一道模考题引发的思考

刘在云

[摘 要] 教师在平时的教学之余，对习题的整理、加工与反思对学生解决复杂问题有举一反三的作用，让学生从一道习题的“一斑”窥数学解题中一类问题之“全豹”. 通过一道模考试题对《坐标系与参数方程》的研究可以让学生解决这一类问题.

[关键词] 坐标系；参数方程；极坐标方程

笔者近日在整理教学资料时，偶然发现一道好题，这是2016年苏锡常镇高三三模的一道考查《坐標系与参数方程》的附加题，回味之余，有些随想，写下来，与读者共勉.

题目：在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M（1，2），倾斜角为 ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ=6cosθ，若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA·MB的值.

本题主要考查了直线的点斜式方程、曲线的普通方程与极坐标方程的互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系、弦长的求法、点到直线的距离公式、方程组的思想方法等主干知识，涉及知识面广，解题方法多元化，全面考查了学生分析问题及解决问题的综合能力，对提高学生的综合发散思维能力及数学素养有很大帮助.

要解决本题，学生必须认真读题、审题，了解该题所涉及知识点，并能够正确地回忆出相关概念、公式：

（1）直线的点斜式方程. 直线方程是江苏高考的八个C级考点之一，教材中学习了五种直线方程的基本形式，其中，直线的点斜式方程是其他四种方程之根本，学生如若对直线方程的点斜式不能正确写出，那么此题的后续解答就无法进行下去.

（2）曲线的普通方程与极坐标方程的互化.普通方程与极坐标方程的互化，其实就是将平面直角坐标系中的原点与极坐标系的极点重合，将极轴与x轴的正半轴重合，在相同的长度单位下，将直角坐标与极坐标进行相互转化，进而将曲线的方程进行互化. 准确地进行方程的转化，是解决与极坐标有关问题的关键.

（3）相关重要公式. 涉及直线与圆相交的问题，大多数情况下会与点到直线距离公式、弦长的求法关联在一起，数形结合思想在此种题型中应用也非常广泛. 这就要求学生平时在解题时必须养成作简图的好习惯，辅助解题，对半径、弦、弦心距构成的直角三角形要牢记于心.

（4）直线的参数方程. 学生在学习参数方程时，往往忽视在已知条件下写直线参数方程的锻炼，而习惯于根据直线的参数方程，消去参数，写出直线的普通方程. 一旦出题者颠覆思维定式，让题目在普通方程下求解变得计算量非常大时，考生就会被卡住，失去此题的分数.

另外，若如题目意图就是想让考生利用直线参数方程去解答，那么参数方程中参数的几何意义必定考查，这点一定切记.

学生只有对上述知识点有了清晰的认识与掌握之后，才能进入后续的解题，当然，解题思路与方法的选择与学生个人对相关知识的掌握和熟练程度有关.下面给出了三个学生考试时的解答过程.

学生甲：由题意，可得直线l的普通方程：y-2= （x-1），即 x-y+2- =0.

将圆C：ρ=6cosθ化成普通方程为：

x2+y2-6x=0，联立方程组 x-y+2- =0，x2+y2-6x=0，将直线方程代入圆的方程，有4x2+（4 -12）x+7-4 =0，……

点评：再往后，学生甲解不下去了，可以预见，如若继续解下去，要求出交点A，B的坐标，再用两点距离公式求MA，MB，计算量是多么巨大，在考试所限时间之内根本无法解得出来.

学生乙：由题意，可得直线l的普通方程：y-2= （x-1），即 x-y+2- =0.

将圆C：ρ=6cosθ化成普通方程为：（x-3）2+y2=9，圆心C（3，0），半径r=3，所以C到直线l的距离CH= = +1.

因为CM=2 ，所以HM= -1，

而AH= = ，

所以MA·MB=（ + -1）[ -（ -1）]=5-2 -4+2 =1.

点评：学生乙的解法巧妙地运用了求弦长的策略，在学生甲解法的基础上提升不少，虽解出了正确答案，但在数据的处理上需要不少的技巧.

学生丙：由题意，将圆C：ρ=6cosθ化成普通方程为：x2+y2-6x=0，写出直线l的参数方程：x=1+tcos ，y=2+tsin ， （t为参数），即x=1+ t，y=2+ t，（t为参数），将直线l的参数方程代入圆C：x2+y2-6x=0中，整理，有t2+2（ -2）t-1=0，所以t1·t2=-1，所以MA·MB=t1·t2=1.

点评：不难看出，学生丙的解法比学生甲、学生乙更胜一筹，由于运用了直线参数方程中参数的几何意义，减少了计算量，所以因计算带来失误的概率会大大降低，解题所需时间会大大减少.

坐标系与参数方程的题目，是附加题第21题选做题的第3题，属于容易题. 学生能否拿到满分，主要取决于学生对基本概念、公式的掌握程度，解题时能否将平时所学的零碎的知识有效地整合在一起，转化成解题能力，能否正确、规范地书写解题过程.

在高三三轮复习教学中，教师应通过典型的考题，引导学生回顾、整合以前所学知识，要求学生在解题后进行反思，透过题目表象，看清出题者的意图，长此以往，定能帮助学生达到“解一道题，会一类题”的高度.