习题讲评需要“小题大做”——以等差数列前n项和的最值为例

☉江苏省曲塘高级中学 崔晓红

习题教学主要是培养学生对数学问题的探究能力，以及开发学生解题智慧的主要阵地，其核心是“在学习和应用数学的过程中，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”等核心素养.本文通过在解题教学中的心得，对数学核心素养的解题教学的几个环节略作剖析，以起到“小题大做”的效果.

一、习题讲评的目的与作用

美国著名的数学教育家波利亚强调过“中学数学的首要任务是加强解题训练”“掌握数学就意味着解题”，学生在解题过程中，不仅真正地理解和掌握了数学知识的意义，学会运用数学知识解决问题，而且提高了数学修养和数学能力，而承担提高学生解题能力任务的主要课型就是习题讲评课.数学的基本概念是数学习题的基础背景和核心，数学习题是数学基本理论应用的延伸和发展，二者的密切配合是数学教学的统一整体.通常，数学习题课教学要达到如下几个目的.

1.有助于学生对基础知识的理解

在平时的课堂教学过程中，我们都要注意体会数学教材中出现的概念、定理，然而学生往往因为体会不到一定的深度，解题中应用不够充分而导致解题困难.习题课一般是在概念课、定理课等理论课型的基础上，结合对基本概念、定理的理解而设置的训练课，目的是通过训练实现对相关知识的巩固及灵活应用，并通过“小题大做”、以点带面、举一反三来提高教与学的效率.

2.有助于发展学生的数学思维能力

习题课的讲评教学必须把发展学生的数学思维能力作为根本目的，因此必须让习题教学在数学教学过程中占据比较重要的地位，才能够起到示范、启发的作用.在讲评过程中应该“小题大做”，善于变换问题背景，在原有题目的基础上创新题目，善于从多个视角分析并解答问题，善于将问题的求解方法进行迁移等.

二、如何做好习题讲评的准备工作

1.把好学生的训练关

习题训练作为数学教学的重要组成部分，一节高效的习题讲评课，首先学生要有充分的训练，它不仅要体现学生的主体地位，还要体现教师的指导作用.这样学生在训练中才能真正体会到知识的形成过程，概念、定理的侧重点在哪儿，知识与方法、知识与题型间联系的纽带在哪儿，唯有如此，才能最大程度地调动学生的内在动力和他们求知的积极性，提高学生课堂的关注度，这样课堂效率才能得到保证.

2.关注对学生训练的批阅

对学生习题的批阅是教师获得学生知识掌握情况的手段，批阅中首先要注意整体层面的问题，以及学生错误集中的几个问题，看看整体训练的效果，再看具体题目中的具体出错环节.一般来说，一看学生的审题是否严谨，这是检验学生对题目分析能力的一个方面；二看解题过程是否全面，是否掌握解题的规范和程序；三看方法是否得当，展示学生思维的障碍及有无新的解决思路.通过以上反馈，能够及时把握学生的思路历程，这也为我们讲评环节做好了铺垫.

三、关注习题讲评的几个策略问题

习题讲评既对学生的知识起到巩固、充实、完善和矫正的作用，也对知识进行了梳理、整合和深化，同时是师生共同探讨并阐释思维共鸣的主要举措.以下借助等差数列中一道探求前n项和最值的问题，谈谈讲评中应关注的几个策略：

典例：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S9＜0，S10＞0，则此等差数列的前n项和中，n是多少时取得最小值？

策略一：回归概念，认清问题的本质

结合本题条件不难发现该数列的两点关键信息：①d＞0；②a1＜0.

此时{an}大致的排列方式为：a1＜a2＜…＜am＜0＜am+1＜…＜an，不难得到当n=m时Sn取得最小值.

讲评心得：此法称为“性质转化法”，本解法是基于等差数列的通项公式和前n项和公式不可求，不能通过函数的思想来确定最值，因此通过考虑等差数列的性质来进行转化，抓住项的符号变化特点来求得最值情况，透过解题过程不难得到如下几个结论：

策略二：横向拓展，通过条件迁移培养解题灵活性

变式1：已知等差数列{an}，3a5=8a12，a1＜0，设前n项和为Sn，求Sn取最小值时n的值.

分析：结合本题条件可知通项公式和前n项和公式不可求，而且利用等差数列的性质进行转化也较难得到临界项，因此不妨根据已知条件设出基本量，然后套用通项公式，来得到a1，d的关系.

另一思路，可以利用a1，d的关系表示出Sn，其结构特点为关于自然数n的二次函数形式且不含常数项，故可借助配方法来求得Sn取得最值时n的值.

讲评心得：这是一个横向的变式训练题，是在上题的基础上进行了条件的转化，在考查这类题目时，需要学生能够灵活应用自身的数学知识，在原题基础上对知识点进行有效的整合.通过变式训练可以培养学生灵活处理问题的能力，训练其发散思维能力，在讲评过程中教师应引导学生把握主干知识，联系基本概念与公式，挖掘隐含信息，从而帮助学生拓展解题思路.

策略三：逆向变式，在逆向思维中体会概念的本质

变式2：数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn=-n2+λn，且仅在n=8处取得最大值，则λ的取值范围是______.

解法1：因为Sn仅在n=8处取得最大值，故{an}中没有零项，从而有a8＞0，a9＜0.

解法2：Sn=-n2+λn是关于n的二次函数，其图像所在抛物线的对称轴为直线n=，因为S仅在n=8处取得最n大值，所以7.5＜＜8.5，即15＜λ＜17.

讲评心得：所谓逆向思维，就是指人们为达到某种目标，从常规思维相反的方向来思考，从中引导人们来寻求解决问题的一种思维方式.数学中的公式、运算都具有双向性，在习题讲评中要充分挖掘知识点的互逆因素，并巧妙逆转问题的条件和结论，以此训练学生的逆向思维能力，其往往能够更好地提高学生的数学素养.在逆向变式的过程中，讲评环节应注意命题间的不等价因素，即易错环节，如在本题中就应该注意“Sn仅在n=8处取得最大值”这一条件，切勿出现“a8≥0，a9≤0”而导致求解错误.

策略四：跨知识点变式，进一步拓展思维的迁移能力

变式3：等比数列{an}的公比为q，其前n项积为Tn，并且满足条件a＞1，aa＞1199100给出下列结论：

①0＜q＜1；

②a99a101-1＜0；

③T100的值是Tn中的最大值；

④使Tn＞1成立的最大自然数n为198.

其中正确的结论是（ ）.

A.①②④ B.②④ C.①② D.①②③④

分析：因为a99a100＞1，所以a12q197＞1，所以（a1q98）2＞1.

由于T100=T99·a100，而0＜a100＜1，故有T100＜T99，所以③错误.

讲评心得：这种跨知识点的变式训练给学生提出了更高的要求，是在学生熟练掌握等差数列最值的基础上进行的深度拓展，这种拓展能更好地训练学生的信息迁移能力，是更高层次的训练，适用于综合复习阶段的习题变式.

利用变式训练的上述策略，可以实现从不同角度对知识点、题型及方法的理解，通过这种“小题大做”的强化训练可以让学生对问题进行反复研读，并让他们深入到题目内在，并进行深层次的思考，这样能更好地掌握问题的实质，利用这种讲评策略还可以有效提高学生解题的思想集中度，并促进不同水平学生的解题能力的提升.F