面向列车节能控制的时刻表优化

张惠茹，贾利民，王 莉，杨 杰

(1.北京交通大学交通运输学院，北京 100044；2.北京交通大学轨道交通控制与安全国家重点实验室，北京 100044； 3.北京市城市交通信息智能感知与服务工程技术研究中心，北京 100044； 4.城市轨道交通系统安全与运维保障国家工程实验室，广东广州 510330)

在铁路运输总的能源消耗中，列车牵引运行能耗量占据了较大比例，而时刻表是列车牵引运行的依据，与节能控制存在着紧密联系。铁路作为一项重要的基础设施，随着路网规模的进一步扩大以及列车速度的大幅度提升，优化时刻表以提高铁路的节能效率成为铁路节能的关键。近年来，国内外学者开始在节能时刻表设计方面探索研究。文献[1]通过研究单列车在区间惰行工况起始位置的选择，得到优化的列车时刻表。文献[2]提出可以通过优化列车在车站的停站时间以及列车在区间的惰行时间制定节能时刻表以达到节能的目的。文献[3]设计了一种综合的优化模型，给出牵引能耗、净能耗的定量分析，以综合优化地铁列车的时刻表与运行速度。文献[4]针对地铁乘客需求频繁变化的情况，通过调整列车追踪间隔、周期时间和速度曲线，设计节能时刻表。文献[5]考虑列车质量的时空不确定性，提出一种适用于地铁的综合时刻表和速度分布优化模型。文献[6]研究地铁列车运行节能问题，通过优化时刻表和相邻车站间的速度曲线形成综合时刻表。文献[7]研究针对高速铁路列车的节能时刻表，以列车在区间运行时间及停站时间为输入变量，实现了运行效率最高且总能耗最低的目标。在节能时刻表的设计中，城市轨道交通以及高速铁路均有涉及，但现有研究多以降低列车能耗为目的生成节能时刻表，未考虑既有时刻表，因而调整幅度可能过大不适用于实际操作。

本文重点研究列车采用节能运行控制策略达到使列车节能目的的时刻表优化问题，在满足列车的安全追踪间隔等约束的条件下，针对既有时刻表，以列车能耗值和列车时刻表稳定性综合最优为目标，制定面向列车节能控制的时刻表优化模型，针对模型特点设计一种采用迭代寻优的富余时间分配求解算法，实现时刻表的优化过程。

1 问题描述

现有研究表明，列车在相邻两次停车之间的运行包括牵引、惰行和制动3种工况，通过变换上述3种工况可以使列车表现出加速、匀速、惰行以及制动4种运行状态[8]，而列车节能运行的关键在于不同状态转换点位置的确定。

如图1所示，列车运行中均受到运行阻力W的作用，0～S1距离内列车受牵引力F作用加速运行，达到速度Vy；S1～S2距离内列车所受合力为0保持速度Vy匀速运行；S2～S3距离内列车仅受运行阻力W惰行，结束速度Vdb；S3～S距离内列车受制动力B制动。

列车在完成时刻表规定时间T、距离S条件下的运输作业时，在加速、匀速、惰行、制动4种状态的受力情况、运行速度、运行时间以及运行距离是列车节能控制的关键，且已有研究证明，在理想平直道上，匀速状态的速度值Vy，与由惰行状态转变为制动状态的速度值Vdb之间存在一定的数值关系[9]。

图1 列车最优速度距离曲线

2 模型建立

综合考虑列车运行特性、时刻表制定要素以及节能策略，在满足列车安全追踪间隔等约束的条件下，建立面向列车节能控制的时刻表优化模型。

2.1 模型假设

为了简化分析，反映模型的本质问题，本文建立以下假设：(1)车站及侧线抽象为节点，连接节点的弧段表示闭塞区间；(2)将列车抽象为一个仅有质量的质点；(3)列车在相邻两站之间做包含加速、匀速、惰行以及制动的运动；(4)列车在理想的平直道上运行。

2.2 优化模型

为完成列车时刻表的节能优化，以列车时刻表稳定性与线路消耗能量综合最优为优化目标，考虑到两者的单位不统一，进行归一化处理。本文以全部列车在线路上原定到达、发车时间与实际到达、发车时间差值平方和的开方根表征列车时刻表的稳定性，以牵引力对距离做功计算消耗的能量。

目标函数同时考虑时刻表稳定性和能耗最小。

( 1 )

式中：

( 2 )

2.3 约束条件

铁路客运专线的运输组织对于节能时刻表问题起到一定的约束作用，列车受力、运行距离、速度、运行时间以及相邻列车间安全追踪间隔可作为模型的约束。

(1)受力约束

列车在运行过程中，受到F，B，W作用，其中：F，B在4种运行状态的值有所不同，通过kf，kb调整；W为基本阻力。

dv(t)/dt=(kfF-kbB-W)/M

( 3 )

根据列车运行阻力模型——戴维斯方程，列车的基本阻力可以通过列车速度的二次函数表示

W=μ+κv+γv2

( 4 )

式中：μ为基准阻力参数；κ为滚动阻力参数；γ为空气阻力参数。

(2)距离约束

根据线路条件不同，加速、匀速、惰行和制动4种运行状态都有最优节能运行距离且满足总运行里程约束。

( 5 )

(3)速度约束

列车在区间的初始速度和最终速度均为0 km/h，且运行速度不大于限制速度。

( 6 )

(4)时间约束

列车在各个区间的运行时间均大于等于所需的最小运行时间，且小于等于所需的最大运行时间。

( 7 )

(5)追踪间隔约束

保证列车时刻表中相邻列车i和i′之间在优化前后的出发、到达时刻都满足最小的追踪间隔约束，保证安全运行。

( 8 )

式中：

3 模型求解

由庞德里亚金最大原则[10]可知，最小化列车牵引运行能耗则要求最大化哈密尔顿函数H[11]。

H=p1/v×(kfF-kbB-W)+p2v-kfvF

( 9 )

根据函数可证明，当p1与v2的大小关系不同时，kf和kb取下列不同值，哈密尔顿函数可到达最大。

哈密尔顿函数取值最大的条件，即列车在区间能耗最小的运行策略。对于在理想的平直道上运行的列车，本文给出一种利用时刻表规定始末到发时间求解整条线路最优驾驶策略，并生成节能时刻表的方法。

(10)

首先计算线路的最短运行时间，然后与现有时刻表作差，得到相邻车站之间的富余时间。将富余时间按照一定的分配原则分配到各个区间并计算能耗值，富余时间分配时需考虑到相邻列车之间的冲突消解。最后计算得到整条线路的节能时刻表。

3.1 最短时间计算

考虑到在实际运行中列车都能满足只包括加速、最大速度匀速以及制动3种状态的运行，本文定义最短时间包括加速、最大速度匀速、惰行和制动4种运行状态。

(1)加速状态

列车在加速状态受牵引力与运行阻力的作用加速行驶，速度达到Vmax，加速时间Tf、距离Sf以及能耗Ef计算如下。

(11)

(2)匀速状态

列车在匀速状态受力为0，保持Vmax匀速行驶，运行时间Ty、距离Sy以及能耗Ey计算如下。

(12)

(3)惰行状态

列车在惰行状态仅受运行阻力的作用，运行时间Td、距离Sd以及能耗Ed计算如下。

(13)

(4)制动状态

列车在制动状态受运行阻力与制动力的作用减速行驶，最终速度为0，运行时间Tb、距离Sb以及能耗Eb计算如下。

(14)

列车运行总时间为

Tmin=Tf+Ty+Td+Tb

(15)

单列车运行能耗为

E=Ef+Ey

(16)

通过上述计算即可得到列车在线路上的最短运行时间，将求得的最短时间与时刻表规定的运行时间比较得到富余时间。

3.2 富余时间分配

列车时刻表规定的运行时间T与计算所得的最小运行时间Tmin之间的差值定义为富余时间ΔT。在满足相邻列车最小追踪间隔与冲突消解约束的前提下进行分配，考虑到每个区间的线路长度等运行条件不完全相同，将ΔT分配到不同的线路区间所节约的能耗值ΔE也不完全相同。

富余时间分配如图2所示，两条曲线分别是区间1和区间2对应的列车能耗-时间曲线。对区间1而言，最小运行时间T1，在此基础上增加ΔT，节约能量ΔE1。同理，区间2节约能量ΔE2，因为ΔE1<ΔE2，显然将ΔT分配给区间2更加合理，找到能耗值减少最快的区间分配富余时间，可使整条线路的能耗最小。

图2 富余时间分配

考虑到分配的合理性，给定一个整数n，将富余时间分解为更小的单位Δt逐次分配，Δt=ΔT/n。比选所有区间中能耗减少最多的区间，则该区间时间增加一个Δt，进行下一次分配，直到总的富余时间ΔT全部分配完毕。

3.3 算法步骤

本文提出的面向列车节能控制的时刻表优化模型是一个多目标混合整数规划问题，各目标函数在约束条件下较难通过数值计算得到精确的最优解。考虑到实际情况对解的精确度与运算时间的要求，设计一种通过不断迭代并检验解的优越性以获得近似最优解的方法。算法流程如图3所示。

图3 算法流程

步骤1初始化参数

n为整数，m=0，输入原有时刻表时间T。

步骤2计算最小运行时间Tmin

包括加速、最大限速匀速、惰行以及制动。

步骤3计算富余时间

ΔT=T-Tmin，Δt=ΔT/n。

步骤4富余时间分配

比选能耗减少最多的区间逐次分配Δt，直到ΔT分配完毕。列车在最小运行时间的基础上增加富余时间Δt后，找到最优的匀速运行速度，并采取惰行策略以降低能耗。其中最优速度通过不同步长迭代试凑的方式得出。

步骤5输出优化时刻表

通过该算法可求出多目标优化问题近似最优解。

4 算例研究

以京沪高速铁路数据为例，进行分析验证。选取2016年5月18日京沪高速铁路北京开往上海方向2 h的时刻表数据。相关参数由京沪高速铁路调研得到，数值见表1。

表1 相关参数

线路从北京南站至上海虹桥站，全长1 318 km，共包括24个车站。列车运行中受到牵引力、制动力和阻力的作用，运用以速度为变量的函数表示牵引力与阻力，同时考虑牵引动轮回转[12]、牵引力使用的系数以及牵引电机的效率。2 h的时刻表中共包括6列车，分别为G101，G5，G105，G11，G107，G111，且各列车的停站策略不同。使用MATLAB工具，分别研究列车在最短运行时间以及节能条件下的运行情况，并绘制速度-距离曲线。图4与图5中每张大图由上下两幅小图组成，上图为最短运行时间条件，下图为节能条件。

图4 G101在两种条件下的速度-距离曲线

图4为G101在两种条件下，首次停车的区间内，不同运行状态示意图。其中：A1，A2，A3分别为G101在最短运行时间状态下的匀速点、惰行点、制动点；B1，B2，B3分别为G101在节能时刻表条件下的匀速点、惰行点、制动点。

从图4可以看出：在此区间，优化后的匀速点比原时刻表早，也就是说匀速的速度值变小；惰行点、制动点均晚于原时刻表，且优化后的惰行距离长于原惰行距离。

(a)G101

(b)G5

(c)G105

(d)G11

(e)G107

(f)G111图5 6列车在两种条件下的速度-距离曲线

图5为本次实验中6列车的速度-距离曲线。根据图5可知：

(1)节能时刻表有分配距离较大区间更多时间的趋势，本文设计的富余时间分配算法是在最短运行时间的基础上，比选增加相同富余时间能耗值减少最多的区间。距离较大的区间增加富余时间后，匀速运行速度将会下降，并有足够的距离充分惰行，而惰行过程列车牵引力不再做功，惰行距离的增加是降低能耗的关键。所以此算法会把更多的时间分配给距离较大的区间。

(2)本文设计的算法不改变时刻表中规定的列车始发、终到时间以及中间车站的停站时间，是在满足列车安全追踪间隔等约束的条件下，通过调整中间车站的到发时间以实现降低能耗的目的。即列车总的运行时间是一定的，如果距离较大的区间时间分配太多，则距离较小区间的时间将减少，列车速度将增加，以保证在给定时间内完成规定距离的运输任务。

在运行时间变化的44个区间中，12个区间的运行时间共增加2 876 s，32个区间的运行时间共减少2 876 s，平均每个区间的运行调整时间约130 s，见表2。

原始时刻表与节能时刻表对比如图6所示，其中红色线在前，说明列车速度较快，超越原时刻表时间运行，反之则反。对比可得：G5情况比较特殊，在越行G101后最先到达目的地，时间改变最小；在相邻列车追踪间隔较小时，如G101，G105，G11，G107，会采取缩短短区间的运行时间，相对增加长区间运行时间的策略；追踪间隔较大时，如G111，会尽可能采取速度小于原时刻表的策略，从而更大程度节约能耗；此外，从G105，G11，G107优化后时刻表来看，列车的追踪间隔变大，如天津西到枣庄，意味着时刻表的可调性和鲁棒性变强。由图6可知，列车总体调整幅度较小，优化后的时刻表整体的稳定性较强，本文提出的算法具有可操作性。

表2 44个区间运行时间调整统计

图6 原始时刻表与节能时刻表对比

各列车在不同时间条件下的能耗值见表3，其中，列车驱动系统能耗转换效率取η=0.85，即将计算所得的牵引力能耗除以η折算得到运行能耗。M1为原有时刻表最短时间运行能耗；M2为原有时刻表经验值能耗，即目前京沪高速铁路月平均能耗值，此值是京沪线上司机实际驾驶行为的平均值；M3为节能时刻表节能运行能耗，此值是在本文提出的优化模型所得节能时刻表条件下的能耗值。

表3 列车能耗对比

通过表3可知：

(1)列车在节能时刻表条件下的能耗最小。有经验值表明，八编组CRH系列动车组列车运行1 318 km的线路，大约消耗9 885 kW·h的电能，若开行6列车，共消耗59 310 kW·h的电能；考虑在节能时刻表条件下，采取文中设计的节能运行控制策略，6列车共消耗56 914.85 kW·h的电能，可节约能量2 395.15 kW·h，占总能耗的4.04%，节能效果明显。

(2)列车在原有时刻表最短时间条件下的能耗最大，与经验值相比，能耗增加8 874.46 kW·h，与节能时刻表相比，能耗增加11 269.61 kW·h。但是该运行策略适用于线路突发状况时使用，同样具有现实意义。

5 结束语

本文在分析列车运行特性和列车节能控制策略的基础上，结合时刻表的组成要素，针对既有时刻表，以列车能耗值和列车时刻表稳定性综合最优为目标，建立面向列车节能控制的时刻表优化模型，针对模型特点设计最短运行时间计算及富余时间分配的算法。此算法在保证列车时刻表稳定性在一定范围内的前提下，通过调整列车在中间车站的到发时间，增强了时刻表的可调性和鲁棒性，减少了列车在站间运行的能耗，且不会对目前的运营秩序造成巨大调整，方便计划编制人员和调度员的实际操作。以京沪高速铁路实际运行数据为例，验证模型及算法的可行性。结果表明，通过模型优化，共节能2 395.15 kW·h，占总能耗的4.04%，节能效果明显，有待进一步完善并应用于实际的节能时刻表制定中。