对两道函数题的探究剖析与欣赏

汤永明 王红

[摘  要] 二次函数常作为中考压轴题来考查学生的知识掌握情况和解题的综合能力，这与二次函数的知识融合性和方法多样性离不开. 近几年的函数压轴题更加注重问题的层次性设计，旨在引导学生进行数学思考. 文章对重庆市的两道中考试题进行探究赏析，与读者交流.

[关键词] 函数;抛物线;最值;存在性;赏析

经典试题再现

试题1（2018年重庆市中考数学A卷）如图1，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=-x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）.

（1）求线段AB的长.

（2）点P为线段AB上方抛物线上任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面積最大时，求PH+HF+FO的最小值.

（3）在（2）中，当PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F′作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使得以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点S的坐标;若不存在，请说明理由.

试题2（2017年重庆市中考数学A卷）如图2，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-x-与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上.

（1）求直线AE的解析式.

（2）点P为直线CE下方抛物线上一点，连接PC，PE. 当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上一点，点N是CD上一点，求KM+MN+NK的最小值.

（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2-x-沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F. 在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

试题特点表征

上述两道重庆市的中考试题背景设置都是基于二次函数的表达式和图像特征，只是求解的具体问题有略微的差异. 命题人充分考虑到考生的学习能力和理解程度差异，试题设置上均呈现一定的梯度，第（1）问属于基本问题，第（2）问则是对几何模型的应用考查，而第（3）问的几何存在性问题则是对学生全面分析能力的考查，因此整个试题设计在考查基础的同时也注重对学生综合能力的考查，具有一定的选拔功能.

试题1和试题2均给出了二次函数的解析式，以及一些关键点的几何特征. 两道试题的第（1）问分别求线段的长和直线的解析式，考虑到求解线段的长需要先求出点的坐标，因此两问的求解思路是一致的，即根据题干所给的几何关系来确定点的坐标，然后利用点的坐标来求解. 而第（2）问均属于双最值问题，问题的前半部分分析三角形面积的最大值，后半部分求涉及三点的三条线段的最小值，问题的特征相同，求解的方向也相似. 首先需要将求解三角形的面积最大值转化为关于线段的最大值，从中获得点的坐标的参数，然后以此为基础借助最值模型完成线段和的最小值求解. 最后第（3）问的几何存在性问题，虽然都是分析特殊的几何图形，但结合对应图形的特征，均可以将其转化为分析图形顶点坐标的问题. 需要注意的是，应合理设定分类标准，全面讨论. 综上可知，无论是问题的结构设计，还是试题的突破思路，重庆市的这两道函数压轴题均存在较高的相似度，其考查内容和能力要求是对新课程标准理念的深度贯彻.

试题赏析评价

1. 立足教材知识，倡导数学思想

中考试题大多经典，其经典之处不仅在于试题考查的知识点较为全面，关注基础的同时注重问题的层次性和关联性，还在于其注重对学生解题思想方法的考查，即融合基础知识，综合考查学生的综合素质. 上述两道试题便是函数试题的典型代表. 两道试题均以抛物线为背景，考查了二次函数的解析式和关键点，并融合几何上的点共线模型、面积模型求线段的双最值，最后从几何特征的角度来讨论几何顶点坐标. 涵盖了勾股定理、轴对称性质、图形变换、菱形和等腰三角形的特征等知识，且试题将数学的思想方法融于其中，如数学的模型思想、分类讨论思想、化归与转化思想和数形结合思想，引导学生利用数学思想方法来指导解题过程，利用思想方法来探求解题思路，帮助学生由试题的学习向试题的本质探究过渡.

2. 关注分析过程，发展解题思维

数学解题最为关键的一点是问题的分析过程，因此中考压轴题更注重对学生分析思维的考查. 上述试题基于该点从两个角度进行设置：一是将综合问题分为三个小问，每个小问既独立存在，又相互关联，问题间具有一定的层次性和递进性;二是试题具有一定的引导性，利用简明扼要的文字来引导学生实践操作，发现问题并验证猜想. 如上述的试题1首先要求学生对图形进行旋转，作出对称轴，然后分析图形是否为菱形;而试题2则对抛物线的图像进行平移，然后分析图像的对称轴上是否存在使图形为等腰三角形的点. 学生在由易到难逐步求解问题的过程中可以充分把握问题的结构，掌握图像的性质特征，并在试题的引导下进行相关作图操作，从而发现其中的关键条件，结合所学知识对猜想做出论证. 因此，试题在考查学生分析、解决问题的同时，也提升了学生的逻辑思维能力，使学生的思维更具灵活性和拓展性，而后者是衡量优秀试题的重要标准之一.

总之，优秀的试题是对学生知识储备、解题能力和思想方法的综合考查，在考查学生对基础知识掌握情况的同时，也考查学生的数学素养. 因此，在平时的解题教学中，我们要引导学生对基础知识进行总结、归纳，并将数学思想方法融合在解题过程中，不断提升学生的综合素养.