不可约内部算子和不可约闭包算子

徐款款，卢 涛

(淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000)

偏序集上的内部算子和闭包算子[1]是对点集拓扑学中的内部和闭包的抽象和完善.很多学者对它进行了研究，路玲霞[2]、姚卫[3]分别给出内部算子和闭包算子与伴随的关系及其性质.本文在格上给出不可约闭包算子和不可约内部算子的定义，并研究了相关性质及其等价刻画，进一步丰富了偏序集上的算子理论.

1 预备知识

定义1.1[4]设L是格，a∈L，(1)设a≠1，若∀x,y∈L，当x∧y=a时，有x=a或y=a，则称a是L的交既约元；(2)设a≠0，若∀x,y∈L，当x∨y=a时，有x=a或y=a，则称a是L的并既约元.

定义1.2[5]设S和T是偏序集，f:S→T,g:T→S是映射，若(1)f和g都是保序映射；(2)∀s∈S,t∈T，f(s)≥t⟺s≥g(t)，则称偶对(f,g)是S和T上的Galois伴随(简称伴随).其中，f称为上伴随，g称为下伴随.

定义1.3[6]设L是半格，F:L→L是映射，对任意的a∈L，设a≠1，如果对一切的x,y∈L，当F(x∧y)≤a时，有F(x)≤a或F(y)≤a，则称F为L上的素内部算子.

定义1.4[6]设L是并半格，F:L→L是映射，对任意的a∈L，设a≠0，如果对一切的x,y∈L，当F(x∨y)≥a时，有F(x)≥a或F(y)≥a，则称F为L上的素闭包算子.

2 不可约内部算子与不可约闭包算子

定义2.1 设L是半格，F:L→L是保序映射，对任意的a∈L，设a≠1，如果对任意的x,y∈L，当F(x∧y)=a时，有F(x)=a或F(y)=a，则称F为L上的不可约内部算子.

定义2.2 设L是并半格，F:L→L是保序映射，对任意的a∈L，设a≠0，如果对任意的x,y∈L，当F(x∨y)=a时，有F(x)=a或F(y)=a，则称F为L上的不可约闭包算子.

显然，根据不可约内部算子和不可约闭包算子定义,有以下结论：(1)设L是格，若L上的恒等映射F:L→L是保序映射，a∈L,a≠1，且a是L的交既约元，则F为L上的不可约内部算子；(2)设L是格，若L上的恒等映射F:L→L是保序映射，a∈L,a≠0，且a是L的并既约元，则F为L上的不可约闭包算子.

命题2.1 设L是半格，F:L→L是半格同构映射，对∀a∈L，若F为不可约内部算子，则a是L上的交既约元.

证明 设a≠1，对∀x,y∈L，当x∧y=a时，由F保序知，F(x∧y)=F(a).因为F为不可约内部算子，则F(x)=F(a)或F(y)=F(a).由F逆保序知，x=a或y=a，故a是L上的交既约元.

相应地，有以下命题：

命题2.2 设L是并半格，F:L→L是并半格同构映射，对∀a∈L，若F为不可约闭包算子，则a是L上的并既约元.

定理2.1 设(f,g)是格S和T上的伴随且f保并，g保交，(1)若任意的a∈T是并既约元，则gf是不可约闭包算子；(2)若任意的a∈S是交既约元，则fg是不可约内部算子.

证明 (1)∀x,y∈T，若fg(x∨y)=a，则fg(x)∨fg(y)=a.因为a是并既约元，则fg(x)=a或fg(y)=a，故fg是不可约闭包算子.

(2)∀x,y∈S，若fg(x∧y)=a，则fg(x)∧fg(y)=a.因为a是交既约元，则fg(x)=a或fg(y)=a，故fg是不可约内部算子.

接下来给出不可约闭包算子和不可约内部算子与素闭包算子和素内部算子的关系：

定理2.2 设L是分配格，F:L→L是保序映射，则(1)F是素内部算子当且仅当F是不可约内部算子；(2)F是素闭包算子当且仅当F是不可约闭包算子.

证明 (1)设F是不可约内部算子，若∀x,y∈L,∀a∈L,F(x∧y)≤a，则由分配律可知，a=F(x∧y)∨a=a∨(F(x)∧F(y))=(a∨F(x))∧(a∨F(y))，则a=a∨F(x)或a=a∨F(y)，从而F(x)≤a或F(y)≤a，故F是素内部算子.

反过来，设F是素内部算子，若∀x,y∈L,∀a∈L,F(x∧y)=a，则F(x∧y)≤a且F(x∧y)≥a，当F(x∧y)≤a时，F(x)≤a或F(y)≤a；当F(x∧y)≥a时，a≤F(x)或a≤F(y)，故F(x)=a或F(y)=a，F是不可约内部算子.

类似可证结论(2).

定理2.3[4]设L是格，F是L上的闭包算子，对任意的a∈F(L)，则F是格L上的素内部算子当且仅当主理想↓(F(a))是素理想.

定理2.4[4]设L是格，F是L上的内部算子，对任意的a∈F(L)，则F是格L上的素闭包算子当且仅当主滤子↑(F(a))是素滤子.

根据定理2.2、定理2.3和定理2.4有以下结论：

定理2.5 设L是分配格，F是L上的闭包算子，对任意的a∈F(L)，则F是格L上的不可约内部算子当且仅当主理想↓(F(a))是素理想.

定理2.6 设L是分配格，F是L上的内部算子，对任意的a∈F(L)，则F是格L上的不可约闭包算子当且仅当主滤子↑(F(a))是素滤子.

定理2.7 设L是完备格，映射{gi}i∈I:L→L保序，(1)对任意的a∈L，若a是交既约元，则L上的所有不可约内部算子构成的集合是完备格；(2)对任意的a∈L，若a是并既约元，则所有不可约闭包算子构成的集合是完备格.

证明 设任意的映射{gi}i∈I是不可约内部算子，设g=∧i∈Igi，则g保序.任意的a∈L,a≠1，∀x,y∈L，当∧i∈Igi(x∧y)=a时，即(∧i∈Igi(x))∧(∧i∈Igi(y))=a，又因为a是交既约元，故∧i∈Igi(x)=a或∧i∈Igi(y)=a，从而∧i∈Igi是不可约内部算子，即所有不可约内部算子构成的集合对任意交封闭，故L上的所有不可约内部算子构成的集合是完备格.

同理可证，L上的所有不可约闭包算子构成的集合是完备格.

设f是不可约内部算子，g是不可约闭包算子，令Lf={a∈L:f(a)=a},Lg={a∈L:g(a)=a}，若f,g幂等，则Lf，Lg非空.若L是完备格，则Lf是交完备子格(即对任意交封闭)，Lg是并完备子格(即对任意并封闭).

定理2.8 设L是完备格，映射f:L→L是幂等的，若存在L的并完备格子格L1，使∀a∈L，都有f(a)=∨↓L1a成立，其中↓L1a={x∈L:x≤a}，则f是素内部算子.

证明 ∀a,b∈L，使a≤b，则↓L1a⊂↓L1b，从而∨↓L1a⊂∨↓L1b，即f(a)≤f(b)，从而f保序.因为f(a∧b)=f(b)=↓L1b={x∈L:x≤b}≤b，又因为f幂等，则a=f(a)≤f(b)=b≤b，从而f(a)≤b或f(b)≤b，故f是素内部算子.

定理2.9 设L是完备格，映射f:L→L是幂等的，若存在L的交完备格子格L1，使∀a∈L，都有f(a)=∧↑L1a成立，其中↑L1a={x∈L:x≥a}，则f是素闭包算子.

最后给出关于布尔代数上的不可约闭包算子与不可约内部算子的等价刻画.

设L是布尔代数，:L→L是相应的补运算(即满足∀a∈L,a∧a=0,a∨a=1).易知，:L→L为逆合对应，即∀x,y∈L,x≤y⟺x≥y.证明过程可见参考文献[7].

定理2.10 设L是布尔代数，:L→L是补运算，对∀a∈L，若f是不可约内部算子，g是不可约闭包算子，则f是不可约闭包算子，g是不可约内部算子.