钢筋混凝土梁非均匀收缩徐变自应力分析

王永宝，廖 平，贾 毅，赵人达，吴德宝

(1.太原理工大学建筑与土木工程学院，山西太原 030024；2.西南交通大学土木工程学院，四川成都 610031)

目前已有较多描述温度作用下的混凝土收缩徐变效应的预测模型，如BP-KX[1-3]，CEB90[4]和CEB10模型[5]等，这些模型的提出对于准确预测温度作用下的混凝土收缩徐变具有重要意义。相关学者在这些模型的基础上，进一步推导了钢筋混凝土梁的长期变形计算公式，但分析时均假定沿整个梁截面高度方向上的收缩徐变呈均匀分布[6]。但实际上，对处于自然环境条件下的梁结构而言，受太阳辐射和环境影响，整个梁沿高度方向的温度和相对湿度呈现不均匀分布状态[7-11]，导致收缩徐变沿梁高度方向上也呈现出不均匀分布。这种不均匀分布效应将使结构产生非均匀应力和变形，严重影响结构安全性。

对于非均匀收缩引起的截面应力和变形效应，较多学者进行了研究，如黄海东[7]探讨了在密封和干燥条件下的上下翼缘板不同厚度情况下的工字形截面梁的长期变形，结果表明受非均匀相对湿度引起的收缩效应影响，梁截面发生弯曲；张运涛等[8]分析了苏通大桥连续刚构桥受顶底板厚度不均匀产生的非均匀收缩导致的长期变形问题，重点探讨了非均匀收缩自应力效应，未考虑温度对混凝土收缩的影响；向中富等[9]分析了非均匀收缩对悬臂梁的长期变形影响，未对非均匀徐变效应自应力进行分析；项贻强等[10]用有限元方法分析了非均匀收缩徐变下的预应力混凝土连续梁桥的长期变形，结果表明，考虑非均匀收缩徐变情况下箱梁内部的温度应力呈现出不均匀分布状态，但未从公式角度进行分析；针对混凝土非均匀收缩引起的截面内力重分布特征，黄海东等[11]采用有限元方法进行了分析，但并未给出解析式；基于大量工程实践，汪剑[12]和Bazant等[13]均认为大跨度预应力混凝土箱梁顶底板的不均匀收缩徐变是引起桥梁结构产生较大竖向变形的主要原因之一。以上分析表明，既有研究大多针对非均匀收缩自应力问题，对非均匀徐变自应力的研究较为欠缺，且多数研究只针对相对湿度或构件理论厚度影响下的收缩徐变问题，未探讨温度影响下的收缩徐变，大多从有限元角度对非均匀收缩徐变应力进行分析，未给出相应公式。

本文在既有非均匀温度下的自应力计算公式基础上，以温度和相对湿度影响下的混凝土收缩徐变预测模型为基本模型，基于按照龄期调整的有效模量法，推导了非均匀收缩徐变效用下的钢筋混凝土梁自应力计算公式；以钢筋混凝土简支梁为例，采用有限元方法对本文算法进行了验证；并探讨了不同温度梯度和相对湿度分布对收缩徐变自应力的影响。

1 收缩徐变自应力公式推导

1.1 基本假定

(1)发生收缩徐变效应前后，截面均满足平截面假定[14]。

(2)仅沿梁高度方向有非均匀温度和相对湿度梯度分布，沿梁宽度方向的温度和相对湿度梯度分布忽略不计；温度和相对湿度沿梁长度方向分布均匀，且不随时间变化而变化。

(3)沿梁高度方向的温度梯度服从负指数函数；沿梁高度方向的相对湿度服从非线性变化。

(4)不考虑混凝土的弹性模量和强度随时间的变化；在荷载较小时，受拉区混凝土的徐变与受压区相同。

(5)混凝土材料受力处于线弹性阶段。

1.2 非均匀收缩自应力

受温度和相对湿度影响，沿梁高度方向的混凝土收缩应变εsh(t,t0,y) 呈非均匀变化趋势，在缺乏相关参数时，可按BP-KX[3]，CEB90[4]，CEB10[5]或汪剑模型[12]计算。图1给出了收缩徐变变形分布示意图，图中εsh(t,t0,y)和εc(t,t0,y)分别为非均匀收缩和徐变应变。由图1可以看出，在非均匀收缩徐变效应作用下，截面高度方向将产生非均匀变形，而截面实际变形为平面，此种变形差将会使截面内产生较大的不均匀应力。

图1 截面及非均匀收缩徐变变形示意

在任意时刻t，假定截面应变和截面曲率分别为ε0和Ψ，则由非均匀收缩引起的自应力为

σcsh(t,t0,y)=Ec[εsh(t,t0,y)-(ε0+Ψy)]

( 1 )

式中：εsh(t,t0,y)为从t0时开始加载到t时距离截面底面y处的混凝土收缩应变；Ec为混凝土弹性模量；y为距离截面底面的距离。

沿梁高度方向划分为n层，截面上的力平衡条件和弯矩平衡条件分别为

( 2 )

( 3 )

受拉区和受压区钢筋应力分别为

( 4 )

式中：yc为截面中性轴距截面底面的高度；Ai为沿梁高度方向上各层的面积；yi为第i层距离底面的距离；σcsh(yi)为第i层的混凝土收缩或徐变自应力；Es为钢筋弹性模量；As，As′分别为受拉区和受压区钢筋截面面积；ys，ys′分别为受拉区和受压区钢筋截面中心距截面底面的距离；σs，σs′分别为受拉区和受压区钢筋应力。

钢筋混凝土截面中性轴可采用换算截面法计算。假定Ai为第i层换算截面面积，则总面积Al为

( 5 )

截面中性轴yc为

( 6 )

将式( 1 )、式( 4 )代入式( 2 )、式( 3 )，并考虑由于截面整体收缩引起受拉区和受压区钢筋产生压应力，即式( 4 )中钢筋应力可直接取负值，可得以ε0和Ψ为变量的方程组

( 7 )

( 8 )

( 9 )

(10)

(11)

(12)

(13)

求解式( 7 )即可得到截面上的应变ε0和曲率Ψ，将其带入式( 1 )即可求得非均匀收缩自应力。

1.3 非均匀徐变自应力

由非均匀徐变引起的自应力与收缩的计算方法类似，但由于徐变与应力相关，推导过程较为复杂。假定εc(t,t0,y)为距离截面底面高度为y的混凝土徐变应变，则混凝土沿梁高度方向上的徐变自应力σc(t,t0,y)可表示为

σc(t,t0,y)=Ec[εc(t,t0,y)-(ε0+Ψy)]

(14)

式中：εc(t,t0,y)为从t0时开始加载到t时距离截面底面y处的混凝土徐变应变；ε0和Ψ为由非均匀徐变引起的截面轴向应变和曲率。

采用按照龄期调整的有效模量法[15]，混凝土的徐变应变与截面上总应力σcto(t,t0,y)的关系为

(15)

(16)

式中：σc(t0,y)为沿梁高度方向上的初始弹性应力；φ(t,t0,y)为从t0开始加载到t时混凝土的徐变系数；χ为老化系数[16]；σcto(t,t0,y)为t时刻沿梁高度方向上的总应力，包括弹性应力σel(y)、收缩自应力σsh(t,t0,y)、徐变自应力σc(t,t0,y)和温度自应力σT(y)，即

σcto(t,t0,y)=σel(y)+σc(t,t0,y)+

σsh(t,t0,y)+σT(y)

(17)

梁的弹性应力σel(y)=σc(t0,y)，根据式(14)～式(17)可得混凝土徐变自应力与曲率、轴向应变、徐变系数和老化系数的关系

(18)

同理，将式(18)中的σc(t,t0,y)代替式( 2 )、式( 3 )中的σcsh，并结合式( 4 )，即可得到式( 7 )中的A,B,C,D,E1，E2为

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

与收缩过程不同，受弯矩作用影响，受拉区钢筋将可能产生拉应力，不能保证受拉区和受压区混凝土产生压应力，因此式( 4 )中的应力均取正值。求解该方程组式( 7 )，可得由非均匀徐变引起的应变ε0和曲率Ψ，将其带入徐变自应力式(18)即可求得混凝土的徐变自应力。

2 算例分析

2.1 实例概况

以刘小洁[17]的普通混凝土简支梁试件为算例，试验采用C42.5水泥，混凝土28 d弹性模量和轴心抗压强度分别为3.53×104MPa和53 MPa。钢材的屈服强度和弹性模量分别为380 MPa和2.11×105MPa，采用荷载为1.65 kN的两点加载，加载龄期为40 d。

受拉和受压区钢筋面积分别取As=628 mm2，As′=226 mm2；梁总长4.15 m，计算跨度4.05 m，梁高度180 mm，宽度120 mm；截面尺寸及加载方式如图2所示。混凝土和钢材的容重分别取2 400 kg/m3和7 800 kg/m3。考虑梁自重和外界荷载计算得到跨中截面剪力和轴力均为0，弯矩为3.401 kN·m。中性轴距离底面距离yc=84 mm。收缩徐变分析时n=19层。

图2 钢筋混凝土梁截面图(单位：mm)

2.2 温度梯度分布模式

处于自然环境条件下的梁结构在日照等复杂因素作用下沿梁高度方向上的温度呈不均匀分布状态，假定沿梁高度方向上的最大温度梯度呈现负指数分布模式，即

T(y)=T0e-a(h-y)

(25)

式中：T0为最大温差，℃；a为系数，可取5 m-1。

对于普通混凝土梁而言，虽然截面温度并不一直处于最不利温度梯度作用下，但整体而言，沿梁高度方向上的温差仍然存在。假定沿梁高度方向上的平均温度服从负指数函数，计算时基准温度取20 ℃，即沿梁高度方向上的温度值为基准温度加竖向温度梯度值，温度梯度示意图如图3(a)所示。

图3 沿梁高度方向上的温度和相对湿度分布

2.3 相对湿度分布模式

受相对湿度的交换和混凝土水化等多种复杂因素影响，箱梁内部相对湿度沿梁高度方向上也呈现出不均匀分布特征，有限元程序[7,18]和试验结果[19]均证明沿梁高度和板厚度方向的相对湿度呈现出中间大，两端小的变化趋势。

相对湿度较温度而言，扩散速度较慢，但其对混凝土收缩徐变效应的影响大于温度效应。本文假定混凝土梁沿梁高度方向的相对湿度分布服从Wong给出的相对湿度随距离底面高度y及时间t变化的计算公式[19]，即

(26)

式中：RH为相对湿度；λ1，λ2，λ3为常数，相关取值可参考文献[19]。

如图3(b)所示，由于目前收缩徐变预测模型[1-5,12]仅适用于恒定的相对湿度情况，本文计算时，沿梁高度方向上各个点取平均相对湿度。

式(26)是基于单面干燥试验得出的结果，对于矩形截面梁，可认为是两个单面干燥的叠加，即相对湿度在梁中间高度位置两侧呈对称分布。

2.4 温度和相对湿度影响下收缩徐变预测模型

对处于自然环境条件下的混凝土结构而言，温度和相对湿度是影响其收缩徐变的主要因素之一。目前各国学者基于大量混凝土的收缩徐变试验，得到了简单的温度和相对湿度下的混凝土收缩徐变预测模型，如CEB10[5]和CEB90模型[4]。不同的收缩徐变预测模型由于对温度的考虑因素不同，计算结果也不尽相同，不同预测模型之间的差异本文不做讨论，仅以CEB10模型为算例进行分析，老化系数按式(16)计算。

图4给出了沿梁高度方向上的非均匀收缩应变和徐变系数分布图。由图4可知，受不均匀温度和相对湿度影响，沿梁高度方向上的不均匀收缩和徐变随时间变化逐渐增加，且顶底面收缩应变和徐变系数大于中间位置，主要原因为梁中间位置相对湿度较大，后期收缩徐变较顶底面小。另外，收缩应变和徐变系数随时间的变化规律呈现较大的不同，收缩应变随时间的发展速度明显大于徐变系数，随着时间变化，沿梁高度方向上的不均匀效应更加明显。若截面上产生持续的非均匀温度和相对湿度效应，将引起结构产生较大的自应力效应。

图4 沿梁高度方向上的非均匀收缩应变及徐变系数

2.5 收缩自应力

采用式( 7 )～式(13)计算的混凝土非均匀收缩效应引起的截面轴向应变和曲率随时间的变化曲线如图5所示。由图5可知，受沿梁高度方向上的非均匀收缩效应影响，截面的轴向压缩应变随时间变化逐渐增加，在收缩开始阶段增加较快，后期增加较慢。截面的曲率随时间变化往负方向逐渐增加，增加幅度较轴向应变大。计算表明沿梁高度方向上的非均匀收缩将引起截面产生较大弯曲变形，这可能是目前传统的收缩徐变理论计算的桥梁长期变形不能较好地反映实际变形的原因之一[13]。

图5 非均匀收缩引起的应变和曲率

图6 非均匀收缩引起的沿梁高度方向上应力

将式( 7 )计算得到的ε0和Ψ带入式( 1 )可得由非均匀收缩效应引起的跨中截面沿着梁高度方向的变化自应力，如图6所示。由图6可知，与非均匀温度自应力相同，受非均匀收缩效应影响，沿梁高度方向将产生非均匀收缩应力，主要表现在梁顶、底位置出现拉应力，中间位置出现压应力，且此效应随时间的变化逐渐增加，呈现出不可恢复变化趋势，这一点与温度应力的周期性变化特征有较大不同。如果沿截面高度长期呈现出顶板温度较高的情况，由非均匀收缩引起的拉应力可达7.4 MPa，中间压应力达1.5 MPa。文献[11]研究表明箱梁截面的分均匀收缩将产生2.7 MPa的压应力和1.0 MPa的拉应力，相应的非均匀收缩效应将影响结构安全，本文采用的温度和相对湿度梯度分布较文献[11]的研究结果大，因此计算的非均匀收缩应力也较大。

2.6 徐变自应力

图7给出了求解式( 7 )、式(19)～式(24)得到的由混凝土的非均匀徐变自应力引起的截面轴向应变和截面曲率随时间的变化情况。由图7可知，随时间增加，截面曲率往正方向逐渐增加，轴向压缩应变逐渐增大。与非均匀收缩的不同之处在于徐变引起的截面曲率为正值，且随着时间变化逐渐增加，主要原因是徐变效应是在弹性应变基础上产生的。由于徐变效应与混凝土的收缩自应力相关，求解非均匀徐变自应力时，需提前计算收缩自应力。

图7 非均匀徐变引起的应变和曲率

图8 徐变自应力

将式( 7 )计算得到的ε0和Ψ带入式(18)可得由非均匀徐变效应引起的跨中截面沿梁高度方向变化的自应力，如图8所示。由图8可知，受非均匀徐变效应影响，截面应力随时间变化逐渐减小，顶面在加载10 d的应力为2.44 MPa，加载400 d后的应力为2.11 MPa，非均匀徐变效应将减缓截面上的应力分布。

3 有限元方法验证

3.1 有限元建模

已有研究表明混凝土的收缩和徐变效应在ANSYS有限元程序中可分别采用等效降温荷载法和自带金属蠕变算法进行分析[14]。有限元模型中，混凝土采用SOLID95单元建模，该单元可同时考虑混凝土收缩徐变效应，钢筋采用LINK8单元，钢筋和混凝土采用分离式方法分别建模。截面高度网格划分层数为19层，宽度方向划分为6层，沿跨度方向网格长度按横截面网格长度的1～2倍均匀划分。为考虑沿梁高度方向上的非均匀收缩徐变效应，需将混凝土梁沿着高度方向划分为不同的材料特性，每一层材料赋予不同的收缩徐变特征。收缩徐变预测模型采用CEB10模型。收缩应变和徐变系数采用Matlab程序计算后直接导入有限元程序。图9为建立的有限元模型。

图9 有限元分析模型

3.2 分析结果对比

式( 7 )仅适用于钢筋混凝土梁在非均匀收缩徐变下的自应力计算，对于超静定结构的收缩徐变次应力需采用有限元方法求解[20]，本文不做讨论。图10(a)给出了有限元分析结果与式( 7 )的计算收缩自应力结果对比。由图可知，在非均匀收缩效应下，有限元计算结果与式( 7 )～式(13)的分析结果吻合较好，有效地证明了本文提出计算公式的正确性。

图10(b)给出了采用有限元方法计算的截面总应力(弹性应力+收缩+徐变自应力)结果与公式计算结果对比情况，由图可知，当考虑混凝土的徐变效应后，式( 7 )得到的应力结果与有限元计算结果变化趋势较一致，仅在截面顶板位置，有限元计算结果略小于公式计算结果，公式结果较有限元结果偏于安全。以上分析均表明本文公式具有较高精度。

图10 有限元结果与公式结果对比

另外，由图10(b)的总应力结果还可以看出，受混凝土非均匀收缩徐变的共同影响，沿截面高度方向上呈现出两端为拉应力、中间为压应力的非线性应力分布，随着时间的增加，这种效应逐渐增加。主要原因为收缩自应力效应大于徐变自应力，整体呈现出收缩自应力分布状态。

4 参数分析

4.1 最大温差T0取值影响

图11给出了式(25)中的最大温差T0分别取4，12和20 ℃时，跨中截面收缩徐变产生的自应力沿梁高度方向上的分布情况。由图可知，由于温度梯度一般在截面顶面发生，因此温度影响下的自应力变化主要表现为顶面的不同，温差越小，顶面的应力越小，而温度梯度对底面和中间位置的应力几乎没有影响。由最大温度梯度影响下的非均匀收缩徐变自应力较小。

图11 不同温度梯度影响下的收缩徐变自应力

4.2 相对湿度分布模式影响

Wong等[19]进行了不同水灰比和外界环境条件下的混凝土试块内相对湿度测试试验，基于试验结果拟合了相对湿度随时间和深度的变化曲线。表1给出了不同试验曲线的λ1，λ2，λ3取值，基于这3组数据，分析不同相对湿度梯度分布模式对非均匀收缩徐变自应力的影响。

表1 λ1，λ2，λ3取值

注：w/c为水灰比；T为梁周围温度；RH为梁周围相对湿度。

图12为采用表1中的相对湿度作为参数时，混凝土梁截面上的非均匀收缩徐变自应力结果分布情况。由图可知，与温度梯度效应相比，截面上的自应力受非均匀相对湿度梯度的影响较大。内外界相对湿度差别越大，顶底面的拉应力越大，拉应力大小将显著影响结构开裂，需引起重视。

图12 不同相对湿度影响下的收缩徐变自应力

5 结论

(1)当考虑沿钢筋混凝土梁高度方向上的不均匀收缩徐变效应时，参照温度自应力方法推导的收缩徐变自应力公式可较为准确地分析沿梁高度方向上的非均匀收缩和徐变自应力。

(2)受沿梁高度方向上的非均匀收缩效应影响，截面轴向压缩应变随着时间逐渐增加，曲率往负方向逐渐增加；非均匀收缩将沿梁高度方向产生较大的收缩自应力，需引起重视。

(3)随着时间增加，由截面上的非均匀徐变效应引起的应变逐渐增加，曲率逐渐减小；与非均匀收缩自应力不同，非均匀徐变自应力随着时间变化对截面应力具有一定的减小作用，但是减小幅度有限。

(4)参数分析结果表明，沿梁高度方向上的温度梯度对收缩徐变自应力的影响明显小于湿度梯度效应，仅对顶部温度梯度差异较大位置的拉应力有影响。因此，通过合理的养护措施，减小混凝土水化期间内外相对湿度差异对于减小截面的非均匀收缩徐变自应力至关重要。

与温度次应力相同，由混凝土的非均匀收缩徐变产生的收缩徐变次应力问题也需要进一步探讨和分析。