过程性分析在压轴题教学中的尝试

☉江苏省海门市东洲国际学校 陈宏亮

笔者认为，学习数学的过程就是研究模型进而使用模型解决问题的过程.简单举例：一元一次方程一章中，我们从概念、解法、应用多个角度进行学习，最后将其落实到解题中.我们将不同模型对应于不同题型，相应地解决问题.在学习时，需要对模型进行归纳、消化，此时，思维具有形成的过程；在解题时需要在记忆中提取有效模型进而应用模型，此时，思维具有提取的过程.因此思维的过程性在数学学习中至关重要.在初三数学学习中，学生接触的压轴题越来越多，很多学生对于压轴题浅尝辄止，又或畏难止步.原因在于压轴题是思维的制高点，题中含有的思维变化太多，立刻完成压轴题的破题，难度很大.每位教师对于压轴题的破题技巧各有千秋.就压轴题类型而言，笔者认为，一部分题中隐含常用模型，可运用模型思想破题［1］；一部分有多个思维起点，则可选择不同的思维起点破题［2］.但思维的起点只有一个时，如何破题？

图1

原题展示：如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，-2），点P是直线BC下方抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式.

（2）过点P分别作平行于x轴、y轴的直线，分别交直线BC于点E、F.

①求线段PF的最大值；

②将△EPF沿直线BC翻折得到△EP1F，若P1恰好落在坐标轴上，直接写出P点的坐标.

原题分析：此题是笔者任教学校初三年级检测卷中的压轴题，班级得分率只有35%左右.最大的失分点在于第二小题的第二小问，笔者发现本题的思维起点只有将△EPF沿直线BC翻折得△EP1F，整理信息，即为点P、点P1关于直线BC对称.在实际课堂教学中，笔者尝试逐渐进行“思维进化”进而破解压轴题.

思路1简析：点P、P1关于直线BC对称，则直线BC垂直平分线段PP1.设点P的坐标，求关于直线BC的对称点P1的坐标，由点P1的坐标特征破题.

思路2简析：点P、P1关于直线BC对称，则直线BC垂直平分线段PP1.先设直线PP1的解析式，通过P1的坐标表示点P的坐标，然后代入二次函数解析式，求出点P1的坐标，进而求出直线PP1的解析式，通过函数图像相交求点P的坐标破题.

图2

思路3简析：点P、P1关于直线BC对称，则直线BC垂直平分线段PP1.先设点P的坐标，求出直线PP1的解析式，然后求出点P1的坐标，再通过中点坐标公式求得线段PP1的中点，代入直线BC的解析式破题.

分析：其实从本质而言，三种解题方法是一样的，就是由P（不定）、P1（不定）、H（不定）、直线BC的解析式（定）、二次函数的解析式（定），进行不同的优先组合而已.这三种方法都需要一定的参数运算能力.在实际教学中，只针对方法3进行了分析.笔者进而思考如何对思维进行进化.

思路简析4：点P为抛物线上一动点，则主动点P的运动轨迹为抛物线，关于直线BC的对称点P1为从动点，则点P1的轨迹也为抛物线，两者应该关于直线BC成轴对称，但P1的轨迹形成的抛物线无法求得，因此反其道而行之，尝试把坐标轴关于BC成轴对称，那么点P就应该为新坐标轴理解了以后，这道题就相对简单了.由△OBC与△CMB关于BC成轴对称分析，只需求点M的坐标即可，点O为定点、BC为定直线，则点M的求法较多，笔者用了以下两种方法.

方法4：设CN=a，MN=b.因为CM=OC=2，所以可得a2+b2=4；△ONM △BOC，可得a+3=2b.解方程组即可求得点M的坐标.再分别求直线BM、CM的解析式，与二次函数联立就可求得点P.

方法5：在△BOC中，OB=4，OC=2，求得tan∠ABC=，求得直线BM的解析式，与二交点即为点P.另一解通过求直线CM的解析式与抛物线相交即可.

思路5简析：既然想到了翻折，那不妨把△EPF沿BC翻折，使得点P1就在y轴上，针对∠AP1F为直角构造K型求得：PE=8m-2m2；PF=4m-m2.

图3

方法6：如图4，△FHP1△P1GE，且相似比为1∶2.设HF=a，则求得GP1=2a，GE=2m，则可列方程：2a+m=8m-2m2；a+4m-m2=2m.另一解同理可求.此时思路清晰易懂.

图4

教学反思：在实际教学时，笔者选择了方法3、方法4、方法6进行教学，进而总结压轴题中求点的坐标的常用策略.（1）设点的坐标，通过题意分析，列方程.（2）分析题意，求过要求点的函数解析式，通过方程组解决.笔者认为在压轴题教学时，从一道压轴题出发，归类一类问题的解决策略，进而选用恰当的思维起点分析，是压轴题教学的真正目的，也有利于帮助学生建立恰当的思维路径.思维具有过程性的特征决定了思维的动态性，即问题的思维过程包含知识搜索及结论推理的过程.在知识搜索的过程中，结合结论推理得出相关结论，利用这些结论探索破题点的分析方式即为过程性分析.在上例中发现问题实质是点P、点P1关于直线BC对称，可利用这一结论破题.然而进一步分析，直线BC垂直平分线段PP1，则利用垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等，也可利用这一结论列方程破题.再进一步分析，还可以构造以C为圆心、OC为半径的圆.过程性分析初期会发现知识点运用简单，但是可能运算较复杂，但是随着思维逐步“进化”，思路越来越宽，解法越来越活.因此，过程性分析的前提是知识需要系统化.

感悟1：学习的过程往往是经验性知识的累积过程，而解决问题则是提取经验性知识并以此破题的过程.在压轴题处理时，往往在限定的时间内无法立刻破题，那就立刻需要在给定的前提条件下推理出所有可能性结果.进而转换角度，进一步思考求出所有可能性结果或者对其中一个结果进一步思考得出所有可能性结果.这个过程就需要知识完备.例如，碰到已知中出现垂直条件，那垂直的处理策略必须完备：勾股定理、三角函数、相似、k1k2=-1、圆等，如果选择了三角函数处理，那又涉及三角函数的思维下枝.

感悟2：过程分析的结果肯定是凌乱的，因此在信息不完全的情况下，出现前提和结论不一致时，就需要对原来得出的结论进行调整或修正，直到知识结构达到一致性，此时问题可解.以上题为例，利用垂直平分线思维结果得出的破题方法思维含量较少，计算较复杂.那就转换角度，思考得点P由函数图像相交得到，二次函数一定，只需求得过点P的另一个函数的解析式即可.那就需要翻折直角坐标系，此时翻折直角坐标系就是翻折△BOC，即可求得点O的对应点M的坐标.继续转换角度，直角怎么用？构造K型相似是其中一个途径.继续往下分析，最终知识结构一致，那结果就创意无限了.

感悟3：过程性分析也有一个缺点，就是思维进程较长，结果数量会无限扩大.知识内容越完备，思维活跃度也就越大，容易造成脱离主题的结果，学生在操作的时候无法准确把握，会造成思维混乱的负面影响，这方面就需要教师进行梳理、引导.

所以在知识内容的完备性为推理前提下，不断调整或修正，逐步形成过程性的分析结果，直至知识结构一致，进而实现压轴题破题，也是处理压轴题的技巧之一.