圆锥曲线离心率问题的解法剖析与思考

☉江苏省连云港市华杰实验学校 宋现印

圆锥曲线的离心率是高中数学的重点知识，以其为载体的考题一直都是高考的热点，虽然离心率的定义和计算公式较为固定，但考虑到与其相关的知识内容较多，因此该类问题通常以综合题的形式出现，因此可以从不同的角度，采用多种思路来分析.本文将对一道离心率与平面几何相结合的考题进行多解探究，总结解题方法，提出相应的教学建议，与读者交流学习.

一、考题呈现，思路分析

考题 （2018年北京高考卷第14题）已知椭圆M的解析式为，双曲线N的解析式为=1，如果双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰好为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为______；双曲线N的离心率为______.

分析：上述题目涉及了椭圆和双曲线，通过图像中的特殊点构建的一个正六边形将两者联系起来，求解两个圆锥曲线的离心率就需要充分利用这两类曲线的性质，结合正六边形的特性构建两者之间的关系，然后基于离心率的表达式尝试进行关系转化.分析问题中的条件，初步有以下几种思路：一是以正六边形的边长性质作为解题切入点，寻求点与点之间的距离关系；二是从研究点的坐标入手，联立两类曲线的解析式；三是充分利用正六边形中的特殊图形，如直角三角形，围绕特殊图形的性质构建曲线特征参数的关系.

二、思路突破，多解探析

图1

解题思路1：连接AF1和AF2，如图1所示，点A既是正六边形的顶点，也是椭圆M上的点，求AF1+AF2既可以从几何性质角度来分析，也可以结合椭圆的基本定义，两者所得的结果必然是一致的，即c+c=2a.则可以直接构建a与c之间的关系，即椭圆M的离心率为而对于双曲线的离心率的探究，则同样可以从几何与圆锥曲线性质两个角度来构建参数关系：由双曲线渐近线的表达式，可知渐近线的斜率为，结合正六边形的性质特征可知渐近线的倾斜角分别为率为±，转化后可得e2=2，即双曲线N的离心率为2.

图2

解题思路2：根据题干条件绘制图2所示的图像，分析正六边形的结构，椭圆的两个焦点F1和F2分别为正六边形两侧的顶点，而渐进线将正六边形的内角平分，显然△AOF2为等边三角形，即∠AOF2=∠AF2O=∠OAF2=60°，过点A作x轴的垂线，垂足为E，点F的坐标为（c，0），则OE=2，即点A的坐标为考虑到点A位于椭圆上，则必然满足椭圆M的方程，将1中，整理可得，即椭圆M的离心率为-1.同时点A位于双曲线的一条渐近线上，根据双曲线的解析式可设其渐近线的表达式为将点A的坐标代入其中可得即双曲线N的离心率为2.

上述考题是高考中常见的求圆锥曲线离心率题，其特殊之处有两个：一是将多条曲线融合在一起进行考查；二是将圆锥曲线知识与平面几何知识综合起来进行考查.因此从问题内容来看属于平面几何与函数曲线相融合的综合题，求解离心率就需要从平面几何与函数曲线两个角度来构建参数a与c的数量关系，上述两种解法的思路虽然不同，但都是基于该策略来完成构建的.

解法1以正六边形的性质作为解题的出发点，结合椭圆的定义构建方程，进而求得离心率，简化了解题的过程；而解法2在求解椭圆的离心率时立足点A的坐标，利用正六边形的性质表示点A的坐标，然后将其代入椭圆的解析式，从而获得相关的代数关系，直接达到了求解离心率的目的.

三、知识总结，方法提炼

圆锥曲线的离心率是常见的问题类型，在综合题中一般不直接根据a，c的数值计算，而采用关系转化的方式获得，因此有必要对其进行知识总结和方法提炼.

1.公式转化与分析

2.解题方法

求解圆锥曲线的离心率或分析取值范围一般采用如下方法：

（1）基本公式法，离心率是c与a的比值，因此可以直接根据题目的条件求得c与a的具体数值，然后代入公式求解.

（2）代数方程法，求解离心率可以视为是求解a，b，c其中两个数的值，因此对于一些圆锥曲线题，可以结合题干条件列出a，b，c之间的关系，组成代数方程，然后通过解方程的方式求解.

（3）几何函数法，该方法指的是从几何与函数两个角度进行条件构建，如上述考题的两种解法，结合平面图形的相关性质提炼条件，然后结合曲线的性质特征构建关系模型，采用关系转化或构建方程的方式来求解.

（4）不等式法，该方法的显著特征是构建关于离心率参数的不等式，可以结合平面几何中图形的边长不等关系，也可以结合题目本身相关量的取值范围，最终只需列出对应的不等式，转化为关于离心率的不等关系式即可.

3.学以致用

图4

解析：通过构建几何函数法求解方程，根据题干条件绘制图4所示的图像，△F1PF2为等腰直角三角形，则F1F2=PF2.由椭圆的性质可知F1F2=2c.点F2的坐标为（c，0），点P的横坐标与点F2相同且位于椭圆上，则可推知点，整理后两边同除以a2，可解得e=-1+

四、解后思考，教学反思

1.剖析问题本质，立足基本定理

与离心率有关的考题是高考的热点问题，该类问题的考查形式多样，题型也较为灵活，有单纯根据曲线方程求解离心率的简单题，也有综合多种知识考查离心率内容的复合题，但从考题的求解过程来看，均离不开对离心率概念和圆锥曲线对应性质的利用.如上述两道综合性问题，依然需要从离心率的定义出发，结合离心率的表达式进行关系转化，即剖析问题本质才是求解考题的根本，也是实现考题高效求解的关键.在实际教学中，教师在讲解综合性考题时，应充分引导学生剖析问题本质，使学生认识到问题的本质内容，然后立足于基本的定理、定义构建问题的解题思路，使学生掌握考题最根本的解法.

2.多维思考探究，总结解题方法

高考真题的经典之处在于学生可从不同的角度，运用不同的方法获得正确的答案，这就从另一个层面鼓励学生在平时的学习中要敢于思考，勇于创新.如上述关于离心率的考题，既可以从平面几何角度进行分析，也可以从圆锥曲线的基本定义入手，还可以将两者融合构建对应的代数方程.多角度思考探究考题的优势在于可以全面认识考题的结构，对考题的解题思路产生深刻的认识，从而有效提升自我的解题思维.因此在解题教学中，教师十分有必要开展考题的多解探析，帮助学生总结特定问题的解题方法和分析策略，拓展学生的数学思维，提升学生的综合素养.W