追根溯源揭本质，关联变式求发展——关于数学教师解题品质的思考

☉江苏省泰州市教育局教研室 钱德春

解题是数学学习不或缺的重要环节.现实中常有这样一种现象：教师与学生一起解题，有时教师的速度没有学生快，这也是笔者自身的体验.一方面，应该承认教师的智商与学生比不一定是最优秀的，在相同的时间内、用同样的知识解题，学生可能更胜一筹，这是正常现象.更重要的一方面是：学生“初生牛犊不怕虎”，解题时“敢打敢冲”，不会考虑过多，而教师解题时则多了一些冷静、顾虑与思考：如解答过程是否简洁完美、问题来源与背景是什么、与哪些关联、还有哪些思路、可否变式、能否一般化、向哪些方向发展、命题意图是什么……这些其实是数学教师必备的解题品质.本文基于几道试题的解答与反思过程，谈谈关于数学教师解题品质的思考.

一、解题与反思案例

所以点P一定在函数y=mx+n的图像上.

图1

图2

反思2：问题的本质是什么？

从图2直观发现：如果过点P作x轴的平行线PG，GP仍然平分∠APA′.设点P的坐标为GP、A′N⊥GP，垂足分别为M、N.

所以tan∠APM=tan∠A′PN，即∠APM=∠A′PN.

由此可见：不论k、m、n为何值，都有GP平分∠A′PA，而由m=得到的上述结论是该结论的特例.

图3

图4

反思3：如果m为其他数值，原题的结论成立吗？点P必在CD边上”.（如图5）

图5

图6

例2 （2018年福建省中考B卷第25题改编）如图6，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（0，2），点B、C在该二次函数图像上，且△ABC为等边三角形.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M（x1，-x12+2）、N（x2，-x22+2）.

分别作ME⊥BC、NF⊥BC，垂足分别为E、F.

反思1：问题的本质是什么？

上述问题中，条件“△ABC是等边三角形”“与直线MN平行的直线y=-2x”中都含有这个元素，结论为“BC平分∠MBN”.这些条件、结论或元素之间是否存在着某种必然的联系呢？

为了揭示问题的本质，不妨将问题一般化.设抛物线为y=ax2+c（a＜0，c＞0），点B、M、N的坐标分别为（m，am2+c）、（x1，ax12+c）、（x2，ax22+c），其他条件不变.

若tan∠1=tan∠2，则a（x1+m）=-a（x2+m），必有x1+x2=-2m.

设直线MN的解析式为y=kx+n，将点M、N的坐标代入，得x）2.

因为x1+x2=-2m，所以k=a（x1+x2）=-2am.以此验证上述特例：当a=-1、m=-，k=-2am=-2×（-1）×，与条件完全吻合.

反思2：结论k=a（x1+x2）可否由其他方法得出？

反思3：能否有更进一步的猜想？

由上述推理是否可更一般地猜想：只要满足“k=-2am”就有“BC平分∠MBN”呢？其中k为直线MN的解析式y=kx+b的一次项系数，a为抛物线的二次项系数，m为抛物线上点B的横坐标，结论与两个函数的常数项c、n无关.

显然，以上步骤步步可逆（读者可自行证明）.由此可见：“BC平分∠MBN”的充要条件是“k=-2am”.与其他量无关.这才是问题的本质.

二、问题思考

上述两个案例中，在解题后均对解法和问题进行了反思，这个过程引发了笔者进一步的思考.数学教师解题除了掌握一定的解题策略、良好的思维方式，作为数学教师特有的解题品质，既要反思问题从哪里来、怎么来，也要关注是什么样子、还可以是什么样子，还要思考往哪里去、怎么去.即“追根溯源揭本质，关联变式求发展”.

1.追根溯源揭本质

试题的命制，即使是原创题，都不会是无本之木、无源之水，一定会有问题的源头.从问题原型来看，有些直接来自于教材，有些源自于某个重要结论；从思路方法上看，大多为常规思路、通性通法，考查重要的数学思想方法.作为数学教师，在解题中应该追根溯源，揭示问题的本质所在.

如在例1中，通过对问题深入思考发现，一是对条件一般化处理有：只要过原点O的直线与函数y=的图像相交于A′、A，无论k、m、n为何值，都有“PG平分∠APA′（或其邻补角∠APE）”；二是对原问题进行反思：如果m≠，只要将条件中的“正方形ABCD”改为“满足=2|m|的矩形ABCD”，仍然有“A′B与函数y=的图像的交点P必在CD边上”.在例2中，通过分析试题条件中相关元素的关系，并对条件一般化后发现：“BC平分∠MBN”的条件为“k=-2am”，而原题则是在“当a=-1，m=-时，k=-2”这种特殊情况下的结论.这就揭示了问题的本质.

该试题是针对初中数学内容和学生认知能力，将一般性结论特殊化而命制的.教师要在解题中追根溯源，揭示问题的本质，并反过来回到原问题，将一般性结论在具体的、特殊的问题中加以验证.只有这样，教师才能居高临下俯瞰数学知识与数学问题，在解题教学中游刃有余、收放自如.

2.关联变式求发展

有人说，“基础知识贵在求联，基本技能贵在求变，基本思想贵在求通”［1］，在笔者看来，教学的“求联、求变、求通”与“关联变式求发展”有异曲同工之妙.

（1）“联”：联想、联系.

数学解题中要经常思考：一是问题解法与哪些方法、知识、策略相关联；二是问题与哪些问题本质是相同的，与哪些问题的形式相近但本质不同，对解题有何启示.如例1与例2都是函数与图像问题，均涉及角平分线的证明，证明方法都是通过构造直角三角形利用锐角的正切来解决，这就是知识与方法的联系，这也是处理类似问题的策略之一.解决问题的具体方法既有联系也有区别，联系是：都可以通过代数运算方法进行推理，区别是：例2利用一元二次方程根与系数关系解决更快捷、简洁.

为什么例2的解法联想到与一元二次方程根与系数的关系？一方面，是受k=a（x1+x2）这个特定的代数结构与形式启发；另一方面，点M、N是一次函数图像与二次函数图像的交点的横坐标的实质为根据得到的一元二次方程的两根.这就是联系与联想的作用.另外，这种解题经验具有普适性，遇到可能出现二次方程的问题，可尝试这种思路.如解决下列问题：

例3 如图7，如果一次函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=的图像交于P1、P2两点，求证：AP1=BP2.

图7

结论的证明方法论较多，在参考文献［2］中有具体阐述，有些方法过程烦琐，计算量大.这里考虑“化斜为直”，分别过点P1、P2作两坐标轴的垂线（如图3），垂足分别为E、M、N、F，要证AP1=BP2，只要证明△AEP1≌△P2FB，即证EA=FP2.依次设点A、P1、P2的横坐标为xA、x1、x2，证EA=FP2即证xA-x1=x2，也即x1+x2=xA.因为xA=-，即证x1+x2=-.该等式结构与一元二次方程根与系数关系相同，故向此方向联想：x1、x2恰为方程ax+b=即ax2+bx-k=0的两根，结论显然成立.

例2与例3从形式上看大相径庭，但问题本质一样，其方法也相互关联.

（2）“变”：变化、变式.

所谓“变化、变式”，旨在说明两层意思.第一层意思是思路变化.转换角度思考问题，注意研究思路的多样性和解题方法的变化，通过一题多解形成发散思维能力.第二层意思是问题变式.比如，对问题作“形异质同”或“形似质异”的变式与比较，形成举一反三、举三反一和把握问题实质的能力.

例2中两锐角正切值相等，用一般的代数运算的方法证明后，尝试用一元二次方程根与系数关系证明；例3中可以用纯几何方法，也可用代数方法，这就是一题多解式的思路变化；例1与例2的问题母体一个是反比例函数，一个是二次函数，但都是将“证明角相等”这样形的问题转化为代数推理问题，例2与例3两个形式、结构不同的问题都可以转化为方程根与系数的关系解决，可谓“形异质同”；而例1与例3看上去形式相同，但解法是两种完全不同的方向，此乃“形似质异”.此外，问题本身还可以进行变式与迁移、嫁接与组合.如：

例2的（2）可以作如下变式：

①如图2，若M、N分别位于直线BC的两侧，且BC平分∠MBN，一次函数y=kx+n的图像经过点M、N，求k的值；

②如图8，若P为二次函数y=-x2+2在对称轴左侧图像上的一点，过点P作PQ∥x轴，直线y=-2x+n与二次函数y=-x2+2的图像的交点M、N分别位于直线PQ两侧，且PQ平分∠MPN，求点P的坐标.

例3中“AP1=BP2”的结论完全可以“嫁接”到例1中.如图4，设AP交坐标轴于点T、S，求证：AT=PS.

（3）“通”：通联、通达.

“通联、通达”指向两个方面.一是问题关系、解题思路通联，相关问题及思路之间联系、联结，形成知识、方法的网络.透过3个例题的解决发现：它们之间有着千丝万缕的联系，将相关数学知识织成网络，构成一个整体.如例3中，从数学思想维度上看，在问题解决的过程中，集化归、数形结合、方程、辅元、整体、变中不变、特殊到一般等数学思想方法于一身.二是问题解决与问题形式通达，通过横向拓展、纵向延伸，以通往远方，达到新高.问题解决后，可以尝试对问题横向拓展、纵向延伸.如在例2中，我们已经知道，只要满足“BC平分∠MBN”，那么k、m、a之间就满足关系“k=-2am”.事实上，对抛物线y=ax2+c，还可以进一步延伸：去掉条件“c＞0”，并将条件“a＜0”弱化为“a≠0”，其他条件不变，如图8，若P为二次函数y=ax2+c在对称轴左侧图像上的一点，其横坐标为m，过点P（m，s）作PQ∥x轴，直线y=kx+n与二次函数y=ax2+c的图像的交点M、N分别位于直线PQ两侧，且PQ平分∠MBN，此时发现：无论a、k的值如何变化，m的值保持不变；或者s是a的一次函数（读者不妨自行证明）

当然，这种思考的结果有些超出了初中数学的范畴，并不一定要求学生掌握.这里顺便说句题外话.参考文献［3］提出了命题中对韦达定理的隐性考查的问题，认为“新授课阶段不宜对韦达定理进行弱化”，甚至觉得“初三新授课期间，没有哪个教师真的把韦达定理弱化为简单介绍”，对此笔者不敢苟同.尽管韦达定理是一元二次方程知识系统不可或缺的组成部分，在高中也有着非常重要的应用，一些地区对韦达定理进行隐性考查，但这不能成为人为拔高教学要求的理由.《义务教育数学课程标准（2011年版）》［4］将“一元二次方程根与系数关系”作为选学和了解内容，仅仅要求“了解一元二次方程的根与系数的关系”，甚至通篇连“韦达定理”四个字都未提及，可见课程标准制定者的审慎程度.笔者认为：课程标准是教学的“根本大法”，教师的教学决不能有违“法”行为，这是所有初中数学教师和中考命题者应该守住的底线.

然而，作为数学教师，有必要对数学试题、数学问题做深入的研究、思考，甚至是纵横关联、上下叠合，做到心中有数、胸有成竹.因此，数学解题中“追根溯源揭本质，关联变式求发展”式的思考应该是数学教师必备的解题品质，更应该成为数学教师不可或缺的解题习惯.

图8