如何让学生深化学习数学思想方法

黄河清

数学思想方法是数学中所蕴含的一般的思维规律，是数学的灵魂.中学生学习数学思想方法的现状：一方面从教材内容上看，数学思想方法的表现形式随着数学知识的逐步深化呈现出不同的层次性;另一方面，教师对数学思想方法的教学也因教学内容的不同呈现出一种“零散”的状态.这使得学生对数学思想方法的学习是孤立的、缺乏联系的，常处于“教者有心，学者无意”的层面，不能使学生对数学思想方法的学习与感悟形成一个“系统”，影响了学生学习水平的提高.

那么，立足学生“学”的层面，如何加强学生对数学思想方法的学习呢？

一、增强对数学思想方法的认识

数学教材内容，包括两个方面：一是数学知识，二是蕴含于知识中的数学思想方法.概念、定理、公式等知识是数学的外在表现形式，数学思想方法则是数学思维、数学发现的内在动力.知识是基础，方法是先导.相比掌握知识而言，方法促进的是人的思想，更具有潜在的价值，更需要我们注重指导学生学习与内化.

尽管没有严格的划分，但我们习惯上把数学中那些具体的、操作性较强的解决问题的办法称为方法，而把那些抽象的、框架性的解决问题的办法称为思想.中学的数学思想方法有以下三种基本类型.

（一）技巧型方法

比如，十字相乘法、配方法、代入法、加减消元法、换元法、待定系数法、等积变换法、向量法和错位相消法等，它们有特定的研究对象和具体的解题模式，比较容易按既定程序操作.

（二）逻辑型思想方法

包括观察、类比、归纳、联想、演绎、分析、综合、抽象和概括等.这些方法不能像技巧型方法那样能进行很明确的操作，而是只给出了解决问题的一种特定思路，需要学生去寻找相关的逻辑结构进行比较、判断，才能发现解决问题六法，是一种“推理”“论证”的模式.

（三）全局型的数学思想方法

比如，解题的普遍化猜测（正难则反、特殊到一般）、数形结合法、迁移转化法、极限化方法等.它给出的是一种解题的策略、方向、思想，需要学生去比较、分析、尝试、构造，虽然不像前两种方法那样具体，却是更高格局上的思维引领，是一种战略性的思维.

二、加强对数学思想方法的学习与运用

（一）注重挖掘隐藏于知识中的思想方法

数学知识和思想方法是有机结合的，二者你中有我、我中有你.教材对知识的编排是按逻辑系统的思想来处理的，加上教材本身的特点需要，它不可能把知识的整个系统结构都全部呈现出来.因此，教材中的定理和公式，我们只能看到漂亮的结论和严格的证明，却不能看到数学家发现定理、公式的艰苦探索过程和所运用的数学思想方法;教材中的例题，我们看到的是“它怎么解”，而看不到“它为什么这么解”.换句话说，解题过程中解题者整个探索推理的心智活动过程我们都没法了解，更不用说他们是如何运用数学思想方法了.因此，在教学中一定要让学生注重去发现和感悟知识中的思想方法，从具体事例中抽象，从大量事实中概括.

1.分析教材解法特点

教材中的推理依据：“两非负实数之和为1，则每一项小于或等于1.”这是实数运算中的一个基本事实.类似例子还有很多，如a[ > ]b[ > ]c且[a+b+c=0]，则a[ > ]0，c [< ]0.由此我们能体会到的思想方法为：数论中的客观事实可以作为我们解题的出发点.

2. 寻找多种解法

3. 从方法中提炼思想

将这三种解法的共性做比较可以发现，由“等式”是可以推出“不等式”的，这种将“不等式”问题转化为研究“等式”问题的转化意识，就是十分重要的数学思想.同样联想，研究“等式”问题能否也可以转化为研究“不等式”问题呢？这就建立了“等”与“不等”二者相互依存、相互联系并在一定条件下可以相互转化的联系，这就上升到了哲學思想层面.可见，认真思考、挖掘教材内容，我们是能够学习、体会到很多数学思想方法是怎样应用的，它对增强学生对数学思想方法的认识是有很大促进作用的.

（二）要以掌握基本数学思想作为重点

中学数学思想方法也有层次性，有一些数学思想，它们渗透于各类知识之中，对高中数学学习影响广泛、深远，我们称之为基本数学思想.掌握了这些基本数学思想的运用方法，就抓住了中学数学思维方法的重点和精髓，这是需要高度重视的.中学数学有哪些基本数学思想呢？以下做简要说明.

1. 转化的思想

从直观上讲，转化就是化繁为简，化难为易，化未知为已知，化陌生为熟悉.

由已知得[sinπ2-α>sin β]，此时[π2-α]与β都是锐角，而对于锐角而言，正弦函数递增，从而[π2-α>β，α+β<π2]（当然α+β > 0）.将已知中的不同名函数变为同名的正弦函数，这一转化对问题的解决起了关键的作用.

联想是转化的桥梁，转化需要广泛的联想.广泛的联想和转化的实现都需要有丰富、扎实的基础知识、基本技能和基本方法.转化意识的自觉性不仅来源于做习题，更来源于对习题典型解法的总结、回味与“提炼”.

这是圆锥曲线焦点弦问题，一种常见的题型.从图形看，最容易想到的方法就是采取“底乘以高的一半”的朴素算法.

解法1虽然思路较容易想到，但把线段AB当作底边，把坐标原点到直线AB的距离当作高，计算量较大且较难算，当方程含参或更复杂时运算会很困难.还有无其他办法呢？

转化1：换一个角度来选择“新的三角形的底边和高”.以OF为底边，则△AOF和△BOF的高之和恰好就是A、B两点纵坐标之差，可得解法2.

可见，合理地选择底边和高，不仅在圆锥曲线的解题中能够大大降低计算量，在立体几何等其他题型中也常常能够使用并取得良好的效果.

转化2：向定值问题转化.

定值问题，指当一部分元素按某种规律在一定范围内变动时，与它有关的某些量始终保持不变的问题.定值问题一般分为“定量”和“定形”两类.在圆锥曲线中，蕴含着许多结构新颖、独特，内容丰富多彩的定值问题，它们涉及圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等.圆锥曲线的定值问题有如下几个特征：角度定值、长度定值、曲线或直线过定点、坐标之和或之积为定值、曲线所围图形面积为定值等.解这些定值问题时一般要借助于圆锥曲线的基本性质，要设出一个或两个参数（比如直线的斜率k），在已知条件下，通过基本运算，达到或证明其值的目的，需要在变当中寻找不变.适当记住一些定值问题的结论也是非常重要的.

转化3：运用极坐标求解.

极坐标系下，圆锥曲线问题往往通过建立以焦点为极点的极坐标系，使其极坐标方程适用于椭圆、双曲线、抛物线，它相对于传统方法在处理圆锥曲线问题中具有优越性和普遍性.

极坐标形式的焦半径及焦点弦形式，本质上是圆锥曲线的第二定义，椭圆、双曲线与抛物线这三种圆锥曲线的焦半径、极坐标形式是相同的.

2. 分类讨论的思想

分类讨论思想是数学研究的基本逻辑方法，也是高中数学学习中常用的思维方法.如集合的分类、指数及对数对底的分类讨论、二次函数图像的开口方向与二次项系数的关系、方程有无实数根、含参数问题的讨论等，都需要分类讨论才能完整求解.掌握分类讨论思想，学会将研究对象按其属性或特征分为不同的类别，用相应的有针对性的方法去解决，这是解决数学问题的一种重要方法.

一般情况下，分类要注意以下问题.

（1）何时需要分类讨论

在下述几种情况下，分类讨论一般是难以避免的.

①某种运算可否实施情况不定.

如：除法运算中除数不为零的条件得不到保证;开偶次方时，被开方数非负的条件得不到保证（在实数范围内）;取对数时，真数大于零，底数大于零且不等于1的条件得不到保证……

②式子变形的条件能否具备情况不定.

如：不等式两边所乘（或除）的同一个数的正、负不定;需要两边同时乘方的不等式是否为正值不等式情况不定;化去式中绝对值符号时，绝对值符号内式子的非负情况不定（在实数范围内）等.

③函数的某种性质是否具备情况不定.

如：对数函数与指数函数由于底a的取值范围不定而导致的函数的增、减不定;二次函数[y=ax2+bx+c（a≠0）]，由a的正、负不定而导致的开口方向的不定;由a、b值的不定而导致的对称轴位置的不定……

④立体几何中某种位置关系不能确定;解析几何中曲线的方程类型不定.

（2）分类必须遵循“不重不漏”的基本原则

要做到分类时的不重不漏，必须注意以下几点.

①对每一个基本公式、基本性质的适用范围及每一种运算的实施条件都能够准确地把握.

②思考问题时，切忌极端和片面，力争统观全局.

③在分类讨论的全过程中，要坚持同一个分类的标准.

3.数形结合的思想

“数”和“形”是数学研究中既有区别又有联系的两个对象，数形结合是数学解题的一种重要的思想方法.在代数中，通过数轴、坐标系的建立，将“数”或“实数对”与平面或空间上的“点”建立起对应关系，将“方程”与“曲线”建立起对应关系，从而可以借助形的几何直观性来阐明数之间的某种關系.反之，也可以借助“数”的精确性来阐明“形”的某些属性.通过数形结合，能减少运算的难度和降低纯几何形式论证的难度.数形结合思想渗透于整个中学数学的教材之中，是数学解题最重要的思想方法之一.

以下仅就解析几何中数形结合的几种基本形式举例说明.

借形解题，要注意尽量准确地描绘图形，必要时还需对图形的直观分析给出严密的推理，减少错误.

从某种意义上说，数学思想方法是联系数学知识的纽带，学习掌握好数学思想方法，能让学生对数学知识的理解更深刻，也能让学生在解决数学问题的过程中有更开阔的思路和行之有效的解决办法.坚持学习、感悟、运用，我们的学生数学能力就会不断提高.

（责任编辑 黄桂坚）