展数学思维，提高应用意识与能力.

例如，在极坐标系中，已知圆[O]过点[P2，π4]，圆心[O]为直线[ρ=sinθ-π3=-32]和极轴的交点，请求出圆[O]的极坐标方程.

该题并不是很难，重点考查简单曲线的极坐标方程的相关知识，在解决该问题时，大多数学生习惯将极坐标方程转换成直角坐标方程加以解答，不习惯用极坐标思想来解决问题，没有意识到用极坐标系解决此类问题的简便性.这时可通过一题多解，运用极坐标系和直角坐标系分别求解问题，比较两种方法的优劣，从而形成灵活应用极坐标系和直角坐标系解决极坐标系与参数方程问题的意识和能力.

解法总结如下：

解法1：首先将极坐标方程[ρ=sinθ-π3=-32]转换成直角坐标方程[y-3x+3=0]，设[y=0]可得圆心[O]的直角坐标为（1，0），将极坐标点[P2，π4]转换成直角坐标点[P（1，1）]，根据圆心[O]和点[P]的坐标，可知圆半径[r=1]，从而得到圆的标准方程[（x-1）2+y2=1]，将[x=ρcosθ，y=ρsinθ]代入方程求得圆的极坐标方程为[ρ=2cosθ].这个方法虽然可以解决问题，但步骤比较烦琐，如果运用极坐标思想来解决问题会更加简便.

解法2：因为圆心[O]是极坐标[ρ=sinθ-π3=-32]和极轴的交点，设[θ=0]，则[ρ=1]，可得圆心为（1，0），根据三角形余弦公式可知圆的半径为1，由圓经过极点可知，圆的极坐标方程为[ρ=2cosθ].由此可见，该题如果转换成直角坐标系来解答比较烦琐，而利用极坐标系就会简便很多.通过对两种解法的比较，相信学生会深刻体会到极坐标系的价值，从而形成运用极坐标系解决问题的意识.

综上所述，在探究极坐标系与参数方程问题时，我们必须重视数形结合思想的运用，学会运用数形结合思想去分析、解决极坐标系与参数方程问题，同时结合具体数学问题开展一题多解训练，丰富解题思路，增强学生应用极坐标系的意识和能力，促进学生学会灵活转换极坐标系与直角坐标系，从而更加高效地解决极坐标系与参数方程问题.

（特约编辑 安 平）