对一道三元代数式最值题的多解及变式探究

☉浙江省杭州高级中学 钱可悦

在近几年的高考题与模拟题中，经常会碰到求解双元或多元代数式最值或取值范围的问题.此类问题往往难度系数比较大，但通过细致认真的观察，往往可以发现其中的特殊规律，解题思维方式多变，方法有时也多样.下面结合一道三元代数式最值题来加以剖析，从多角度切入，达到殊途同归的效果，并加以进一步的拓展与探究.

一、问题呈现

本题是在正数条件下对三元分式的最小值进行求解，通过从不同的观察点切入，利用不同的思维方法处理，从待定系数法与拆分系数法角度变换不同位置的相应系数，再结合基本不等式的应用求解三元分式的最小值.进而通过深入探究，并加以进一步的变式与拓展，从而培养学生的数学素养并提升学生的解题能力.

二、多解思维

根据表达式，从分母入手，通过待定系数法设出ab+2bc=ta·，结合基本不等式的应用与转化得到参数之间的关系进而通过变换来确定分式的最值问题.

根据表达式，从分子入手，通过待定系数法设出a2+b2+c2=a2+tb2+（1-t）b2+c2，结合基本不等式的应用与转化得到参数之间的关系2，进而通过变换确定分式的最值问题.

解法2：设a2+b2+c2=a2+tb2+（1-t）b2+c2.

根据表达式，观察分母中字母的组合与系数关系，有针对性地对分子中所对应的b2的系数“1”加以拆分，进而利用基本不等式的转化，并通过分式的化简确定最值问题.

解法3：结合基本不等式，可得：

点评：解决本题可以根据分子或分母中的系数特点并利用待定系数法处理，也可以通过分子与分母中的系数关系加以巧妙配凑，再利用基本不等式处理.而通过对该题的深入分析，拓展思维，改变条件，可以得到意想不到的效果.

三、拓展变式

其实，如何确定解题思维并把问题归结为同一个熟悉的“问题”来处理是解决问题的关键，也就是解题方法与技巧，以不变应万变，熟练解决问题，真正达到“认真解答一道题，拓广解决一类题，变式深化一片题，思维能力一起高”的美好目的.

变式方向1：改变三元代数式的分母中的系数，通过系数的配凑变化进行变式拓展.

变式方向2：改变三元代数式的分母中的代数式，并改变分子中的系数，变成更为一般的三元分式情况，通过更为复杂的系数的配凑变化进行变式拓展.

通过多解思维与拓展变式等不同角度来探究，巧妙地把该题的底蕴充分挖掘并展示出来，从多角度出发，多方面求解，多层次拓展，真正体现了对数学知识的融会贯通，也充分展现了知识的交汇与综合，真正达到培养素养、提升能力、拓展应用的目的，进而真正达到在学中“悟”，在“悟”中不断提升与拓展的解题技能.正如我国著名的数学家苏步青先生所说：“学习数学要多做习题，边做边思索，先知其然，然后知其所以然.”W