如何帮助学生“数学地”发现和提出问题

【摘 要】受评价和应试的羁绊，数学课堂中教师“满堂问”、学生不敢问，评价方式的单一严重影响了学生“数学地”发现、提出问题的能力。2017年版课标所阐述的数学学科核心素养几乎都与发现、提出问题的能力有关。教师需要创设问题驱动的课堂，把握一般性思维方法，不断拓展学生的学习空间，用多元化的评价，培养学生数学地发现、提出问题的能力。

【关键词】发现问题；提出问题；核心素养；教学策略

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2019）11-0038-04

【作者简介】余建国，南京市大厂高级中学（南京，210044）教师，高级教师，江苏省特级教师。

笔者观察，当下高中数学课堂教学普遍存在如下现状：其一是教师一问到底，将“满堂灌”变为“满堂问”；其二是学生不敢问、问不出来，或者由于学生所提问题不外乎对数学概念、解题方法等理解方面的困难，往往因为“价值不大”而被教师所忽略；其三是评价方法的单一，以考代练，以考促学，用这种简单粗暴的方法压缩了学生自由学习、思考探究的空间，学生难以成为学习的主人。学校对教师教学效果的评价片面地取决于教学成绩的好坏，考试的目的就是选择优秀学生和淘汰落后学生，单一的纸笔考试形式很难反映学生发现、提出问题的能力。这些现象的背后是学生“发现和提出问题的能力”（以下简称“两能”）的缺失。

一、课标中的“两能”

在“立德树人”的总目标下，《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“2017年版课标”）回应了新的课程改革要求。相比于2001年版的课标，2017年版课标在“课程目标”中将“分析、解决问题的能力”变为“发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，凸显了课标组专家对学生“发现和提出问题的能力”的重视。笔者认为，从数学角度发现和提出问题的能力是一个人终身学习能力的基础，也是数学核心素养的重要体现。

2017年版课标中关于核心素养的论述，处处涉及“两能”。在数学抽象素养中，要求学生“养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯”；“发现问题和提出命题”是逻辑推理素养的主要表现；数学建模素养要求学生“在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型”“学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题”；“直观想象素养是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段”；“数据分析主要表现为：收集和整理数据”，而收集和整理数据也是发现和提出问题的体现之一。总之，几个高中数学核心素养几乎都与发现、提出问题有关。

二、“两能”的界定

“两能”是核心素养的重要体现，那么何为“发现问题”“提出问题”？笔者认为所谓“发现问题”，它要求学生对一些现象（生活的、数学内部的）习惯从数学的角度去进行思考，感悟其在数量或者空间方面的某些联系或矛盾，或在现实与数学的具体情境中获得一些新的数学信息，通过一定的梳理、概括、提炼，并以数学的方式做出“是什么？为什么？怎么样？”等方面的思考。

所谓“提出问题”，是在已经发现问题的基础上采用恰当的数学语言、符号对问题作进一步的数学抽象，并在特定的逻辑线索和数学关系空间中，将问题数学地表征出来。这样一个发现、提出问题的过程是学生运用数学知识、技能、思想方法乃至基本活动经验进行数学抽象（数学化）、建立模型和逻辑推理的过程，也是学生进行数学交流、数学表达以及主动运用数学的意识及态度的过程。学生通过进一步对问题作出分析，选择策略、方法，最终解决问题，整个数学问题解决的过程突出了对能力的培养。

美国数学家哈尔莫斯说：“问题是数学的心脏。”问题解决的过程首先是发现、提出问题，然后才是分析、解决问题。爱因斯坦说过，提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力。创新性的成果往往始于问题，发现问题、提出问题是创新的基础。

三、“两能”的培养策略

课堂教学是培养学生数学地发现、提出问题能力的沃土。教师不仅是知识的讲授者，还应该是课堂教学的引导者、组织者和学生学习的合作者、评判者，扮演着数学活动中的顾问、辩论会主席、对话人、咨询者等多方面的角色。[1]教学活动的设计必须从知识的形成过程出发，并符合学生学习数学的认知规律，让数学学习的过程充满质疑、判断、比较、推理等多样化的活动。正如数学教育家张奠宙先生所说的那样，把数学知识的学术形态轉化为生动活泼的教育形态。

1.创设问题驱动的课堂。

研究始于问题，同样，教学也应该始于问题。教师要善于将教材进行二次开发，转换成一系列问题序列，使教学成为问题解决的活动过程；教师更要善于创设问题情境，引导学生自己去发现、提出问题。

【案例1】空间向量的基本定理。

师生回忆，两个非零向量只能线性表示它们所在平面内的向量，不在这个平面内的向量就不能线性表示了。而根据共线定理，一个非零向量只能表示与它共线的向量。将共线定理、平面向量的基本定理和刚才的“不能”问题放在一张表内，如表1。

问题2：我们需要几个基向量才能线性表示某一空间内的任意向量？这些基向量满足什么要求？你觉得这个依据该叫什么名字？

问题1的追问与学生已有的知识结构相冲突，是学生发现问题的“先行组织者”；通过列表，有助于学生在已经发现问题的基础上采用恰当的数学语言、符号对问题作进一步的数学抽象，并在特定的逻辑线索和数学关系空间中，将问题数学地表征出来，这就是“提出问题”的能力。从一维、二维到三维，创设适当的问题情境，让学生发现问题，驱动学生提出问题，用类比的方法猜想结论，探究定理的证明方法，既加深了学生对数学的理解，又提高了抽象概括的水平，发展学生的数学抽象素养。

2.把握一般性思维习惯。

高中数学课程是一个整体，课程的整体性既体现在代数、几何、统计与概率等各部分内容之间的相互联系上，也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上，特别是在数学核心概念所反映的数学思想方法的前后一致性上。[2]因此，遵循数学的内在逻辑关系，发现、提出有价值的数学问题既可以从同一数学学科内在的逻辑发展必然性中产生，也可以从不同数学学科的联系中产生。

【案例2】向量的概念及表示。

教师用一组情境让学生提炼出其中的量：温度、速度、力……分析这些量的联系和区别。学生知道它们分属标量与矢量。结合三角函数中“有向线段”的概念，从中分化、抽象出它们的共同本质——既有大小又有方向的量，从而定义向量。

对于一个新的“量”，我们如何研究呢？如果不知道，我们可以先回顾一下如何研究数量（实数）的。每个学生发一张表格，列出要研究的问题（主题）及其相应的具体内容，大胆猜测，可以相互讨论。教师展示各小组的表格，如“向量如何表示？”“向量的大小就是线段长吗？”“有相反向量、倒数向量的说法吗？”“向量怎么运算？”“有没有单位向量、零向量？”等等都是有价值的问题。教师与学生一起分析，这些问题涉及三个方面：概念的表示，大小和方向，运算。类比实数，逐次从这三个角度展开研究，运算虽未涉及，却为下面的学习留下悬念。

这种利用同一数学学科内在的逻辑发展必然性设计的教学，采取以旧引新的方法引出内容，使学生认识到它们在思想方法上的一致性，培养学生运用数学抽象的学科素养思考并解决问题。主题（单元）教学在培养“两能”、发展学生一般性思维方法中很有作用。

3.拓展自主学习的空间。

数学教育家史宁中先生指出：“发现问题更多地是指发现了书本上不曾教过的新方法、新观点、新途径以及知道了以前不曾知道的新东西。”[3]实事求是地讲，仅仅靠训练应用题习题，学生不可能有史先生所说的“新方法、新观点、新途径、新东西”的，必须将学生的思维引导到现实生活中，“用数学的眼光观察世界”。因此，解决实际问题的需要，也是引导学生发现和提出数学问题的基本策略。

当然，实际生活中的问题远比习题复杂得多，发现、选择可以研究的问题并清晰地加以表述无疑是其中重要的一环，教师在这个环节要加强引导，如推荐课题，指导方法，甚至共同参与。当然，更多的时候是教师不断鼓励学生通过自主发现、小组遴选、分析讨论等过程，从生活中、学习中发现和提出具有挑战性和数学价值的问题。

2017年版课标把“数学建模活动与数学探究活动”作为高中数学的主线之一，因为它们具有问题性、情境性、综合性、开放性、实践性、创造性等特征，使它们更契合数学学科核心素养的本质属性和特点，所以，在核心素养的视域下，教学更应该强化这两类活动，拓展学生自主学习的空间。

4.科学评价发现的“结果”。

2017年版课标指出：“评价既要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程。”过去，对学生的学习评价过分强调甄别的功能，使得学业成绩成为学生排名的主要工具。现在，我们必须建立目标多元、方式多样、重视过程的评价体系。

虽然学生发现、提出的问题在深刻性、原创性、独特性以及表达的流畅性等方面差别很大，数学价值也有区别，但是都应该得到教师的鼓励并导向更加深刻的思考：是怎么想到的？这是一个数学问题吗？这个问题与什么数学知识和方法有关？解决的方法和结论合理吗？能不能进一步优化、推广？积极鼓励学生积累发现、提出问题的经验。

方式多样，既是指发现、提出问题的方式，也是指评价的方式。教师要鼓励学生将自己的发现记在档案里，写进日记里，通過进一步的探究和讨论，写成数学调查报告、数学建模报告或数学小论文、数学课题结题报告等，召开报告会、讨论会、发布会，营造民主开放的学习氛围，鼓励和引导学生逐步学会发现问题，并敢于提出问题，发挥评价的引导功能。

培养学生数学地发现、提出问题的能力，除了上文所述，还有如传统文化因素的改良、教师育人观念的改变、考试命题的进步、社会和家长的人才观的发展等，限于篇幅且囿于笔者的认识，就不再赘述。总之，如何培养学生数学地发现、提出问题的能力，需要我们在实践中深入思考，开展教学实验研究，在课堂教学中寻找途径和策略，实现“立德树人”的教育目标。

【参考文献】

[1]余建国.如何在数学概念教学中实现“过程性目标”[J].数学通讯，2013（10）：1-4.

[2]章建跃.有价值的问题从何而来[J].中小学数学：高中版，2014（4）：66.

[3]史宁中，柳海民.素质教育的根本目的与实施路径[J].教育研究，2007（8）：10-14，57.