高考中的函数方程思想考法

◎曹学勤

高考数学考的主要是高中数学的基本知识和数学的应用。而近几年更加突出了数学的应用，对数学思想考察比例的加大就是一个标志。常见的四种数学思想中函数方程是非常重要的。结合2019年高考，我们来看一下对函数方程思想的考察形式，以便我们在复习中要针对性的做好工作。

函数方程思想方法本身就是一种解题方法同时也是数形结合的前提。所谓的“数形结合”中的数指的都是函数，形指的就是函数的图像。利用图像来解决问题。如果没有发掘出函数，当然就没有图像，更谈不上结合。结合2019年高考题，我们来探讨一下有关函数方程思想的考察方法和规律。

以全国卷I为例，2019年的文科第3题是：已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）

A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.b＜c＜a

比较大小很多时候要用到函数的单调性。三个数是的具体准确数值是得不到的。这时可以考察三个函数y=log2x，y=2x，y=0.2x，分别当x=0.2和0.3时的函数值。只需将三个函数的图像做出来，根据所描点的高低不同，很容易比较出三个数值的大小。这个题考察的是什么，形式上是比较指数和对数的大小，实际上考察了函数的知识和应用。除了基本知识，更重要的是应用，这是用函数图像来估计函数值！典型的函数方程是思想和数形结合思想的应用。以比大小的形式考察了指对函数的相关性质。

函数方程思想远不止解决类似于以上这些涉及函数的问题，其实，在其他的内容中也有很多可以利用函数来解决的问题。2019年高考文科试题的第18题：记Sn为等差数列｛an｝的前n项和，已知S9=-a5.

（1）若a3=4，求｛an｝的通项公式；（2）若a1＞0，求使得sn≥an的n的取值范围.

这是这是一道数列题，怎么解决，要用函数。数列实际上是定义域特殊的函数，很多数列的问题往往可以用函数办法来解决。比如常见的求数列的最值项，求数列前n项和的最值等，都是将数列问题转化为关于n的函数来解决旳。常见的考题中，通项公式an=f（n）和前项和公式sn=g（n）的相关问题比较多见。从形式上就体现出这就是定义域为正整数的函数。而这道题，把函数和数列结合的更加完美巧妙。对于条件sn≥an，代入了等差数列的通项公式和前n项和公式，就变为了一个关于n的一元二次不等式。这不就是一元二次函数的应用吗？典型的函数方程思想的应用。这道题出题更加明显的强调了函数在解决数学问题中的应用。

第20题本身就是函数的问题。21题第一问已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，圆M过点A，B且与直线x+2=0相切.（1）若A在直线x+y=0上，求圆M的半径；很多学生觉得这道题难，其实是函数方程意识不好。其实就是简单的将条件中的方程列出，然后解方程即可。再比如2018年高考理科20题，一道概率题，问的是这样每一件产品不合格概率为p，20件产品中恰有2件不合格概率为f（p），求f（p）的最大值点P0。这题完美的将独立事件恰好发生k次的概率和函数问题完美的结合。

以上几个题，看似数列，概率等问题，而实质上都在考察函数！不难看出，函数方程的考察在高考中占有了重要的地位。随着新课改的实施和对数学核心素养考察的加强，对数学思想的考察必将进一步加强。那我们怎样复习，才能让学生取得更好的成绩呢。在平常的教学工作中要做到以下：

第一，基础知识的脉络体系要清晰明了。对于函数方程这一块，要让学生清清楚楚的知道他分为两部分，函数的基本概念和应用。基本概念包括函数的定义，函数的性质，主要有单调性、奇偶性、周期性、对称性等。还有常见的基本初等函数：一次函数，二次函数、正比例函数、反比例函数、指对函数、三角函数等。当然还要知道他们的简单复合。没有这一系列的函数知识基础，是谈不上函数方程思想的。第二，要有应用函数的意识。在平常的教学中，要有意识的强化学生应用函数方程思想解决问题的意识。对于这个问题，在教学中可以总结一些套路，然后再培养灵活利用的意识。比如说一些涉及到最值的问题，学生看到最值“最值”这个标志就会想想能否用函数来求最值呢，久而久之就慢慢培养了应用函数方程思想解决问题的意识。

第二，教学中要做到理论实践结合，挖掘教材的材料巧妙利用。平常的教学过程中精讲精练，注意一题多解，在变式训练和比较中感受函数方程思想的重要性和操作方法。让学生在应用的过程中，解决问题的过程中不断提高。

2019年的高考落下帷幕，它进一步指明了下一步的复习思路和方向，我们只有在平常的教学过程中，深研硬拼多下功夫，研究学生，研究教材，更要研究考试说明，才能取得更好的复习效果。