空间第二类曲线积分计算方法

【摘要】研究了空间第二类曲线积分的三种基本计算方法，并通过实例来说明每种方法的具体应用和解题时需注意的问题。

【关键词】第二类曲线积分 参数方程 斯托克斯公式

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）37-0151-02

初学者对平面第二类曲线积分计算掌握比较熟练，对处理空间第二类曲线积分问题往往无从下手。本文介绍计算空间第二类曲线积分常用的三种方法，并说明具体解题时需注意的问题。

一、参数方程法

根据曲线参数方程计算空间第二类曲线积分是参数法计算平面曲线积分情形的推广，也是计算空间第二类曲线积分最常用的方法之一。

参数方程法内容如下：设有向曲线 的参数方程为x= （t）y=？鬃（t）z=？棕（t），则 P（x，y，z）dx+Q（x，y，z）dy+R（x，y，z）dz= {P[ （t），？鬃（t），？棕（t）] '（t）+Q[ （t），？鬃（t），？棕（t）]？鬃'（t）+R[ （t），？鬃（t），？棕（t）]？棕'（t）]}dt.

其中下限？琢对应 的起点，上限？茁对应 的终点。

用参数法计算空间第二类曲线积分，关键是写出曲线的参数方程。高等数学习题和考研题中，第二类曲线积分涉及的空间曲线最常见的是线段和圆两种类型。

下面各举一例说明算法和需要注意问题。

例1 计算 xdx+ydy+（2x+y-z）dz，其中 为由A（1，1，1）到B（2，3，4）的直线段。

解 直线段AB的方程是 = = ，化为参数方程得：x=t+1，y=2t+1，z=3t+1，t从0变到1.

所以 xdx+ydy+（2x+y-z）dz= [（t+1）+（2t+1）·2+（t+2）·3]dt=13.

注1 当直线段垂直某个坐标轴时，则直线段对该坐标的第二类曲线积分为零。

例2 计算 xyz d z，其中 是由平面y=z截球面x2+y2+z2=1所得曲线，从z轴正向看去，沿逆时针方向。

解 由y=zx +y +z =1得x +2y =1，故 的参数方程可设为x=cos ty= sin tz= sin t，t从0变到2？仔. xyz d z= cos t sin tdt= ×4 cos2t（1-cos2t）dt= （ × - × × ）=

注2 曲线化为圆参数方程时，主要利用同角的正弦余弦平方和为1这个公式。

注3 曲线化为圆参数方程时，根据曲线的方向，写准参数的起止范围。

二、 斯托克斯公式法

斯托克斯公式是格林公式的推廣，表达了曲面积分和沿曲面的边界曲线的曲线积分之间的联系，具体可表达为 dydz dzdx dxdy P Q R= Pdx+Qdy+Rdz，或 cos ？琢 cos ？茁 cos ？酌 P Q Rd S= Pdx+Qdy+Rdz，其中 的正向与 的侧符合右手规则，{cos ？琢，cos ？茁，cos ？酌}为 在点（x，y，z）处的法向量。

例 3 计算 （y2-z2）dx+（2z2-x2）dy+（3x2-y2）d z，其中 是平面x+y+z=2与柱面x+y=1的交线，从z轴正向看， 为逆时针方向。

解

（y2-z2）dx+（2z2-x2）dy+（3x2-y2）dz= y2-z2 2z2-x2 3x2-y2 d S= （-8x-4y-6z） d S= [-8x-4y-6（2-x-y）] × dx dy= （-12-2x+2y）dx dy =-12 dxdy+0=-24.

注4 斯托克斯公式计算曲线积分，曲面的侧和曲线的正向一定要满足右手规则。

三、投影算法

投影算法就是把空间曲线投影到某一个坐标面，转化为平面曲线积分计算。

例4 计算 （z-y）dx+（x-z）dy+（x-y）dz，其中 是曲线x2+y2=1x-y+z=2，从z轴正向看， 为逆时针方向。

解

（z-y）dx+（x-z）dy+（x-y）dz= L[（2-x+y）-y]dx+[x-（2-x+y）]dy+（x-y）d（2-x+y）= L（2-2x+y）dx+（3x-2y-2）dy= （3-1）dxdy=2？仔.

其中L为 在坐标面xOy上的投影，方向为逆时针方向，D为L围成的闭区域，即D：x2+y2≤1.

空间第二类曲线积分的三种基本计算方法，各有自己特点。在解题时，需根据具体问题选择比较合适的方法来计算。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]周建新.曲线积分中的参数方程法[J].湖北师范学院学报，2008，28（3）：94-97.

[3]高杨，王贺元. 第二类空间曲线积分的投影算法[J]. 高等数学研究，2013，16（4）：61-62.

作者简介：

董红昌（1982年1月-），男，学历：博士研究生，主要从事数学方法论与数学教育研究。