双负超颖材料中的声学界面波

张 峰，刘丰铭

(1.湖北工业大学理学院，武汉 430068; 2.中国地质大学(武汉)数理学院，武汉 430074)

1 引 言

过去的十年里，经典波在超颖材料中的传播已经吸引了许多关注。声学超颖材料作为一类新型人工复合材料，凭借其局域共振结构可以使等效质量密度和体模量同时为负[1-5]。Ambati等[6]指出声学超颖材料中可以存在由负的材料参数引起的界面共振模式，并且他们还给出了这界面共振模式存在的必要条件。然而，他们仅仅提出一些虚拟的体系而不是现实可行的体系来研究这个问题。Park等[7]实验展示了具有负等效质量密度的声学超颖材料平板可以被用来实现亚波长成像。但是在他们的工作中，只有等效质量密度是负的，因此只有倏逝波参与了超透镜的成像过程，从而使得声学超颖材料平板的厚度相比于背景材料中的声波长必须足够的小[8]。

在本文中，提出了一个具有低频共振的真实的声子晶体体系，该体系可以被视为声学超颖材料并可以使用等效介质理论[2]来描述。在某些频率范围，归功于散射体中的共振，该声学超颖材料的等效质量密度和体模量可以同时为负。通过使用超胞方法，发现在双负等效材料参数的频率范内出现的这些界面模式存在于非完全禁带中，因而可以被用来加强倏逝波的透射从而实现亚波长成像。同时所提出的双负等效参数的超颖材料在实现亚波长成像时倏逝波和传播波都参与其中，这将使得超颖材料平板的厚度没有限制。

2 构成超颖材料的声子晶体的带结构和相应的等效材料参数

本文中考虑的声学超颖材料是由橡胶圆柱按正方晶格排列放置于水介质中构成。晶格常数用d来表示，橡胶圆柱的半径设为R=0.27d。橡胶的密度[9]为ρ=1.3×103kg/m3，水的密度为ρ0=1.0×103kg/m3。橡胶的拉梅常数为λ=1.225×108N/m2和μ=5.3248×106N/m2而水拉梅常数为λ0=κ0=2.22×109N/m2。

图1 研究界面模式使用的超胞结构示意图Fig.1 Supercell for calculations of interface modes

这里我们将使用超胞方法结合多重散射理论来研究界面模式的色散关系和本征场。超胞方法的主要思想是假定一个由晶体层和水层交替组成的辅助无限周期超结构，然后应用Bloch定理，将无限周期结构的问题转化到单一周期进行求解。图1给出了辅助无限周期超结构的示意图。超胞由虚线标出，其长度为L=24d，内部包含了16根圆柱。这是一个可以用来精确地计算界面模式的色散曲线的合适样品，因为水层和晶体层必须足够厚以避免在任何两个相邻的晶体-水界面处的界面模式之间的耦合。在这样的极限下，超结构中的表面模式的色散曲线将会收敛到半无限晶体的表面模式的色散曲线。

图2 (a)二维声学超颖材料的体模带结构；(b)由等效介质理论给出的二维声学超颖材料的等效质量密度ρeff(虚线)和等效体模量κeff(实线)；所有等效参数已经用水的声学参数进行归一；ν0代表水中的声速Fig.2 (a)Bulk band structure of the 2D acoustic metamaterials；(b)the effective mass density ρeff (dashed line) and bulk modulus κeff (solid line) of the acoustic metamaterials extracted according to effective medium theory；all the effective parameters have been normalized to the acoustic parameters of water；the quantity ν0 is the velocity of water

图2(a)给出的是二维声学超颖材料的体模带结构。因为橡胶的波速要低于水的波速，位移场主要局域于橡胶中，橡胶圆柱中存在着显著的单极和偶极共振。因此等效质量密度和等效体模量可以为负[2]。等效质量密度ρeff和等效体模量κeff可以使用下面的等效介质理论方程而得到[10]:

(1)

(2)

3 界面波的色散曲线

图3 带结构的放大图中给出的界面模式的色散曲线(点线)；界面模式出现在非完全禁带中且该频率范围内体系的等效材料参数为双负值；虚线表示的是水基体的色散线；灰色点区域表示的是体模的带结构在Г-Χ方向的投影；ky是沿着晶体和水交界面的波矢量；底部图给出的是此界面模式在超胞中的压力场分布和抽出的中轴线纵界面的压力场线分布Fig.3 Interface mode dispersion curve (dotted line) in an enlarged view of the band structure；the interface mode occurs in an incomplete band-gap within the double-negative frequency range；dashed line is the dispersion line of water host；grey point region is the projected bulk bands on Г-Χ the direction; ky is the wave vector along the crystal-water interface； the bottom panel shows the pressure field distribution of the interface mode in a supercell and the extractive line profile of the pressure field at the middle axis

图3为界面模式的色散曲线以及投影在Г-Χ方向的体模带和水基体的色散线。可以看到这个界面模式出现在非完全禁带中，因而它传播常数的最大值受到两条体模带交叉的限制。其次，在这个界面模式存在的很窄频率范围内有ρeff,κeff<0,|ρeff|<ρ0以及κeff>ρeffκ0/ρ0，这与文献[6]的结论一致的。最后，可以看到在完全禁带的频率范围内没有界面态存在，这是因为在这个频率范围内等效质量密度为正值。图3中的底部图为此界面模式在超胞中的压力场分布。可以看到压力场主要限制在最外层的2个晶体原胞中，大部分的声能量都集中在橡胶圆柱中。

4 亚波长成像

在超声装置的设计中界面声波可以有着很多重要的应用。通过由负的等效材料参数引起的界面模式来实现亚波长成像。应用时域有限差分方法(FDTD)，在图4a中绘制平板透镜成像的压力场分布。该平板透镜纵向有5个晶体周期厚，横向有50个晶体周期宽，整个数值模拟区域四周有完美吸收边界包围以此来模拟无限自由空间。图中工作频率设为ω=0.308(2πν0/d)，处于界面模式的频率范围内。在图4(a)中可以看到一个像出现在平板透镜的上半部。尽管传播常数的最大值受到体模带束缚而使得被增强的倏逝波的范围受到限制，但像的横向尺寸小于衍射极限。此外，为了讨论材料耗散的影响，在图4(b)中给出了材料在有耗散和没有耗散时像在成像平面的横向场分布。可以看到材料耗散虽然损害了成像质量，但是亚波长成像仍然可以实现。

图4 (a)平板透镜成像的压力场分布，工作频率设为ω=0.308(2πν0/d)；一个点源位于平板透镜的底部；虚线表示平板透镜的边界；(b)平板透镜在考虑材料耗散(虚线)和不考虑耗散(实线)时像在成像平面的横向场分布对比Fig.4 (a)The numerically simulated pressure field distributions of imaging by a flat five-layer-thick lens for ω=0.308(2πν0/d)； a point source is located at the bottom side of the flat lens；dashed lines indicate the boundary of the flat lens；(b)transverse field distribution at the image plane for two cases: imaging without dissipation (solid line) and imaging with dissipation (dashed line)

5 结 论

利用超胞方法研究了双负声学超颖材料中的界面声学模式，声学超颖材料由正方排列的橡胶圆柱放置于水中构成，界面模式存在于双负频率范围里的非完全禁带中。界面模式的本征压力场分布明显的显示出界面波的基本特征：在垂直于交界面的方向上向两边衰减。通过使用时域有限差分方法(FDTD)，这种界面模式可以被用来增强倏逝波的透射从而实现亚波长成像。文中研究的界面模式可以在超声装置的设计中有着更多的应用。