锥体侧面展开的参数方程法及其GeoGebra制图

摘 要 运用GeoGebra3D探究圆锥侧面的参数方程，结合圆面旋转的参数方程得出圆锥侧面展开图的一种方法，最终在GeoGebra3D绘图区完成制图过程。在此基础之上，推广到正棱锥的侧面展开图的绘制。

关键词 GeoGebra3D；圆锥侧面；锥体侧面展开图；参数方程

中图分类号：TP391.41 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2017）04-0037-02

Abstract Using GeoGebra3D explore the parametric equation of the flank of the cone， the expansion graph of flank of the cone is gained with the torus of the parametric equation of a method， eventually in the plot area of the GeoGebra3D completed mapping process. On this basis， promotion to the expansion or the side of the pyramid dia-

gram drawing.

Key words GeoGebra3D； cone side； cone side expansion plan； para-

metric equation

1 前言

文献[1]“1.3.1立体几何的表面积和体积”中，图1-3-1、图1-3-2、图1-3-5分别展示了直棱柱、正棱锥、圆柱和圆锥的侧面展开图。笔者利用参数方程在GeoGebra中制作出动态展开图，以便直观地呈现这些结论。本文论述锥体侧面展开图的一种方法的推导过程及GeoGebra指令如下，请各位同行指正。

2 圆锥侧面参数方程的推导

虽然在GeoGebra中有绘制圆锥的3个指令，但要单独绘制其侧面需另辟蹊径。在如图1所示圆锥中，设底面⊙O

的半径为r，高为h，与底面平行且距离为t的平面截圆锥侧面得到⊙O′，則其半径。故⊙O′上，即圆锥侧面上任意一点P的坐标为：

由此可得圆锥侧面的GeoGebra指令：曲面[r*（1-t/h）*

cos（θ）， r*（1-t/h）*sin（θ）， t， t， 0， h， θ， 0， 2pi]。参数r和h自动生成滑竿，然后根据需要手动设置其属性。

3 圆锥侧面展开图参数方程的推导

笔者所作圆锥侧面展开图基本思路是：圆锥底面⊙O沿

过其与y轴负半轴交点且平行于x轴的直线旋转得到⊙O′，构造动圆锥SO′，⊙O的周长与⊙O′的一段圆弧长相等，完全展开至O′与顶点S重合。

这里需用到一个结论：圆心（x0， y0， z0），半径为r的圆，绕着与x轴平行的直线旋转α所得的圆的参数方程为：

其中参数0≤θ≤2π。证明从略。

本文中，圆锥的母线SA长，母线与底面的夹角。

若⊙O旋转到⊙O′的角度为α，令β=γ-α，则母线在⊙O′的射影AO′，即⊙O′的半径r′=lcosβ。

此时，O′的坐标（x0， y0， z0）中，x0=0，y0=lcosβcosα-

r，z0=lcosβsinα。

在⊙O′中，等于底面圆周长的弧所对的圆心角为。

所以⊙O′中动圆圆弧的参数方程为：

其中参数。

由此可得动圆O′的GeoGebra指令：曲线[sqrt（r^2+

h^2）*cos（atan（h/r）-α）*cos（θ）， sqrt（r^2+h^2）*cos（atan

（h/r）-α）*cos（α）*（1+sin（θ））-r， sqrt（r^2+h^2）*cos（atan

（h/r）-α）*sin（α）*（1+sin（θ））， θ， -pi/2， -pi/2+2pi*r/（sqrt（r^2+h^2）*cos（atan（h/r）-α））]。

运行效果如图2所示。

设与⊙O′平行的平面截圆锥SO′得⊙Q交母线SA于点C，令SC=l′。

点C的坐标为xC=0，yC=（l-l′）cosγ-r，zC=（l-l′）sinγ。

⊙Q半径CQ=l′cosβ。圆锥SQ的高SQ=l′sinβ。

圆心Q的坐标为xQ=0，yQ=（l-l′）cosγ+l′cosβcosα-r，zQ=（l-l′）sinγ+l′cosβsinα。所以，⊙Q中平行于⊙O′的圆弧的参数方程为：

由此可得⊙O侧面展开的GeoGebra指令：曲面[t*cos

（atan（h/r）-α）*cos（θ）， （sqrt（r^2+h^2）-t）*cos（atan（h/r））+t*cos（atan（h/r）-α）*cos（α）*（1+sin（θ））-r， （sqrt（r^2+

h^2）-t）*sin（atan（h/r））+t*cos（atan（h/r）-α）*sin（α）*（1+

sin（θ））， t， 0， sqrt（r^2+h^2）， θ， -pi/2， -pi/2+2pi*r/（sqrt（r^2+h^2）*cos（atan（h/r）-α））]。

运行效果如图3所示。其中侧面展开图张合的程度由滑竿参数α调节控制。

4 正棱锥侧面展开图的制作

如果将底面圆弧的圆心角进行等分，则可以利用序列指令做出正棱锥的侧面展开图。

棱锥底面点列指令为：序列[（sqrt（r?+h?）*cos（atan

（h/r）-α）*cos（（-π）/2+i*2π*r/（n*sqrt（r?+h?）*cos（atan

（h/r）-α）））， sqrt（r?+h?）*cos（atan（h/r）-α）*cos（α）*（1+

sin（（-π）/2+i*2π*r/（n*sqrt（r?+h?）*cos（atan（h/r）-α））））

-r， sqrt（r?+h?）*cos（atan（h/r）-α）*sin（α）*（1+sin（（-π）/2

+i*2π*r/（n*sqrt（r?+h?）*cos（atan（h/r）-α）））））， i， 0， n]。

正棱锥侧面三角形序列指令为：序列[多边形[S，元素[正棱锥底面点列，i]， 元素[正棱锥底面点列， i+1]]， i， 1， n]。

正棱锥指令为：棱锥[多边形[序列[（r*cos（（-π）/2+

i*2π/n）， r*sin（（-π）/2+i*2π/n））， i， 0， n-]]， S]。

运行效果如图4所示。同样，侧面展开图张合的程度由滑竿参数α调节控制。

5 结语

在GeoGebra3D中运用参数方程制作立体图形，既精简了步骤，忽略了次要元素，也能够通过参数值的范围选择达到动态展示曲面图形的效果。再结合文献[2]中利用page和step参数等页面设置的方法，使GeoGebra教案的设计和教学实施的初衷得以实现。

参考文献

[1]徐稼红.数学2（必修）》[M].南京：江苏教育出版社，

2011.

[2]张东海.GeoGebra页面设置效果初探[J].中学数学月刊，2015（9）：50-51.