机车高圆簧刚度矩阵计算应用分析

李金城，李 芾，杨 阳，丁军君

(西南交通大学机械工程学院，四川成都 610031)

近年来随着列车运行速度的提高，对牵引机车的动力学性能提出了更高的要求。为降低高圆弹簧工作应力，一般使用多组并联高圆簧作为机车的二系悬挂[1-2]，如东风9和东风11型等内燃机车使用8组高圆簧，韶山7型和韶山8型等电力机车使用6组高圆簧[3-4]。除机车外，高圆簧还广泛应用于三大件货车中。高圆簧作为车辆主要悬挂部件之一，其刚度在进行车辆动力学仿真时需着重考虑，相同条件下采用不同刚度矩阵车辆运行性能仿真结果不同，在车辆模型的验证阶段，其刚度矩阵的选择及简化是否合理值得探讨与研究。

一般来说，在进行机车动力学仿真计算时，假设弹簧为一力元，考虑高圆簧的轴向刚度cl、抗剪刚度cs、抗弯刚度cφ及扭转刚度ca，由于弹簧的对称性，即认为此时只考虑了高圆簧刚度矩阵中的对角元素。在有关高圆簧分析计算的文章中，大部分给出的只是高圆簧某一方向的刚度计算方法，如纵、横向刚度的计算方法、复合材料高圆簧刚度计算校验以及变刚度弹簧的性能计算等[5-9]。现有的仿真计算中只是考虑了高圆簧的轴向刚度、抗剪刚度、抗弯刚度及扭转刚度。尚未有文章针对高圆簧的整体矩阵进行分析。

高圆簧作为机车、货车主要悬挂部件，在实际受力分析中发现其刚度矩阵中的元素不仅存在于对角位置，根据高圆簧轴向的不同，非对角元素在矩阵中的分布亦不同。本文通过计算得到高圆簧的整体刚度矩阵，并通过研究简单的弹簧振子系统和复杂的机车车辆模型，分析系统中的高圆簧在采用不同刚度矩阵时的运动情况，并对采用不同刚度矩阵系统的计算结果进行比较，对机车高圆簧刚度矩阵的应用进行分析。

1 弹簧刚度矩阵的计算方法

由于螺旋圆弹簧存在对称特性，通常认为在垂直于其轴线方向的各方向剪切刚度一致。假设高圆簧置于笛卡尔坐标系中，且轴线平行于Z轴，簧高为H。为模拟弹簧在实际铁道机车车辆中的受力情况，高圆簧两端分别连接于Body2和Body1，用以模拟高圆簧两端连接车体及转向架的情况，高圆簧分析模型如图1所示。

图1 高圆弹簧分析模型

一般计算中仅考虑高圆弹簧的轴向刚度cl、抗剪刚度cs、抗弯刚度cφ及扭转刚度ca，高圆弹簧的刚度矩阵可以表示为

( 1 )

假设Body2相对于Body1有一沿Y方向的位移dy，如图2所示。此时弹簧存在一横向力Fy=-csdy，该力使弹簧产生绕X轴的力矩M，由于弹簧结构的对称性，力矩分别以csdyH/2的大小作用于弹簧的上下两端。根据力与位移的关系F=ckΔ[10]，可得

( 2 )

图2 弹簧受力分析模型

求解式( 2 )可得刚度矩阵ck为

( 3 )

由式( 2 )及对比矩阵c和ck可以看出，两个刚度矩阵的主要区别在于X，Y方向的元素不同，在Z向(即其轴向)则完全一致。

根据弹簧特性参数分析的经典计算方法，将高圆簧简化为弹性杆[11]，其等效刚度计算公式[12-13]为

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

式中：c1s=2(1+μ)cl；c2s=2ca/(2+μ)；H为弹簧计算高度；d为簧丝直径；R为弹簧中径；n为弹簧有效圈数；G为弹簧材料剪切弹性模量；E为弹簧材料弹性模量；μ为弹簧材料泊松比。

2 仿真分析

2.1 高圆簧主要参数

本文的研究对象为某机车中央悬挂高圆簧，其参数见表1。

表1 高圆簧主要参数

2.2 弹簧振子仿真

为模拟机车中高圆弹簧的实际应用情况，用数个上述弹簧并联建立两相似的弹簧振子系统，系统中的弹簧轴线沿Z轴方向，其具体方向与图1高圆弹簧的分析模型一致。两弹簧振子系统建模时，为研究不同刚度矩阵对系统性能的影响，分别建立各自独立的高圆簧模型，并分别考虑其各自刚度矩阵，此时各弹簧处于并联关系，各向刚度计算满足式( 3 )～式( 7 )。其中，系统1中的弹簧刚度全部采用式( 1 )所示矩阵，即只考虑弹簧刚度矩阵的对角元素；系统2中各弹簧采用式( 3 )所示刚度矩阵，考虑弹簧刚度矩阵中的全部元素，除此之外，两系统完全相同。在相同条件下，从两个系统的固有频率、振动加速度等方面进行计算对比。

采用动力学分析软件UM(Universal Mechanism)对建立的弹簧振子系统进行仿真分析。在铁道车辆的实际运行过程中，由于运营工况不同和道路不平顺的影响，车辆受到的垂向载荷在不断变化，高圆弹簧所受到的垂向载荷也在不断变化。载荷的变化直接影响系统的振动频率和振动加速度。

在弹簧振子系统中通过改变质量块的质量模拟弹簧在不同状态下承受的载荷，假设此时质量块的质量能提供的力的大小为弹簧振子工作时的载荷，系统1和系统2的固有频率与差值见表2。

表2 两系统的固有频率

由表2可知，两弹簧振子系统在其他条件相同的情况下，由于高圆弹簧采用的刚度矩阵不同，其系统的固有频率亦不同。由于弹簧存在对称性，所以每弹簧振子系统在X，Y方向的振动频率相同且绕X，Y轴转动的振动频率相同。系统1和系统2固有频率的不同主要体现在沿X，Y方向的振动和绕X，Y轴的转动，其差值最大为8.64%，在Z方向(即其轴向)两系统振动频率完全相同，这与两刚度矩阵的表现形式一致。

同一弹簧振子系统随质量块质量的变化其固有频率在变化，车辆在运行过程中高圆簧承受的垂向载荷也在不断变化，故系统固有频率在不断改变。计算发现，随着系统质量的变化，两弹簧振子系统的固有频率差值也在不断变化，在计算弹簧的工作载荷范围内，研究弹簧承受载荷的变化对两系统固有频率差距的影响。仿真通过赋予两弹簧振子系统质量块不同的质量来模拟弹簧受到的垂向载荷的变化，分析两系统在弹簧工作载荷内运动时，频率差值随系统质量的变化。

两系统在X，Y方向固有频率差值及绕X，Y轴转动的固有频率差值随系统质量的变化如图3所示。由图3可以看出，随系统质量块质量的增加，两系统在X，Y方向振动的固有频率差值及绕X，Y轴转动的固有频率差值线性增大。

图3 两系统固有频率差值随系统质量的变化

在计算固有振动频率时，系统处于平衡状态，由F=Kx可知系统并联弹簧长度随质量块质量的改变而线性改变，即两系统在X，Y方向固有频率差值及绕X，Y轴转动方向的固有频率差值随弹簧高度的变化呈线性变化。对比传统计算采用的矩阵c和文章得到的刚度矩阵ck，发现非对角元素项的数值与弹簧高度成正相关，为直观观察两者的关系，对两弹簧系统固有频率差值随弹簧垂向位移的变化进行分析，结果如图4所示。

图4 两系统固有频率差值随弹簧垂向位移的变化

图4中，两弹簧系统在X，Y方向固有频率差值及绕X，Y轴转动的固有频率差值随弹簧垂向位移不同而变化，其数值与弹簧垂向位移的1/2成正比，这与其非对角元素csH/2相符。

由两系统弹簧刚度矩阵的对比及振动固有频率的分析可以看出，在弹簧系统只存在垂向位移时，采用不同刚度矩阵对系统X，Y方向性能有较明显影响，对轴向性能基本没有影响，在弹簧振子只受到垂向载荷时，系统加速度a完全符合牛顿第二定律F=ma，但同样条件下，当弹簧存在水平方向位移时，两系统的垂向加速度出现一定的偏差。

当弹簧振子系统存在横向位移时，通过计算两系统在轴向以及X，Y方向的加速度差值可知：两系统在不同初始水平方向的外力作用下，轴向振动加速度差别较小，在X，Y方向的振动加速度差别相对较大。由于弹簧存在对称特性，在研究两系统X，Y方向的振动加速度差值时以Y方向为例进行分析。

在保证两弹簧振子系统质量相同的条件下，对两系统施加相同的瞬时横向力，横向力的方向平行于Y轴方向，作用于弹簧系统质量块质心位置。改变施加于两系统的初始瞬时力的大小，计算两系统在不同初始力下的横向振动加速度差值变化，如图5所示。由图5可以看出，在不同初始横向力的作用下两弹簧振子系统的横向加速度差值基本维持在一定水平内，随初始横向力的变化无明显变化。

图5 不同初始横向力作用下两系统横向加速度差值

在存在初始横向力的情况下，弹簧承受来自质量块的垂向载荷和初始横向载荷，弹簧振子系统在运动过程中同时存在垂向位移和横向位移。此时，两弹簧振子系统的垂向加速度也存在一定差异，且随初始横向载荷的不同而改变。同时，弹簧系统的垂向加速度差值与系统中高圆簧的数量和各弹簧在系统中的分布位置有关。在组建的弹簧振子系统承载的横向工作载荷内，两弹簧振子系统的垂向加速度差值不超过1%。

综上，当弹簧振子系统在只存在轴向位移时，两弹簧振子系统轴向性能一致，水平方向性能存在一定差距；当簧振子系统同时存在轴向和水平方向的位移时，两弹簧振子水平方向性能和轴向性能均存在一定差异。

2.3 机车仿真

类似于弹簧振子系统的仿真方法，以某机车作为研究对象。采用动力学分析软件UM建立机车模型对其各项动力学指标进行仿真计算，分析高圆簧刚度矩阵的不同对动力学性能的影响。建立机车模型时，采用空间笛卡尔坐标系，X轴指向车辆运行前方，Y轴与线路方向相垂直，Z轴垂直于轨道平面，其正方向为竖直向上。计算机车部分参数见表3。

表3 机车部分参数

每个机车装有12组高圆簧，在模型建立时，为研究弹簧采用不同刚度矩阵对机车性能的影响，分别考虑每组弹簧的各项刚度，在机车与转向架间建立12组弹簧力元，此时各弹簧处于并联状态且满足式( 3 )～式( 7 )的刚度关系。机车1中高圆簧的刚度矩阵采用传统的刚度矩阵c而机车2中所有高圆簧的刚度矩阵除考虑对角元素外还考虑非对角元素，即采用文中计算得到的刚度矩阵ck，其他参数一致。从机车振动的固有频率、平稳性、稳定性和曲线通过性能等方面对两机车各参数进行对比。

2.3.1 振动形式及频率

计算两机车在平衡状态下的振动固有频率，其振动形式及频率差值见表4。可以看出两机车在浮沉运动时，振动频率完全一致，因为浮沉运动时，机车高圆簧只存在轴向运动，此时弹簧垂向性能完全一致；在点头运动时，高圆簧存在较小的纵向位移，两机车点头运动振动频率基本一致；在车体进行上心滚摆、下心滚摆和摇头运动时，高圆簧存在较大水平方向的位移，两机车振动固有频率显示出一定差距，其结果与弹簧振子仿真得出的结论相同。在常见的车体的5种振动形式中，两机车的车体的下心滚摆振动频率相差最大，为7.24%。

表4 机车1和机车2的振动形式及频率

2.3.2 稳定性

稳定性指车辆在规定速度范围内运行时不出现蛇行运动的能力，一般以蛇行失稳临界速度评价。车辆的结构参数、悬挂参数、轮轨接触关系等对车辆的稳定性都有较大影响。随着车辆自由度的增加，悬挂参数(刚度和阻尼)非线性特征引入，剪切刚度和弯曲刚度的等效方式己不能完全描述悬挂系统的特征，临界速度与结构和悬挂参数的函数影响关系可以借助数值仿真[14]。两机车的螺旋高圆弹簧刚度矩阵存在一定差异，其他悬挂参数以及结构参数、轮轨接触完全相同，在计算临界速度时，首先以较大激励使机车处于发散状态，然后运行于平顺轨道观察其横向运动收敛时的运行速度，在相同的轨道激励下，两机车的蛇行失稳临界速度分别为245，248 km/h，机车2优于机车1，蛇行临界速度高1.2%。两机车二系高圆簧刚度矩阵的选取不同，造成了其临界速度的不同，但相差较小。

2.3.3 平稳性

平稳性指车辆在最高速度范围内、在规定线路运行时，不会产生过大的振动，并使乘客感到舒适，设备平稳运行，一般以垂向、横向振动加速度和平稳性指标评价。计算时采用德国低干扰谱作为输入激励，两机车以同一轨道谱作为系统激励，计算其横向、垂向加速度及Sperling指数的差异，不断改变车辆运行速度，计算各差值随速度的变化。两机车车体横向振动加速度差值随速度的变化如图6所示，横向Sperling指数差值随速度的变化如图7所示。

图6 两机车横向加速度差值随速度的变化

图7 两机车横向Sperling指数差值随速度的变化

由图6可知，两机车横向加速度差值随速度的变化无明显规律，在计算速度范围内，其横向加速度差值在2.23%～5.85%之间变化。

在各阶速度下，机车2的横向振动加速度都优于机车1，但与两弹簧振子系统横向加速度差值的变化相比，两机车横向振动加速度差值变化幅度较大，因机车的振动不像简单的弹簧振子系统只考虑弹簧的振动，机车模型中存在许多非线性弹性元件，其振动行为要综合考虑各个连接部件的运动。

垂向振动加速度差值与横向振动加速度差值一致，呈无规律变化，其最大差值仅为0.36%，与弹簧振子计算结果相符，表明机车在直线线路上运行时，两高圆簧采用不同刚度矩阵对其垂向振动加速度基本无影响。

由图7可以看出，随着机车速度的增加，机车1和机车2横向Sperling指数的差值呈下降趋势，其原因是随着机车速度的提升，机车振动频率在不断改变，Sperling平稳性指数和与振动频率有关的加权系数F(f)相关[15]。加权系数在每个频率区段的取值不同，导致随着机车速度的增加，力矩作用相对较大的频率区段内加权系数取值变小，机车横向Sperling指数的差值随之变小。在机车运行速度范围内，机车横向Sperling指数的差值大小为1.1%～2.7%。机车高圆弹簧采用不同刚度矩阵对垂向Sperling指数基本没有影响，在计算机车运行速度范围内，机车1和机车2的垂向Sperling指数相差最大值仅为0.29%。

2.3.4 曲线通过性能

使两机车在相同速度下运行于同一曲线，参考GB 50090—2006《铁路线路设计规范》[16]制定运行曲线半径、通过速度、轨道超高和缓和曲线长度等，分别计算半径为500，1 000，1 600，3 000，5 000 m等一系列曲线的曲线通过能力，不同曲线对应的速度、超高及缓和曲线长度见表5。因机车通过不同半径的曲线时速度、超高、轨道加宽等都各不相同，不同曲线半径间的曲线通过性能不作对比，计算各指标时取各差值的最大值。

表5 不同曲线半径下对应的参数

结合GB 5599—85和UIC 518中的规定，对两机车在不同曲线上运行时的轮轨横向力、脱轨系数、轮重减载率和倾覆系数进行对比分析，结果见表6。计算结果表明，两机车各项曲线通过评价指标均存在一定的差异，机车运行于曲线时车体与转向架之间存在较大的横向力，此时，高圆簧受到来自垂向和横向的载荷，弹簧存在横向的位移和垂向的压缩。由上述弹簧振子系统的研究可知，此时采用不同刚度矩阵的弹簧性能在水平方向和轴向均存在一定差异。倾覆系数、轮重减载率、脱轨系数等直接与弹簧轴向性能有关，轮轨横向力、脱轨系数与弹簧的横向性能相关，因此，两机车的曲线通过性能在各方面均存在一定差异，其差异最大值为6.05%。

表6 两机车曲线通过性能评价指标对比

3 结论

通过计算两弹簧振子系统和两机车模型的动力学性能，对比其振动固有振动频率和各项动力学参数，得出如下结论：

(1)只考虑高圆弹簧刚度矩阵对角元素的系统与考虑弹簧刚度矩阵全部元素的系统相比，动力学性能计算结果存在一定差异，在弹簧只有垂向运动时，其差异主要表现在垂直于弹簧轴向的方向，轴向性能基本一致；当弹簧振子系统同时存在轴向和水平方向的位移时，两弹簧振子水平方向性能和轴向性能均存在一定差异。

(2)仿真结果表明，机车模型中弹簧采用完整的刚度矩阵时，其平稳性、稳定性、曲线通过性能都优于机车弹簧只采用对角矩阵的情况，但最大差值未超过8%，当研究工作以平稳性、稳定性等车辆运行评价指标为主要内容时，可适当简化高圆弹簧的刚度矩阵。

(3)相比平稳性、稳定性和曲线通过能力，高圆簧采用不同的刚度矩阵对系统自身振动固有频率影响相对较大，当研究工作以高圆簧振动频率作为主要研究对象时，需考虑弹簧刚度矩阵的影响。

(4)机车高圆弹簧刚度矩阵只考虑对角元素时，仿真结果较完整刚度矩阵时偏于安全，而且差值较小，故在实际应用中对高圆簧刚度矩阵进行简化，只考虑刚度矩阵的对角元素是合理的，满足工程运用要求。