二次函数综合题型探究—2018年中考试题题例分析

山东省枣庄市实验学校(277800) 刘近涛

二次函数作为数学研究中的一个非常重要的工具,在整个中学数学的教与学之中有很多应用.历年中考试卷中,二次函数都占有一定的比重,是中考的“热点”和“难点”之一.在培养学生严谨的数学思维和学生的运算能力、分析问题和解决问题的能力上,二次函数都有着不可替代的作用.本文主要通过两道中考压轴题来展现二次函数在中学数学中的重要价值.

例1(2018·枣庄)如图1,已知二次函数的图像与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.

(2)判断△ABC的形状,并说明理由;

(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标;

(4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM//AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.

图1

图2

分析(1)根据待定系数法即可求得二次函数的表达式;

(2)先根据抛物线表达式求得B点坐标,然后根据勾股定理分别求出AB2=20,AC2=80,BC=10,最后再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形;

(3)当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,需要分三种情况讨论:①AN=AC,②CN=AC,③AN=CN,解决方法为先分别以A、C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点;再作AC的垂直平分线交x轴于一个点,即可求得点N的坐标;

(3)因为A(0,4),C(8,0),所以在Rt△AOC中,

①以A为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时点N坐标为(−8,0);

②以C为圆心,以AC长为半径作圆,交x轴于N,此时点N坐标为或

③作AC的垂直平分线,交x轴于N,此时N的坐标为(3,0).

综上,若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(−8,0)、

图3

点评本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求表达式,勾股定理和逆定理,等腰三角形的性质,三角形相似的判定和性质以及函数的最值等,熟练掌握性质定理是解题的关键.这道二次函数综合题中考查的不同方向有:①确定二次函数表达式;②判定三角形的形状(直角三角形);③分情况讨论确定等腰三角形;④求面积的最大值(用函数求最值).

例2(2018·齐齐哈尔)如图4所示,直线y=x+c与x轴交于点A(−4,0),与y轴交于点C,抛物线y=−x2+bx+c经过点A、C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值;

(3)如图5所示,M是线段OA上的一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N.

①若以C、P、N为顶点的三角形与△APM相似,则△CPN的面积为___;

②若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上一个动点,在坐标平面内是否存在点D,使以点D、F、P、M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

注:二次函数y=ax2+bx+c(0)的顶点坐标为.

图4

图5

分析(1)根据待定系数法即可求得二次函数的表达式;

(2)通过找对称点,利用两点之间线段最短求出CE+OE的最小值;

(3)当以C、P、N为顶点的三角形与△APM相似时,已知 ∠APM=∠CPN,故要分两种情况讨论:①△CPNv△APM;②△NPCv△APM.根据相似三角形的性质分别求出△CPN两条直角边的长度,从而计算得到△CPN的面积;根据菱形的性质对边平行且相等结合题目已知分情况讨论求出D点坐标.

解(1)将A(−4,0)代入y=x+c,得c=4,将A(−4,0),c=4代入y=−x2+bx+c,得b=−3,所以抛物线的解析式为y=−x2−3x+4.

(2)如图6,作点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′,连接OC′,交直线l于点E,连接CE,此时CE+OE的值最小.抛物线的对称轴直线,则CC′=3,在Rt△OCC′中由勾股定理可得,OC′=5,所以CE+OE的值最小为5.

图6

图7(1)

图7(2)

点评本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求表达式,对称性和两点之间线段最短的性质,三角形相似的性质以及菱形的性质等知识点.这道二次函数综合题中考查的不同方向有:①确定二次函数表达式;②求线段之和最小;③分情况讨论相似三角形;④分情况讨论四点组成菱形.

函数是“数与代数”领域的核心内容,更是难点所在.二次函数综合问题中,蕴含的数学思想方法集中,涉及到的知识点多,能充分体现学生获取数学信息以及运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力,因而成为广大师生关注的热点问题.这两道二次函数中考压轴题从不同的角度分别考查了确定函数表达式、判定直角三角形、讨论等腰三角形、求线段之和最小、求面积最大、讨论相似三角形、讨论平行四边形(菱形)等七个方面,有很强的综合性.分类讨论、数形结合、划归与转化、函数与方程的思想在二次函数中都得到了很好的体现.